高二數(shù)學(xué)第二章推理與證明人教實驗版（B）選修2—2

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1、高二數(shù)學(xué)第二章 推理與證明人教實驗版（B）選修2—2 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 選修2—2 第二章 推理與證明 二. 教學(xué)目的： 1、了解合情推理的含義，掌握演繹推理的基本模式，能利用歸納推理、類比推理和演繹推理等進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識它們在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用和重要性． 2、掌握直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程與特點(diǎn)． 3、掌握間接證明的一種基本方法―反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)． 4、了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題． 三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：合情推理、演繹推理以及證明方法

2、——直接證明和間接證明； 難點(diǎn)：對數(shù)學(xué)歸納法的理解 四. 知識分析： 【本章知識結(jié)構(gòu)】 【重點(diǎn)知識回顧】 1、合情推理 前提為真時，結(jié)論可能為真的推理，叫做合情推理． 說明：歸納推理和類比推理是數(shù)學(xué)中常用的合情推理。 （l）歸納推理 根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理（簡稱歸納）．歸納是從特殊到一般的過程． 說明：歸納推理的前提與結(jié)論只具有偶然性聯(lián)系，其結(jié)論不一定正確．結(jié)論的正確性還需要理論證明或?qū)嵺`檢驗． 其一般步驟為： ①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)； ②從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的

3、一般性命題（猜想）。 （2）類比推理 根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)的推理，叫做類比推理（簡稱類比）。 說明：在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的命題就越可靠． 類比推理的一般步驟為： ①找出兩類事物之間的相似性或一致性； ②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）。 2、演繹推理 根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導(dǎo)出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理． 演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時，結(jié)論必然為真．例如，由真命題a,b，遵循演繹推理規(guī)

4、則得出命題q，則q必然為真． 3、合情推理與演繹推理的區(qū)別 歸納和類比是常用的合情推理．從推理形式上看，歸納是由部分到整體，個別到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理，而演繹推理是由一般到特殊的推理．從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確． 4、證明 （l）直接證明 直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實性．常用的直接證明方法有綜合法與分析法． 綜合法是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的推理，最后達(dá)到待證結(jié)論． 分析法則是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步尋求結(jié)論

5、成立的充分條件．最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實． 分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”,其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件， 綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是尋找它的必要條件．分析法與綜合法各有其特點(diǎn)，有些具體的待證命題，用分析法或綜合法都可以證明出來，人們往往選擇比較簡單的一種． （2）反證法（間接證明） 一般地，由證明轉(zhuǎn)向證明：,t與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定為假，推出q為真的方法，叫做反證法． 5、數(shù)學(xué)歸納法 （l）數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是一個與自然數(shù)相關(guān)的命題集合，如果①證明起始命題（或）成立；②

6、在假設(shè)成立的前提下，推出也成立，那么可以斷定，對一切正整數(shù)（或自然數(shù)）成立． （2）數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示 （3）數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗證落實傳遞的起點(diǎn)，這個基礎(chǔ)必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對某個正整數(shù)成立，就能保證該命題對后繼正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟稱數(shù)學(xué)歸納法．這兩步各司其職但缺一不可．特別指出的是，第二步不是判斷命題的真假，而是證明命題是否具備遞推性．如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題． 【專題分析】 一、推理 推理是由一個或幾個已知判斷作出一個

7、新的判斷的思維形式．由于數(shù)學(xué)中通常把判斷稱為命題，因而數(shù)學(xué)推理是由已知命題推出新的命題的思維形式．推理一般分為合情推理和演繹推理，合情推理包括歸納推理和類比推理，演繹推理包括：假言推理、三段論推理、關(guān)系推理以及完全歸納推理． 2 1、歸納推理 例1. 在數(shù)列中，，，猜想這個數(shù)列的通項公式。 解：中，， 所以猜想的通項公式 證明如下：因為，， 所以 即 所以數(shù)列 公差為的等差數(shù)列 所以 所以通項公式 例2. 在平面上有n條直線，任何兩條都不平行，并且任何三條都不交于同一點(diǎn)，問這些直線把平面分成多少部分？ 解：設(shè)n條直線分平面為部分，先實驗觀察特例

8、有如下結(jié)果： n與之間的關(guān)系不太明顯，但－有如下關(guān)系： 觀察上表發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：－＝n（n＝2，3，…）這是因為在n－1條直線后添加第n條直線被原n－1條直線截得的n段中的任何一段都將它所在的原平面一分為二，相應(yīng)地增加n部分，所以＝＋n，即－=n，從而－=2，－＝3，－＝4，…，－＝n，將上面各式相加有－＝2＋3＋…＋n，所以＝＋2＋3＋…＋n＝2＋2＋3＋…＋n＝1＋（1＋2＋3＋…＋n）＝ 【點(diǎn)評】通過歸納推理得出的結(jié)論可能正確，也可能不正確，它的正確性需要通過嚴(yán)格的證明，猜想所得結(jié)論即可用演繹推理給出證明，雖然由歸納推理所得出的結(jié)論未必是正確的，但它所具有的由特殊到一般、由具

9、體到抽象的認(rèn)識過程，對于數(shù)學(xué)的發(fā)展、科學(xué)的發(fā)明是十分有用的。通過觀察實驗，對有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想，也是數(shù)學(xué)研究的基本方法之一。 歸納推理的一般步驟是： ①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)； ②從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題（猜想）。 2、類比推理 例3. 著名的歐姆定律就是德國物理學(xué)家歐姆在1826年把電傳導(dǎo)系統(tǒng)與熱傳導(dǎo)系統(tǒng)作類比而導(dǎo)出的．電流I與熱量Q相當(dāng)，電壓V同溫差△T相當(dāng)，電阻R與比熱c的倒數(shù)相當(dāng)． 在熱傳導(dǎo)系統(tǒng)中有關(guān)系式：Q=mc△T（m是質(zhì)量） 于是，就可猜想在電傳導(dǎo)系統(tǒng)中有關(guān)系式：，這就是歐姆定理． 例4. （1）

10、定義集合A與B的運(yùn)算：，則 （2）定義集合A與集合B的運(yùn)算：寫出含有集合運(yùn)算符號“*∪∩”對集合A和B都有的成立的一個等式． 分析：本題是學(xué)習(xí)——類比——應(yīng)用新知識的一個題，這就要求同學(xué)們能類比課本上學(xué)習(xí)和研究集合運(yùn)算的方法，來研究題目中的條件，一般抽象集合問題往往借助于韋恩圖求解。 解：（1）由圖①中可知AB如圖的陰影部分所示，若AB＝C，我們運(yùn)用類比的方法，可得CA＝B． （2）由圖②可知，A*B如圖陰影部分所示． 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，類比的思想方法，結(jié)合“*∪∩”符號進(jìn)行探索，可求得： 或 或等． 3、演繹推理 例5. 在銳角三角形ABC中，AD⊥BC，B

11、E⊥AC，D、E是垂足． 求證：AB的中點(diǎn)M到D、E的距離相等． 分析：解答本題需要利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)作為大前提． 解：（l）因為有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形 ——大前提 在△ABD中，AD⊥BC。即∠ADB＝90° ——小前提 所以△ABD是直角三角形 ——結(jié)論 （2）因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 ——大前提 而M是Rt△ABD斜邊AB的中點(diǎn)，DM是斜邊上的中線 ——小前提 所以 ——結(jié)

12、論 同理，所以 【點(diǎn)評】演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出三段論式推理。三段論推理的依據(jù)用集合論的觀點(diǎn)來講就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P。三段論的公式中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般的原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況；這兩個判斷聯(lián)合起來，揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個判斷——結(jié)論。演繹推理是一種必然性推理，它的前提和結(jié)論之間有蘊(yùn)涵關(guān)系。因而，只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實的，但錯誤的前提可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)論。 二、證明 1、綜合法證明 綜合法

13、是我們在已經(jīng)儲存了大量的知識，積累了豐富的經(jīng)驗的基礎(chǔ)上所用的一種方法，其優(yōu)點(diǎn)是敘述起來簡潔、直觀、條理、清楚，綜合法可使我們從已知的知識中進(jìn)一步獲得新知識． 例6. 由實數(shù)構(gòu)成的集合A滿足條件：若，證明： （1）若，則集合A必有另外兩個元素，并求出這兩個元素； （2）非空集合A中至少有三個不同元素。 解：（1）∵ ∴ 由于－1≠1，有 由 如此循環(huán)可知集合A中的另外兩個數(shù) （2）∵集合A非空，故存在 ∴ 即a≠0時，有 即如此循環(huán)出現(xiàn)三個數(shù)a， 若，方程無實根 若方程也無實根 若方程無實根 ∴a，互不相等，故集合A中至少有三個不

14、同的元素 2、分析法證明 分析法是一種從未知到已知的邏輯推理方法．在探求問題的證明時，它可以幫助我們構(gòu)思，因而在一般分析問題時，較多地采用分析法，只是找到思路后，往往用綜合法加以敘述，正如恩格斯所說“沒有分析就沒有綜合”，在數(shù)學(xué)證明中不能把分析法和綜合法絕對分開． 例7. 若。 解： 要證 由 ∴ ∴ 3、反證法證明 反證法的理論基礎(chǔ)是互為逆否命題的等價性，從邏輯角度看，命題：“若p則q”的否定是“若p則”，由此進(jìn)行推理，如果發(fā)生矛盾，那么就說明“若p則”為假，從而可以導(dǎo)出“若p則q”為真，從而達(dá)到證明的目的．反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法

15、，在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到，在高考題中也經(jīng)常出現(xiàn)，它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要。 （1）證明否定性、唯一性命題 例8. 求證：兩條相交直線有且只有一個交點(diǎn)． 分析：結(jié)論中以“有且只有”形式出現(xiàn)，是唯一性命題，常用反證法。 證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即有兩種可能：①無交點(diǎn)，②不只有一個交點(diǎn)． ①若直線a、b無交點(diǎn)，那么a//b，與已知矛盾； ②若直線a、b不只有一個交點(diǎn)，則至少有兩個交點(diǎn)A和B，這樣同時經(jīng)過點(diǎn)A、B就有兩條直線，這與“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾． 綜上所述，兩條相交直線有且只有一個交點(diǎn)． （2）用反證法證明“至多”、“至少”

16、類型問題 例9. 已知a、b、c（0，1），求證：。 證明：假設(shè)三式都大于 即 ① ② ③ ①×②×③得 又∵ ∴ ④ 同理 ⑤ ⑥ ④×⑤×⑥得 矛盾，假設(shè)錯誤，原命題成立。 （3）用反證法證幾何問題 例10. 如圖所示，AB、CD為圓的兩條相交弦，且不全為直徑，求證：AB、CD不能互相平分。 證明：假設(shè)AB、CD互相平分，則ACBD為平行四邊形 所以∠ACB=∠ADB，∠CAD=∠CBD 因為ABCD為圓內(nèi)接四邊形 所以∠ACB＋∠ADB=180°，∠CAD＋∠CBD=180° 因此∠ACB=90°，∠

17、CAD=90° 所以對角線AB、CD均為直徑，與已知矛盾 因此，AB、CD不能互相平分 【點(diǎn)評】（1）反證法的步驟： ①假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立； ②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾； ③由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論成立。 （2）反證法導(dǎo)出結(jié)果的幾種情況： ①導(dǎo)出非p為真，即與原命題的條件矛盾； ②導(dǎo)出q為真，即與假設(shè)“非q為真”矛盾； ③導(dǎo)出一個恒假命題，即與定義、公理、定理矛盾； ④導(dǎo)出自相矛盾的命題。 4、數(shù)學(xué)歸納法證明 數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法．它是一種完全歸納法，它的證明共分兩步，其中第一步是命

18、題成立的基礎(chǔ)，稱為“歸納基礎(chǔ)”（或稱特殊性）．第二步解決的是延續(xù)性問題（又稱傳遞性）．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題要注意以下幾點(diǎn)： （1）兩個步驟缺一不可； （2）第二步中，證明“當(dāng) n＝k + 1 時結(jié)論正確”的過程里，必須利用“歸納假設(shè)”即必須用上“當(dāng) n＝k 時結(jié)論正確”這一結(jié)論． （3）在第二步的證明中，“當(dāng) n＝k 時結(jié)論正確”這一歸納假設(shè)起著已知的作用；“當(dāng) n＝k +1 時結(jié)論正確”則是求證的目標(biāo)．在這一步中，一般首先要湊出歸納假設(shè)里給出的形式，以便利用歸納假設(shè)，然后再去湊出當(dāng) n＝k + 1 時的結(jié)論． 數(shù)學(xué)歸納法可以用來證明與正整數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式、三角恒等式、不

19、等式、整除性問題及幾何問題． （4）不完全歸納法是從特殊出發(fā)，通過實驗、觀察、分析、綜合、抽象概括出一般性結(jié)論的一種重要方法，運(yùn)用不完全歸納法可通過對數(shù)列前 n 項的計算、觀察、分析，推測出它的通項公式或推測出這個數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，應(yīng)明確用不完全歸納去探索數(shù)學(xué)問題時，必須用數(shù)學(xué)歸納法對結(jié)論的正確性予以證明． 例11. 求證：。 證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊，右邊，等式成立 （2）假設(shè)n=k時， 那么當(dāng)時， 所以時，等式成立 由（1）（2）知對于任何，等式成立 三、歸納、猜想、證明 近年來，高考試題中已出現(xiàn)過這類題型，這類題型是高考的熱點(diǎn)之一，

20、它對培養(yǎng)創(chuàng)造性思維具有很好的訓(xùn)練作用．這類題型是：第一步給出命題（與正整數(shù)有關(guān)）的結(jié)構(gòu)；第二步要求計算出最初的三個至四個初始值；第三步要求通過已計算出的初始值，應(yīng)用不完全歸納法，發(fā)現(xiàn)其命題的一般性規(guī)律，作出科學(xué)的猜想和判斷（要敢于猜想、善于猜想），最后由數(shù)學(xué)歸納法對所作的猜想——一般性結(jié)論，作出完整科學(xué)的證明． 例12. 在各項為正的數(shù)列中，數(shù)列的前n項和滿足 （1）求； （2）由（1）猜想到數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想。 解：（1） ∵ ∴ 得 （2）猜想 證明如下：①n=1時，命題成立； ②假設(shè)n=k時，成立 則時 即

21、 ∴ ∴ 即時，命題成立 據(jù)①②可知對任意的成立 【模擬試題】 一、選擇題（本大題共有12小題，每小題5分，共60分，其中只有一個正確答案。） 1. 我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體。下面幾何體中，一定屬于相似體的是（ ） ①兩個球體；②兩個長方體；③兩個正四面體；④兩個正三棱柱；⑤兩個正四棱柱 A. ①⑤ B. ②③④ C. ①③ D. ①③⑤ 2. （1）已知，求證，用反證法證明時，可假設(shè) （2）已知，求證方程的兩根的絕對值都小于1。用反證法證明時可假設(shè)

22、方程有一根的絕對值大于或等于1，即假設(shè)，以下結(jié)論正確的是（ ） A. （1）與（2）的假設(shè)都錯誤 B. （1）與（2）的假設(shè)都正確 C. （1）的假設(shè)正確；（2）的假設(shè)錯誤 D. （1）的假設(shè)錯誤；（2）的假設(shè)正確 3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊（ ） A. 增加了一項 B. 增加了兩項 C. 增加了（B）中兩項但減少了一項 D. 以上各種情況均不對 4. 分析法是從要證的不等式出發(fā)，尋求使它成立的（ ） A. 充分條件 B. 必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分

23、又不必要條件 5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：時，第一步即證下述哪個不等式（ ） A. 1<2 B. C. D. 6. F(n)是一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，若F(k)真，則真，現(xiàn)已知F（7）不真，則有①F(8)不真；②F(8)為真；③F(6)不真；④F(6)為真；⑤F(5)不真；⑥F(5)真。其中真命題是（ ） A. ③⑤ B. ①② C. ④⑥ D. ③④ 7. 設(shè)x、y、z，，則a、b、c三數(shù)（ ） A. 至少有一個不大于2 B. 都小于2 C. 至少有一個不小于2 D. 都大于2 8. 用數(shù)學(xué)歸

24、納法證明“1＋2＋22＋……＋2n－1=2n－1（）”的過程中，第二步假設(shè)n=k時等式成立，則當(dāng)n=k+1時應(yīng)得到（ ） A. B. C. D. 9. 如圖1所示，是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)應(yīng)為（ ） A. 25 B. 66 C. 91 D. 120 10. 類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數(shù)，，，其中a>0，且a≠1，下面正確的運(yùn)算公式是（ ） ①； ②； ③； ④； A. ①

25、③ B. ②④ C. ①④ D. ①②③④ 11. 在等差數(shù)列中，若，公差d>0，則有，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，若的一個不等關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 12. 已知實數(shù)a、b、c滿足，abc>0，則的值（ ） A. 一定是正數(shù) B. 一定是負(fù)數(shù) C. 可能是0 D. 正、負(fù)不能確定 二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在橫線上。） 13. （2020·保定）如圖，在楊輝三角形中，從上往下數(shù)共有n（）行，在這些數(shù)中非1的數(shù)字之和是____________。

26、 14. 觀察下式：，…，則得出結(jié)論：____________________________________。 15. 已知數(shù)列的前n項和為，且，試歸納猜想出的表達(dá)式為________________________。 16. 若記號“※”表示求兩個實數(shù)a和b的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算，即a※b=，則兩邊均含有運(yùn)算符號“※”和“＋”，且對于任意3個實數(shù)a、b、c都能成立的一個等式可以是____________________________________。 三、解答題（本大題共6小題，17~21每題12分，第22題14分，每題必須寫出必要的解答過程，文字說明。） 17.

27、已知f(x)對任意實數(shù)a,b都有，且當(dāng)x>0時，。 （1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)； （2）f(4)=5，解不等式。 18. 設(shè)二次函數(shù)中的a、b、c均為整數(shù)，且f(0)、f(1)均為奇數(shù)，求證：方程f(x)=0無整數(shù)根。 19. 在Rt△ABC中，若∠C=90°，則，則在立體幾何中，給出四面體性質(zhì)的猜想。 20. 求證：。（） 21. 若不等式對一切大于1的自然數(shù)n都成立，求自然數(shù)m的最大值。 22. 已知數(shù)列中，（a為常數(shù)），是的前n項和，且的等差中項。 （1）求； （2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。 【試題答案】 1

28、. C（只有①③是相似體。） 2. D（對（2）的結(jié)論：“兩根絕對值都小于1”的否定是“兩根絕對值不都小于1”。） 3. B 4. A 5. C ∵且n>1，∴n的初始值為，此時原不等式即為。 6. A “”等價于“F(k+1)假F(k)假”，故應(yīng)選A。 7. C（，因此a、b、c至少有一個不小于2，故選C。） 8. D（當(dāng)n=k時，等式為。那么當(dāng)n=k+1時，左邊=1＋2＋，因此只需在歸納假設(shè)兩端同時添加，即1＋2＋22＋……＋＋。） 9. C（。） 10. D（將S(x)，C(x)逐個檢驗。） 11. B 12. B（∵

29、且（由abc>0知a,b,c均不為0） ∴0， 因此。） 13. （所有數(shù)字之和除掉1的和 。） 14. （各等式的左邊是第n個自然數(shù)到第個連續(xù)自然數(shù)的和，右邊是奇數(shù)的平方，故得出結(jié)論：= 。） 15. （由，∴，∴） 16. a※b＋c=b※a＋c（∵a※b=，b※a=，∴a※b＋c=b※a＋c。） 17. 解：（1）設(shè)，由得 ∵，∴ ∴ ∴f(x)為增函數(shù) （2）∵，∴ ∴ ∴ 解得 18. 證明：假設(shè)方程f(x)=0有一個整數(shù)根k，則 （1） ∵f(0)=c，f(1)=a+b+c均為奇數(shù)，則a+b

30、必為偶數(shù) 當(dāng)k為偶數(shù)時，令，則必為偶數(shù)，與（1）式矛盾； 當(dāng)k為奇數(shù)時，令，則為一奇數(shù)與一偶數(shù)乘積，必為偶數(shù)，也與（1）式矛盾。 綜上可知方程f(x)=0無整數(shù)根 19. 解：如圖，在Rt△ABC中 于是把結(jié)論類比到四面體中，我們猜想，三棱錐中，若三個側(cè)面兩兩互相垂直，且分別與底面所成的角為α、β、，則 。 20. 證明：（1）當(dāng)n=2時，右邊，不等式成立。 （2）假設(shè)當(dāng)n=k（）時命題成立，即 則當(dāng)時， 所以當(dāng)時不等式也成立 由（1），（2）可知，原不等式對一切均成立。 21. 解：設(shè)，則 ∴n=2時，f(n)有最小值 由，得m<14 ∴m的最大值為13 22. 解：（1） （2）猜想 證明：①當(dāng)n=1時，左邊，右邊 ∴當(dāng)n=1時等式成立；當(dāng)n=2時，左邊，右邊 ∴當(dāng)n=2時等式成立 ②假設(shè)當(dāng)n=k（）時，等式成立， 即，則當(dāng)時， ∴ ∵ ∴，將代入，得 ∴當(dāng)n=k+1時，等式也成立 由①②可知，對于任意的正整數(shù)n，等式恒成立