2020版高考數(shù)學 3年高考2年模擬 第2章 函數(shù)與導數(shù)

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1、第二章 函數(shù)與導數(shù)第一部分 三年高考薈萃2020年高考題 一、選擇題 1.（安徽理3） 設是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則 （A） (B) （Ｃ）１　　　　　?。ǎ模? 【答案】A 【命題意圖】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)值的求法.屬容易題. y 0.5 1 x O 0.5 【解析】.故選A. 2.(安徽理10) 函數(shù)在區(qū) 間〔0,1〕上的圖像如圖所示，則m，n的值 可能是 （A） (B) (C) (D) 【答案】B【命題意圖】本題考查導數(shù)在研究

2、函數(shù)單調性中的應用，考查函數(shù)圖像，考查思維的綜合能力.難度大. 【解析】代入驗證，當，，則 ，由可知，，結 合圖像可知函數(shù)應在遞增，在遞減，即在取得最大值，由 ，知a存在.故選B. 3.（安徽文5）若點(a,b)在 圖像上，,則下列點也在此圖像上的是 （A）（，b） (B) (10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b) 【答案】D【命題意圖】本題考查對數(shù)函數(shù)的基本運算，考查對數(shù)函數(shù)的圖像與對應點的關系. 【解析】由題意，，即也在函數(shù) 圖像上. 4.0.5 1 x y O 0.5 (安徽文10) 函數(shù)在 區(qū)間〔0,1〕上的

3、圖像如圖所示，則n可 能是 （A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】A【命題意圖】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)單調性中的應用，考查函數(shù)圖像，考查思維的綜合能力.難度大. 【解析】代入驗證，當時， ，則， 由可知，，結合圖像可知函數(shù)應在遞增，在遞減，即在取得最大值，由，知a存在.故選A. 5.（北京理6）根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間（單位：分鐘）為（A，c為常數(shù)）。已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件 產(chǎn)品時用時15分鐘，那么c和A的值分別是 A. 75，25 B. 75，1

4、6 C. 60，25 D. 60，16 【答案】D 【解析】由條件可知，時所用時間為常數(shù)，所以組裝第4件產(chǎn)品用時必然滿足第一個分段函數(shù)，即，，選D。 6.（北京文8）已知點,,若點在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為2的點的個數(shù)為 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 7.（福建理5）等于 A．1 B．

5、 C． D． 【答案】C 8.（福建理9）對于函數(shù) (其中，)，選取的一組值計算和，所得出的正確結果一定不可能是 A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 【答案】D 9.（福建理10）已知函數(shù)，對于曲線上橫坐標成等差數(shù)列的三個點A，B，C，給出以下判斷： ①△ABC一定是鈍角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正確的判斷是

6、 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 10.（福建文6）若關于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是 A．（－1，1） B．（－2，2） C．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C 11.（福建文8）已知函數(shù)f(x)＝，若f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值等于 A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】A 12.（福建文10）若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大

7、值等于 A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】D 13.（廣東理4）設函數(shù)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結論恒成立的是 A．+|g(x)|是偶函數(shù) B．-|g(x)|是奇函數(shù) C．|| +g(x)是偶函數(shù) D．||- g(x)是奇函數(shù) 【答案】A 【解析】因為 g(x)是R上的奇函數(shù),所以|g(x)|是R上的偶函數(shù),從而+|g(x)|是偶函數(shù),故選A. 14.（廣東文4）函數(shù)的定義域是 （ ）

8、 A． B． C． D． 【答案】C 15.（廣東文10）設是R上的任意實值函數(shù)．如下定義兩個函數(shù)和；對任意,；．則下列等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 16.（湖北理6）已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足 ，若，則 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由條件，，即 ，由此解得，， 所以，，所以選B. 17.（湖北理10）放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象成為衰變，假設在放射性同位素銫137

9、的衰變過程中，其含量（單位：太貝克）與時間（單位：年）滿足函數(shù)關系：，其中為時銫137的含量，已知時，銫137的含量的變化率是（太貝克/年），則 A. 5太貝克 B. 太貝克 C. 太貝克 D. 150太貝克 【答案】D 【解析】因為，則，解得，所以，那么 （太貝克），所以選D. 18.（湖南文7）曲線在點處的切線的斜率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以 。 19.（湖南文8）已知函數(shù)若有則的取值范圍為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題可知，，若有則，即，解得。

10、 20.（湖南理6）由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由定積分知識可得，故選D。 21.（湖南理8）設直線與函數(shù)的圖像分別交于點，則當達到最小時的值為（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由題，不妨令，則，令解得，因時，，當時，，所以當時，達到最小。即。 22.（江西文3）若，則的定義域為( ) B. C. D. 【答案】C 【解析】 23.（江西文4）曲線在點A（0,1）處的切線斜率為（

11、 ） A.1 B.2 C. D. 【答案】A 【解析】 24.（江西文6）觀察下列各式：則，…，則的末兩位數(shù)字為（ ） A.01 B.43 C.07 D.49 【答案】B 【解析】 25.（江西理3）若，則定義域為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由解得，故，選A 26.（江西理4）設，則的解集為 A. B. C. D. 【

12、答案】C 【解析】定義域為，又由，解得或，所以的解集 27.（江西理7）觀察下列各式：，，，…，則的末四位數(shù)字為 A. 3125 B. 5625 C. 0625 D.8125 【答案】D 【解析】觀察可知當指數(shù)為奇數(shù)時，末三位為125；又，即為第1004個指數(shù)為奇數(shù)的項，應該與第二個指數(shù)為奇數(shù)的項（）末四位相同，∴的末四位數(shù)字為8125 28.（遼寧理9）設函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是 A．，2] B．[0，2] C．[1，+] D．[0，+] 【答案】D 29.（遼寧理11）函數(shù)的定義域為，，對任意

13、，，則的解集為 A．（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+） 【答案】B 30.（遼寧文6）若函數(shù)為奇函數(shù)，則a= A． B． C． D．1 【答案】A 31.（全國Ⅰ理2）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調遞增的函數(shù)是 （A） (B) （C） (D) 【答案】B 32.（全國Ⅰ理9）由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為 （A） （B）4

14、（C） （D）6 【答案】C 33. (全國Ⅰ理12)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點的橫坐標之和等于 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 【答案】D 34.（全國Ⅰ文4）曲線在點（1,0）處的切線方程為 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 35. (全國Ⅰ文9)設偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4 (x0），則=

15、 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 36.（全國Ⅱ理2）函數(shù)＝（≥0）的反函數(shù)為 (A)＝（∈R） (B)＝（≥0） (C)＝（∈R） (D)＝（≥0） 【答案】B 【命題意圖】：本小題主要考查函數(shù)與反函數(shù)概念及求法特別要注意反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。 【解析】由＝，得＝.函數(shù)＝（≥0）的反函數(shù)為＝.（≥0） 37.（全國Ⅱ理8）曲線在點（0,2）處的切線與直線和圍成的三角形的面積為 (A) (B) (C) (D)1 【答案】A 【命題意圖】：本小題主要考查導數(shù)的求法、導數(shù)的幾何意義及

16、過曲線上一點切線的方程的求法。 【解析】，故曲線在點（0,2）處的切線方程為，易得切線與直線和圍成的三角形的面積為。 38.（全國Ⅱ理9）設是周期為2的奇函數(shù)，當時，，則 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【命題意圖】：本小題主要考查了函數(shù)的奇偶性、周期性的概念。 【解析】。 39.（山東理9）函數(shù)的圖象大致是 【答案】C 【解析】因為,所以令,得,此時原函數(shù)是增函數(shù);令,得,此時原函數(shù)是減函數(shù),結合余弦函數(shù)圖象，可得選C正確. 40.（山東理10）已知是上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當時,,則函數(shù)的圖象在

17、區(qū)間[0,6]上與軸的交點的個數(shù)為 （A）6 （B）7 （C）8 （D）9 【答案】A 【解析】因為當時, ,又因為是上最小正周期為2的周期函數(shù)，且,所以,又因為,所以,,故函數(shù)的圖象在區(qū)間[0,6]上與軸的交點的個數(shù)為6個,選A. 41.（山東文4）曲線在點P(1，12)處的切線與y軸交點的縱坐標是 （A）-9 （B）-3 （C）9 （D）15 【答案】C 42.（陜西理3）設函數(shù)（R）滿足，，則函數(shù)的圖像是 （

18、） 【答案】B 【分析】根據(jù)題意，確定函數(shù)的性質，再判斷哪一個圖像具有這些性質． 【解析】選由得是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于軸對稱，可知B，D符合；由得是周期為2的周期函數(shù)，選項D的圖像的最小正周期是4，不符合，選項B的圖像的最小正周期是2，符合，故選B． 43.（陜西文4） 函數(shù)的圖像是 （ ） 【答案】B 【分析】已知函數(shù)解析式和圖像，可以用取點驗證的方法判斷． 【解析】 取，，則，，選項B，D符合；取，則，選項B符合題意． 44.（上海理16）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調遞減的函數(shù)是（ ） （A）. （B）.

19、（C）. （D）. 【答案】A 45.（上海文15）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調遞減的函數(shù)是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 46.（四川理7）若是R上的奇函數(shù)，且當時，，則的反函數(shù)的圖象大致是 【答案】A 【解析】當時，函數(shù)單調遞減，值域為，此時，其反函數(shù)單調遞減且圖象在與之間，故選A． 47.（四川文4）函數(shù)的圖象關于直線y=x對稱的圖象像大致是 【答案】A 【解析】圖象過點，且單調遞減，故它關于直線y=x對稱的圖象過點且單調遞減，選A． 48.（天津理2）函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（　?。?

20、?。粒　　。拢　　。茫　　。模? 【答案】B 【解析】解法1．因為，，， 所以函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是．故選Ｂ． 解法2．可化為． 畫出函數(shù)和的圖象，可觀察出選項Ｃ，Ｄ不正確，且 ，由此可排除Ａ，故選Ｂ． 49.（天津理8）設函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是（ 　 ）． 　?。粒　　　　。拢? 　?。茫　　　。模? 【答案】C 【解析】若，則，即，所以， 若則，即，所以，。 所以實數(shù)的取值范圍是或，即．故選C． 50.（天津文4）函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（　?。? 　　Ａ．　　?。拢　　　。茫　　。模? 【答案】C 【解析】因為，， ，所以函數(shù)的零點所在

21、的一個區(qū)間是．故選Ｃ． 51.（天津文6）設，，，則（　　?。? 　?。粒　　　　　　。拢? 　?。茫　　　　　　。模? 【答案】D 【解析】因為，，， 所以， 所以，故選Ｄ． 52.（天津文10）設函數(shù)，則的值域是（　　）． 　?。粒　　　　。拢?， 　　Ｃ．　　　　　　　?。模? 【答案】D 【解析】解得，則或．因此的解為：．于是 當或時，． 當時，，則， 又當和時，，所以． 由以上，可得或，因此的值域是．故選Ｄ． 53.（浙江理1）已知，則的值為 A．6 B．5 C．4

22、 D．2 【答案】B 54.（浙江文10）設函數(shù)，若為函數(shù)的一個極值點，則下列圖象不可能為的圖象是 【答案】D 55.（重慶理5）下列區(qū)間中，函數(shù)=在其上為增函數(shù)的是 （A）（- （B） （C） （D） 【答案】D 56.（重慶理10）設m，k為整數(shù)，方程在區(qū)間（0,1）內(nèi)有兩個不同的根，則m+k的最小值為 （A）-8 （B）8 (C)12

23、 (D) 13 【答案】D 57. (重慶文3)曲線在點,處的切線方程為 A (A)　　　　　　　　　　(B) (C) (D) 58. (重慶文6)設,,,則,,的大小關系是 (A)　　　　　　　　　　(B) (C)　　　　　　　　　　(D) 【答案】B 59. (重慶文7)若函數(shù)在處取最小值,則 (A)　　　　　　　　　　　(B) (C)3　　　　　　　　　　　　 (D)4 【答案】C 二、填空題 60. (重慶文15)若實

24、數(shù),,滿足,，則的最大值是 . 【答案】 61.（浙江文11）設函數(shù) ,若,則實數(shù)=________________________ 【答案】-1 62.（天津文16）設函數(shù)．對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是　　　　． 【答案】． 【解析】解法1．顯然，由于函數(shù)對是增函數(shù)， 則當時，不恒成立，因此． 當時，函數(shù)在 是減函數(shù)， 因此當時，取得最大值， 于是恒成立等價于的最大值， 即，解得．于是實數(shù)的取值范圍是． 解法2．然，由于函數(shù)對是增函數(shù)，則當時，不成立，因此． ， 因為，，則，設函數(shù)，則當時為增函數(shù)，于是時，取得最小值． 解得．于是實數(shù)的

25、取值范圍是． 解法3．因為對任意，恒成立，所以對，不等式也成立，于是，即，解得．于是實數(shù)的取值范圍是． 63.（天津理16）設函數(shù)．對任意， 恒成立，則實數(shù)的取值范圍是　　　?。? 【答案】． 【解析】解法１．不等式化為，即 ， 整理得， 因為，所以，設，． 于是題目化為，對任意恒成立的問題． 為此需求，的最大值．設，則． 函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，因而在處取得最大值． ，所以， 整理得，即， 所以，解得或， 因此實數(shù)的取值范圍是． 解法2．同解法1,題目化為，對任意恒成立的問題． 為此需求，的最大值． 設，則．． 因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當時，取得最小值．

26、 從而有最大值．所以，整理得， 即，所以，解得或， 因此實數(shù)的取值范圍是． 解法3．不等式化為，即 ， 整理得， 　　令． 由于，則其判別式，因此的最小值不可能在函數(shù)圖象的頂點得到， 所以為使對任意恒成立，必須使為最小值， 即實數(shù)應滿足 　　　 　解得，因此實數(shù)的取值范圍是． 解法4．(針對填空題或選擇題)由題設，因為對任意， 恒成立， 則對，不等式也成立， 把代入上式得，即 ，因為，上式兩邊同乘以，并整理得 ，即，所以，解得或， 因此實數(shù)的取值范圍是． 64.（四川理13）計算_______． 【答案】－20 【解析】． 65.（四川理16

27、）函數(shù)的定義域為A，若且時總有，則稱為單函數(shù)．例如，函數(shù)=2x+1()是單函數(shù)．下列命題： ①函數(shù)（xR）是單函數(shù)； ②若為單函數(shù)，且，則； ③若f：A→B為單函數(shù)，則對于任意，它至多有一個原象； ④函數(shù)在某區(qū)間上具有單調性，則一定是單函數(shù)． 其中的真命題是_________．（寫出所有真命題的編號） 【答案】②③ 【解析】對于①，若，則，不滿足；②實際上是單函數(shù)命題的逆否命題，故為真命題；對于③，若任意，若有兩個及以上的原象，也即當時，不一定有，不滿足題設，故該命題為真；根據(jù)定義，命題④不滿足條件． 66.（上海文3）若函數(shù)的反函數(shù)為，則 【答案】 67.（上

28、海文12）行列式所有可能的值中，最大的是 【答案】 68.（上海文14）設是定義在上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則在區(qū)間上的值域為 【答案】 69.（上海理1）函數(shù)的反函數(shù)為 . 【答案】 70.（上海理10）行列式所有可能的值中，最大的是 . 【答案】 71.（上海理13） 設是定義在上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則在區(qū)間上的值域為 . 【答案】 72.（陜西文11）設，則______. 【答案】 【分析】由算起，先判斷的范圍，是大于0，

29、還是不大于0,；再判斷作為自變量的值時的范圍，最后即可計算出結果． 【解析】∵，∴，所以，即． 73.（陜西理11）設，若，則 ． 【分析】分段函數(shù)問題通常需要分布進行計算或判斷，從算起是解答本題的突破口. 【解析】因為，所以，又因為， 所以，所以，． 【答案】1 74.（陜西理12）設，一元二次方程有整數(shù)根的充要條件是 ． 【答案】3或4 【分析】直接利用求根公式進行計算，然后用完全平方數(shù)、整除等進行判斷計算． 【解析】，因為是整數(shù)，即為整數(shù)，所以為整數(shù)，且，又因為，取，驗證可知符合題意；反之時，可推出一元二次方程有整數(shù)根． 75.（山東理16）

30、已知函數(shù)=當2＜a＜3＜b＜4時，函數(shù)的零點 . 【答案】5 【解析】方程=0的根為,即函數(shù)的圖象與函數(shù)的交點橫坐標為,且,結合圖象,因為當時,,此時對應直線上的點的橫坐標;當時, 對數(shù)函數(shù)的圖象上點的橫坐標,直線的圖象上點的橫坐標,故所求的. 76.（遼寧文16）已知函數(shù)有零點，則的取值范圍是___________． 【答案】 77.（江蘇2）函數(shù)的單調增區(qū)間是__________ 【答案】 【解析】在在大于零,且增. 本題主要考查函數(shù)的概念，基本性質，指數(shù)與對數(shù)，對數(shù)函數(shù)圖象和性質，容易題 78.（江蘇8）在平面直角坐標系中，過坐標原點的一條直線與函數(shù)的圖象

31、交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是________. 【答案】4. 【解析】設經(jīng)過原點的直線與函數(shù)的交點為，，則. 本題主要考查冪函數(shù)，函數(shù)圖象與性質，函數(shù)與方程，函數(shù)模型及其應用,兩點間距離公式以及基本不等式，中檔題. 79.（江蘇11）已知實數(shù)，函數(shù)，若，則a的值為________ 【答案】 【解析】 . ，不符合； . 本題主要考查函數(shù)概念，函數(shù)與方程,函數(shù)模型及其應用,含參的分類討論，中檔題. 80.（江蘇12）在平面直角坐標系中，已知點P是函數(shù)的圖象上的動點，該圖象在P處的切線交y軸于點M，過點P作的垂線交y軸于點N，設線段MN的中點的縱坐標為t，則t的

32、最大值是_____________ 【答案】 【解析】設則，過點P作的垂線 ， ，所以，t在上單調增，在單調減， . 本題主要考查指數(shù)運算,指數(shù)函數(shù)圖象、導數(shù)的概念,導數(shù)公式,導數(shù)的運算與幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù),導數(shù)的應用、直線方程及其斜率、直線的位置關系，運算求解能力,綜合應用有關知識的能力,本題屬難題. 81.（湖南文12）已知為奇函數(shù)， ． 【答案】6 【解析】，又為奇函數(shù)，所以 。 82.（湖北文15）里氏震級M的計算公式為：，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅 是相應的標準地震的振幅，假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000

33、,此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為__________級；9級地震的最大的振幅是5級地震最大振幅的__________倍。 【答案】6，10000 83.（廣東文12）設函數(shù)若，則 ． 【答案】-9 84.（廣東理12）函數(shù)在 處取得極小值. 【答案】 85.（北京理13）已知函數(shù)，若關于x的方程有兩個不同的 實根，則實數(shù)k的取值范圍是________. 【答案】 【解析】單調遞減且值域為(0,1]，單調遞增且值域為，有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是（0,1）。 86.（安徽文13）函數(shù)的定義域是

34、 . 【答案】（－3,2）【命題意圖】本題考查函數(shù)的定義域，考查一元二次不等式的解法. 【解析】由可得，即，所以. 三、解答題 87.（安徽理16）設，其中為正實數(shù) （Ⅰ）當時，求的極值點； （Ⅱ）若為上的單調函數(shù)，求的取值范圍。 本題考查導數(shù)的運算，極值點的判斷，導數(shù)符號與函數(shù)單調變化之間的關系，求解二次不等式，考查運算能力，綜合運用知識分析和解決問題的能力. 解：對求導得 ① （I）當，若 綜合①,可知 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以,是極小值點,是極大值點. （II

35、）若為R上的單調函數(shù)，則在R上不變號，結合①與條件a>0，知 在R上恒成立，因此由此并結合，知 88.（北京理18）已知函數(shù). (1)求的單調區(qū)間； (2)若對，，都有，求的取值范圍。 解：(1)，令得 當時，在和上遞增，在上遞減； 當時，在和上遞減，在上遞增 (2) 當時，；所以不可能對，都有； 當時有（1）知在上的最大值為，所以對，都有 即，故對，都有時，的取值范圍為。 89.（北京文18）已知函數(shù)，（I）求的單調區(qū)間； （II）求在區(qū)間上的最小值。 解：（I），令；所以在上遞減，在上遞增； （II）當時，函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以； 當即時，由（I）知，函數(shù)在

36、區(qū)間上遞減，上遞增，所以； 當時，函數(shù)在區(qū)間上遞減，所以。 90.（福建理18）某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量(單位：千克)與銷售價格(單位：元/千克)滿足關系式，其中，為常數(shù)，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克． (Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 若該商品的成品為3元/千克, 試確定銷售價格的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大． 解：(Ⅰ)因為時，所以； (Ⅱ)由(Ⅰ)知該商品每日的銷售量，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤： ； ，令得 函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當時函數(shù)取得最大值 答：當銷售價格時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最

37、大，最大值為42. 91.（福建文22）已知a、b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2，（e＝2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）。 （Ⅰ）求實數(shù)b的值； （Ⅱ）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間； （Ⅲ）當a＝1時，是否同時存在實數(shù)m和M（m＜M），使得對每一個t∈[m，M]，直線y＝t與曲線y＝f(x)（x∈[，e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數(shù)m和最大的實數(shù)M；若不存在，說明理由。 解：（Ⅰ）b＝2；（Ⅱ）a＞0時單調遞增區(qū)間是（1，＋∞），單調遞減區(qū)間是（0，1），a＜0時單調遞增區(qū)間是（0，1），單調遞減區(qū)間是（1，＋∞）；（Ⅲ）存在m，M；m的最

38、小值為1，M的最大值為2。 92.（廣東理21） （2）設是定點，其中滿足.過作的兩條切線，切點分別為，與分別交于.線段上異于兩端點的點集記為.證明： ； 解：（１）， 直線AB的方程為，即， ，方程的判別式， 兩根或， ，，又， ，得， ． （２）由知點在拋物線L的下方， ①當時，作圖可知，若，則，得； 若，顯然有點； ． ②當時，點在第二象限， 作圖可知，若，則，且； 若，顯然有點； ． 根據(jù)曲線的對稱性可知，當時，， 綜上所述，（*）； 由（１）知點M在直線EF上，方程的兩根或， 同理點M在直線上，方程的兩根或， 若，則不比、、小， ，

39、又， ；又由（１）知，； ，綜合（*）式，得證． （３）聯(lián)立，得交點，可知， 過點作拋物線L的切線，設切點為，則， 得，解得， 又，即， ，設，， ，又，； ，， ． 93.（廣東文19） 設,討論函數(shù) 的單調性． 解：函數(shù)f(x)的定義域為（0，+∞） 綜上所述，f(x)的單調區(qū)間如下表： （其中） 94.（湖北理17）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞

40、，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數(shù)． （Ⅰ）當時，求函數(shù)的表達式； （Ⅱ）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時） 本題主要考查函數(shù)、最值等基礎知識，同時考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力. 解析：（Ⅰ）由題意：當時，；當時，設，顯然在是減函數(shù)，由已知得，解得 故函數(shù)的表達式為= （Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得 當時，為增函數(shù)，故當時，其最大值為； 當時，， 當且僅當，即時，等號成立． 所以，當時，在區(qū)間

41、上取得最大值． 綜上，當時，在區(qū)間上取得最大值， 即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時． 95.（湖北理21）（Ⅰ）已知函數(shù)，，求函數(shù)的最大值； （Ⅱ）設…，均為正數(shù)，證明： （1）若……，則； （2）若…=1，則…+。 解：（Ⅰ）的定義域為，令， 在上遞增，在上遞減，故函數(shù)在處取得最大值 （Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知當時有即， ∵，∴ ∵∴即 （2）①先證，令，則 由（1）知 ∴； ②再證…+，記 則于是由（1）得 所以…+。綜合①②，（2）得證 96.（湖北文20）設函數(shù)，，其中，a、b為常數(shù)，已知曲線與在點（2,

42、0）處有相同的切線。 (I) 求a、b的值，并寫出切線的方程； (II)若方程有三個互不相同的實根0、、，其中，且對任意的，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。 解：(I)，由于曲線曲線與在點（2,0）處有相同的切線，故有，由此解得：； 切線的方程：‘ (II)由(I)得，依題意得：方程有三個互不相等的根 ，故是方程的兩個相異實根，所以 ； 又對任意的，恒成立，特別地，取時， 成立，即，由韋達定理知：，故，對任意的，有，則： ；又 所以函數(shù)在上的最大值為0，于是當時對任意的，恒成立；綜上：的取值范圍是。 97.（湖南文22）設函數(shù) (I)討論的單調性； （II）若有兩個極值

43、點，記過點的直線的斜率為，問：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，請說明理由． 解析：（I）的定義域為 令 當故上單調遞增． 當?shù)膬筛夹∮?，在上，，故上單調遞增． 當?shù)膬筛鶠椋? 當時， ；當時， ；當時， ，故分別在上單調遞增，在上單調遞減． （II）由（I）知，． 因為，所以 又由(I)知，．于是 若存在，使得則．即．亦即 再由（I）知，函數(shù)在上單調遞增，而，所以這與式矛盾．故不存在，使得 98.（湖南理20）如圖6，長方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動，速度為，雨速沿E移動方向的分速度為。E移動時單位時間內(nèi)

44、的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設其值與×S成正比，比例系數(shù)為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為，記為E移動過程中的總淋雨量，當移動距離d=100，面積S=時。 （Ⅰ）寫出的表達式 （Ⅱ）設0＜v≤10,0＜c≤5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速度，使總淋雨量最少。 解析：（I）由題意知，E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為， 故. （II）由(I)知，當時， 當時， 故。 (1)當時，是關于的減函數(shù).故當時，。 (2) 當時，在上，是關于的減函數(shù)；在上，是關于的增函數(shù)；故當時，。 99.（湖南理22） 已知函數(shù)() =，g ()=+。

45、 （Ⅰ）求函數(shù)h ()=()-g ()的零點個數(shù)，并說明理由； （Ⅱ）設數(shù)列滿足，，證明：存在常數(shù)M,使得對于任意的，都有≤?. 解析：（I）由知，，而，且，則為的一個零點，且在內(nèi)有零點，因此至少有兩個零點 解法1：，記，則。 當時，，因此在上單調遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點。又因為，則在內(nèi)有零點，所以在內(nèi)有且只有一個零點。記此零點為，則當時，；當時，； 所以， 當時，單調遞減，而，則在內(nèi)無零點； 當時，單調遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點； 從而在內(nèi)至多只有一個零點。綜上所述，有且只有兩個零點。 解法2：，記，則。 當時，，因此在上單調遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點。因此在

46、內(nèi)也至多只有一個零點， 綜上所述，有且只有兩個零點。 （II）記的正零點為，即。 （1）當時，由，即.而，因此，由此猜測：。下面用數(shù)學歸納法證明： ①當時，顯然成立； ②假設當時，有成立，則當時，由 知，，因此，當時，成立。 故對任意的，成立。 （2）當時，由（1）知，在上單調遞增。則，即。從而，即，由此猜測：。下面用數(shù)學歸納法證明： ①當時，顯然成立； ②假設當時，有成立，則當時，由 知，，因此，當時，成立。 故對任意的，成立。 綜上所述，存在常數(shù)，使得對于任意的，都有. 100.（江蘇17）請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片

47、，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=xcm. （1）若廣告商要求包裝盒側面積S（cm）最大，試問x應取何值？ （2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值. 【解】（1）根據(jù)題意有 （0

48、值為. 即x=20包裝盒容積V（cm）最大, 此時包裝盒的高與底面邊長的比值為 解析：本題主要考查空間想象能力、數(shù)學閱讀能力及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力、建立數(shù)學函數(shù)模型求解能力、導數(shù)在實際問題中的應用，中檔題. 101.（江蘇19）已知a，b是實數(shù)，函數(shù) 和是的導函數(shù)，若在區(qū)間I上恒成立，則稱和在區(qū)間I上單調性一致. （1）設，若函數(shù)和在區(qū)間上單調性一致,求實數(shù)b的取值范圍； （2）設且，若函數(shù)和在以a，b為端點的開區(qū)間上單調性一致，求|a-b|的最大值. 答案： 因為函數(shù)和在區(qū)間上單調性一致，所以， 即 即實數(shù)b的取值范圍是 由 若,則由,,和在區(qū)間上不是單調

49、性一致, 所以. ;又. 所以要使,只有, 取,當時, 因此 當時，因為，函數(shù)和在區(qū)間（b,a）上單調性一致，所以， 即， 設，考慮點(b,a)的可行域，函數(shù)的斜率為1的切線的切點設為 則； 當時，因為，函數(shù)和在區(qū)間（a, b）上單調性一致，所以， 即， 當時，因為，函數(shù)和在區(qū)間（a, b）上單調性一致，所以， 即而x=0時，不符合題意， 當時，由題意： 綜上可知，。 解析：本題主要考查單調性概念、導數(shù)運算及應用、含參不等式恒成立問題，綜合考查、線性規(guī)劃、解二次不等式、二次函數(shù)、化歸及數(shù)形結合的思想，考查用分類討論思想進行探索分析和解決問題的綜合能力

50、.(1)中檔題；（2）難題. 102.（江西理19）設. （1）若在上存在單調遞增區(qū)間，求的取值范圍； （2）當時，在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值. 【解析】（1）在上存在單調遞增區(qū)間，即存在某個子區(qū)間 使得.由，在區(qū)間上單調遞減，則只需即可。由解得， 所以，當時，在上存在單調遞增區(qū)間. （2）令，得兩根，，. 所以在，上單調遞減，在上單調遞增 當時，有，所以在上的最大值為 又，即 所以在上的最小值為，得，， 從而在上的最大值為. 103.（江西文18） 如圖，在交AC于 點 D,現(xiàn)將 （1）當棱錐的體積最大時，求PA的長； （2）若點P為AB的中點，E為

51、 解：（1）設，則 令 則 單調遞增 極大值 單調遞減 由上表易知：當時，有取最大值。 證明：作得中點F，連接EF、FP，由已知得： 為等腰直角三角形，，所以. 104.（江西文20）設. （1）如果在處取得最小值，求的解析式； （2）如果，的單調遞減區(qū)間的長度是正整數(shù)，試求和 的值．(注：區(qū)間的長度為） .解：（1）已知， 又在處取極值， 則，又在處取最小值-5. 則， （2）要使單調遞減，則 又遞減區(qū)間長度是正整數(shù)，所以兩根設做a，b。即有： b-a

52、為區(qū)間長度。又 又b-a為正整數(shù)，且m+n<10,所以m=2，n=3或，符合。 105.（遼寧理21）已知函數(shù)．（I）討論的單調性； （II）設，證明：當時，； （III）若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明： （x0）＜0． 解：（I） （i）若單調增加. （ii）若且當 所以單調增加，在單調減少. （II）設函數(shù)則 當. 故當， （III）由（I）可得，當?shù)膱D像與x軸至多有一個交點， 故，從而的最大值為 不妨設 由（II）得從而 由（I）知， 106.（遼寧文20）設函數(shù)=x+ax2+bl

53、nx，曲線y=過P（1,0），且在P點處的切斜線率為2． （I）求a，b的值；（II）證明：≤2x-2． 解：（I） 由已知條件得，解得 （II），由（I）知 設則 而 107.（全國Ⅰ理21）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。 （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果當，且時，，求的取值范圍。 解：（Ⅰ），由于直線的斜率為，且過點， 故即 解得，。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以。 考慮函數(shù)，則。 (i)設，由知，當時，。而，故 當時，，可得； 當x（1，+）時，h（x）<0，可得 h（x）>0 從而當x>0,且x1時，f（x）-（+）>0，

54、即f（x）>+. （ii）設00,故 (x）>0,而 h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設矛盾。 （iii）設k1.此時（x）>0,而h（1）=0，故當x（1，+）時，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設矛盾。綜合得，k的取值范圍為（-，0] 108.（全國Ⅰ文21）設函數(shù) （Ⅰ）若a=，求的單調區(qū)間； （Ⅱ）若當≥0時≥0，求a的取值范圍 （21）解： （Ⅰ）時，，。當時;當時，;當時，。故在，單調增加，在（-1，0）單調減少。 （Ⅱ）。令，則。若，則當時，，為減函數(shù)，而

55、，從而當x≥0時≥0，即≥0. 若，則當時，，為減函數(shù)，而，從而當時＜0，即＜0.綜合得的取值范圍為 109.（全國Ⅱ理22）（Ⅰ）設函數(shù)，證明：當＞0時，＞0； （Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為.證明：＜＜. 【命題立意】：本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式證明及等可能事件的概率等知識。通過運用導數(shù)知識解決函數(shù)、不等式問題,考查了考生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力. 【解析】（Ⅰ），（僅當時） 故函數(shù)在單調遞增.當時，，故當＞0時，＞0. （Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽

56、取一張，然后放回，連續(xù)抽取20次，則抽得的20個號碼互不相同的概率為，要證＜（）19＜. 先證： 即證 即證而 ……… 所以. 即 再證：，即證，即證，即證 由（Ⅰ），當＞0時，＞0. 令則，即 綜上有： 110.（全國Ⅱ文20）已知函數(shù) (Ⅰ)證明：曲線 （Ⅱ）若,求的取值范圍。 【解析】(Ⅰ) ，，又 曲線的切線方程是：，在上式中令，得 所以曲線 （Ⅱ）由得，（i）當時，沒有極小值； (ii)當或時，由得 故。由題設知，當時，不等式 無解； 當時，解不等式得 綜合(i)(ii)得的取值范圍是。 111.（山東理21）某企業(yè)擬建造如圖所示的

57、容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為立方米，且.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關.已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為.設該容器的建造費用為千元. （Ⅰ）寫出關于的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域； （Ⅱ）求該容器的建造費用最小時的. 【解析】（Ⅰ）因為容器的體積為立方米，所以,解得,所以圓柱的側面積為=,兩端兩個半球的表面積之和為,所以+,定義域為(0,). （Ⅱ）因為+=,所以令得:; 令得:,所以米時, 該容器的建造費用最小. 112.（陜西理21）設函數(shù)定義在上，，導函數(shù)，．

58、（1）求的單調區(qū)間和最小值； （2）討論與的大小關系； （3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由． 【分析】（1）先求出原函數(shù)，再求得，然后利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性（單調區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構造一個新的函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，并由單調性判斷函數(shù)的正負；（3）存在性問題通常采用假設存在，然后進行求解；注意利用前兩問的結論． 【解】（1）∵，∴（為常數(shù)），又∵，所以，即， ∴；，∴，令，即，解得， 當時，，是減函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的減區(qū)間； 當時，，是增函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的增區(qū)間； 所以是的唯一極值點，且為極小值點，

59、從而是最小值點， 所以的最小值是． （2），設，則， 當時，，即，當時，，， 因此函數(shù)在內(nèi)單調遞減，當時，=0，∴； 當時，=0，∴． （3）滿足條件的不存在．證明如下： 證法一 假設存在，使對任意成立， 即對任意有 ① 但對上述的，取時，有，這與①左邊的不等式矛盾， 因此不存在，使對任意成立． 證法二 假設存在，使對任意成立， 由（1）知，的最小值是， 又，而時，的值域為，∴當時，的值域為， 從而可以取一個值，使，即 ,∴，這與假設矛盾．∴不存在，使對任意成立． 113.（陜西文21）設，． （1）求的單調區(qū)間和最小值； （

60、2）討論與的大小關系； （3）求的取值范圍，使得＜對任意＞0成立． 【分析】（1）先求出原函數(shù)，再求得，然后利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性（單調區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構造一個新的函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，并由單調性判斷函數(shù)的正負；（3）對任意＞0成立的恒成立問題轉化為函數(shù)的最小值問題． 【解】（1）由題設知，∴令0得=1， 當∈（0，1）時，＜0，是減函數(shù)，故（0，1）是的單調減區(qū)間。 當∈（1，+∞）時，＞0，是增函數(shù)，故（1，+∞）是的單調遞增區(qū)間， 因此，=1是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以的最小值為 (2)，設，則， 當時，，即，當時

61、，， 因此，在內(nèi)單調遞減，當時，，即 （3）由（1）知的最小值為1，所以，，對任意，成立 即從而得。 114.（上海理20） 已知函數(shù)，其中常數(shù)滿足 （1）若，判斷函數(shù)的單調性； （2）若，求時的的取值范圍． 解：⑴ 當時，任意， 則 ∵ ，， ∴ ，函數(shù)在上是增函數(shù)。當時，同理函數(shù)在上是減函數(shù)。 ⑵，當時，，則；當時，，則。 115.（上海文21）已知函數(shù)，其中常數(shù)滿足 （1）若，判斷函數(shù)的單調性； （2）若，求時的的取值范圍. 解：⑴ 當時，任意， 則 ∵ ，， ∴ ，函數(shù)在上是增函數(shù)。當時，同理函數(shù)在上是減函數(shù)。 ⑵ 當時，，則； 當時，，則

62、。 116.（四川理22）已知函數(shù)，． （Ⅰ）設函數(shù)F(x)＝f(x)－h(huán)(x)，求F(x)的單調區(qū)間與極值； （Ⅱ）設，解關于x的方程； （Ⅲ）試比較與的大小． 本小題主要考查函數(shù)導數(shù)的應用、不等式的證明、解方程等基本知識，考查數(shù)形結合、函數(shù)與方程、分類與整合、特殊與一般等數(shù)學思想方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力． 解：（Ⅰ）由（）知，，令，得． 當時，；當時，． 故當時，是減函數(shù)；時，是增函數(shù)． 函數(shù)在處有得極小值． （Ⅱ）方法一：原方程可化為， 即為，且 ①當時，，則，即， ，此時，∵， 此時方程僅有一解． ②當時，，由，得，， 若，則，方程有兩解

63、； 若時，則，方程有一解； 若或，原方程無解． 方法二：原方程可化為， 即， ①當時，原方程有一解； ②當時，原方程有二解； ③當時，原方程有一解； ④當或時，原方程無解． （Ⅲ）由已知得． 設數(shù)列的前n項和為，且（） 從而，當時，． 又 ． 即對任意時，有，又因為，所以． 故． 117.（四川文22）已知函數(shù)，． （Ⅰ）設函數(shù)F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的單調區(qū)間與極值； （Ⅱ）設，解關于x的方程； （Ⅲ）設，證明：． 本小題主要考查函數(shù)導數(shù)的應用、不等式的證明、解方程等基礎知識，考查數(shù)形結合、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學思想

64、方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力． 解：（Ⅰ）， ． 令，得（舍去）． 當時．；當時，， 故當時，為增函數(shù)；當時，為減函數(shù)． 為的極大值點，且． （Ⅱ）方法一：原方程可化為， 即為，且 ①當時，，則，即， ，此時，∵， 此時方程僅有一解． ②當時，，由，得，， 若，則，方程有兩解； 若時，則，方程有一解； 若或，原方程無解． 方法二：原方程可化為， 即， ①當時，原方程有一解； ②當時，原方程有二解； ③當時，原方程有一解； ④當或時，原方程無解． （Ⅲ）由已知得， ． 設數(shù)列的前n項和為，且（） 從而有，當時，． 又 ． 即對任

65、意時，有，又因為，所以． 則，故原不等式成立． 118.（天津理21）已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間和極值； （Ⅱ）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線 對稱．證明當時，． （Ⅲ）如果，且，證明． 【解】（Ⅰ）．令，則． 當變化時，的變化情況如下表： 增 極大值 減 所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 函數(shù)在處取得極大值．且． （Ⅱ）因為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱， 所以，于是． 記，則，， 當時，，從而，又，所以， 于是函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)． 因為，所以，當時，．因此． （Ⅲ）(1) 若，由（

66、Ⅰ）及,得,與矛盾； (2) 若，由由（Ⅰ）及,得,與矛盾； 根據(jù)(1)，(2)可得．不妨設． 由（Ⅱ）可知，所以． 因為，所以，又，由（Ⅰ），在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)， 所以　，即． 119.（天津文20）已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）若在區(qū)間上，恒成立，求的取值范圍． 【解】（Ⅰ）當時，，．，． 所以曲線在點處的切線方程為，即． （Ⅱ）． 令，解得或．針對區(qū)間，需分兩種情況討論： (1) 若,則． 當變化時，的變化情況如下表： 增 極大值 減 所以在區(qū)間上的最小值在區(qū)間的端點得到．因此在區(qū)間上，恒成立，等價于 　　即解得，又因為，所以． (2) 若，則． 當變化時，的變化情況如下表： 增 極大值 減 極小值 增 所以在區(qū)間上的最小值在區(qū)間的端點或處得到． 因此在區(qū)間上，恒成立，等價于　　　即 解得或，又因為，所以． 綜合(1),(2), 的取值范圍為. 120.（浙江理22）已知函數(shù). （Ⅰ）求的單調區(qū)間和極值