江蘇省蘇州市第五中學高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何學案（無答案）蘇教版選修2-1

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1、第3章 空間向量與立體幾何 3．1 空間向量及其運算 一、學習內容、要求及建議 知識、方法 要求 學習建議 空間向量的概念 了解 空間向量的定義、表示方法及相等關系都與平面向量相同．可在復習平面向量的定義、表示方法及其相等關系后類比進行理解﹒ 空間向量共線、共面的充分必要條件 理解 共面向量與共線向量的定義對象不同，但定義形式相同． 空間向量的加法、減法及數(shù)乘運算 理解 掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算．利用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律﹒ 空間向量的坐標表示 理解 空間向量的坐標運算，加法、減法和數(shù)量積同平面向量類似，具有類似的運

2、算法則，學習中可類比推廣． 空間向量的數(shù)量積 理解 掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質；掌握空間向量的坐標表示；掌握用直角坐標計算空間向量數(shù)量積的公式；理解向量長度公式及空間兩點間距離公式． 空間向量的共線與垂直 理解 能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直． 二、預習指導 1．預習目標 (1)了解空間向量的概念及空間向量的幾何表示法、字母表示法和坐標表示法； (2)了解共線或平行向量概念、向量與平面平行(共面)意義，掌握它們的表示方法； (3)會用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律； (4)了解空間向量基本定理及其意義；會在簡單問題中選用空間三個不

3、共面向量作基底，表示其他的向量； (5)會用向量解決立體幾何中證明直線和平面垂直、直線和直線垂直、求兩點距離或線段長度等問題的基本方法步驟． (6)掌握空間向量的正交分解及其坐標表示；掌握空間向量的線性運算及其坐標表示； (7)理解空間向量夾角和模的概念及表示方法，理解兩個向量的數(shù)量積的概念、性質 和計算方法及運算律． (8)理解向量的長度公式、夾角公式、兩點間距離公式，并會用這些公式解決有關問題． 2．預習提綱 (1)回顧平面向量的相關知識： ①平面向量的基本要素是什么? ②平面向量是如何表示的? ③特殊的平面向量有那些? ④什么是平行向量(共線向量)

4、? ⑤什么是相等向量? ⑥什么是相反向量? ⑦平面向量共線定理是什么? ⑧平面向量基本定理你知道嗎? (2)請你填一填： ①對平面內任意的四點A，B，C，D，則 ； ②設，則C、D的坐標分別是____________； ③已知，若，則 ； ④若三點共線，則 ____________； ⑤已知正方形的邊長為1，，則的模等于____________； ⑥已知向量，且三點共線，則 ； ⑦等腰中，= ； ⑧已知，則的值= ____________； ⑨，則與的夾角是____________； ⑩已知是

5、兩個非零向量，且的夾角= ____________． (3)研讀教材P71—P83 3．典型例題 例1 如圖，已知四面體，分別是棱的中點，點在線段上，且，用基底向量表示向量． 解： ∴ 點評：若變題為已知，求﹒則由空間向量基本定理存在一個唯一的有序實數(shù)組知． 例2 設空間任意一點和不共線的三點，若點滿足向量關系(其中)．試問：四點是否共面? 解：由可以得到 (見教材P75) 由三點不共線，可知與不共線，所以，，共面且具有公共起點．從而四點共面． 點評：若三點不共線，則空間一點位于平面內的充要條件是存在有序實數(shù)對使得：，或對空間任意一點有：．

6、 例3 已知空間四邊形，為的中點，為中點， 求證：． 證明：(法一)如圖， ，， 兩式相加得： ， 所以，，得證． (法二)如圖，在平面上任取一點，作、， ∵，， ∴ ． 點評：若表示向量，，…，的有向線段終點和始點連結起來構成一個封閉折圖形，則．這一結論的使用往往能夠給解題帶來很大的方便． 例4 如圖，在空間四邊形中，，，，，，，求與的夾角的余弦值． 分析：與的夾角即為與的夾角，可根據(jù)夾角公式求解． 解：∵， ∴ ∴， 所以，與的夾角的余弦值為． 點評：由圖形知向量的夾角時易出錯，如

7、易錯寫成 ． 例5 已知三角形的頂點是，，，試求這個三角形的面積． 分析：可用公式來求面積 解：∵，， ∴，， ， ∴， ， ∴． 例6 已知，，，求滿足，的點的坐標． 分析：已知條件，，也即，，可用向量共線的充要條件處理． 解：設點， ∴，，∵， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，， 又∵，∴設， ∴， ∴∴， 所以，點坐標為． 點評：本題采用的方法是用向量坐標運算處理空間向量共線問題的常用方法． 4．自我檢測 (1)已知點，則點關于軸的對稱點的坐標為____________． (2)設，則與平行的單位向量的坐標為 ．

8、 (3)已知，則的最小值是 ． (4)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若=a，=b，=c．則= ． (用a，b，c表示)﹒ (5)已知四邊形為平行四邊形，且，則點的坐標為 ． (6)設向量，若， 則 ， ． (7)已知，則向量與的夾角是 ． 三、課后鞏固練習 A組 1．已知空間四邊形，連結，設分別是的中點，化簡下列各 表達式，并標出化簡結果向量： (1)； (2)； (3)． 2．平

9、行六面體中，設=，=，=，E、F分別是AD1、 BD中點，試用、、表示下列向量： (1)；(2)；(3)；(4)． 3．正方體中，= ，=，=，=，=，=， 設=λ＋μ＋γ，則= ＋ ＋ ． 4．設、、不共面，，判斷、、是否共 面． 5﹒已知空間四邊形，，，，點在上，且，為中點，試用表示． B組 6．已知三點不共線，為空間任意一點，若，試證： 點與共面． 7．證明四點在同一平面上． 8．已知，若，且垂直于軸，求． 9．已知、、是兩兩垂直的單位向量，求： (1)； (2)； (3)． 10．已知直角坐標系內的、、的坐標，判斷這些向量是否共

10、面?如果不共面，求出以 它們?yōu)槿忂吽鞯钠叫辛骟w的表面積： (1)； (2)． 11．已知為夾角，求． 12．已知 (1)求與夾角余弦值的大小； (2)若，且分別與垂直，求． 13. 平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都等于1，且兩兩夾角都為600，求的長． 14．已知，求： (1)△的面積； (2)△的邊上的高． 15．空間兩個不同的單位向量，都與成角． (1)分別求出和的值；(2)若為銳角，求． 知識點 題號 注意點 空間向量的線性運算 1，2，3，5 類比平面向量 空間向量的數(shù)量積 8，9，11，12，13 類比平面向量 空間向

11、量基本定理 4，6，7， 空間向量基本定理的應用 四、學習心得 五、拓展視野 N維向量空間的起源 宇宙，一個人類永遠的話題，也是人類永遠探索的目標． “沒人確切的知道宇宙是怎么開始的．有人推論是一場無序的災難性爆炸使無盡的世界群不斷旋轉向黑暗--這些世界隨后有了不可思議的生命形態(tài)和天差地別的炯異．也有人相信宇宙是被某個強大實體以整體形式創(chuàng)造出來的．” ?　　宇宙， 是一個空間概念． 它包括行星， 星系等實體．宇宙同時也是一個時間概念． 現(xiàn)代有人解釋宇宙為“無限的空間與時間”，正好印證了中國的一本古書<淮南子>對宇宙的定義，其中說“四方上下謂之宇， 古往來今謂

12、之宙”． “四方上下”概括了所有空間， "古往來今"則概括了部分的時間．為什么說是部分的時間呢? “古往來今”的含義是從永遠的過去到現(xiàn)在的今天． 這樣的定義沒有把從現(xiàn)在到無限的未來包括進來．如果我們把時間用一個變量 t 表示．那么“古往來今”則表示的是 t 在負無窮大到零的區(qū)間，即(-∞， 0]，如果我們設定坐標零點為現(xiàn)在，負方向代表過去，正方向代表將來．對于無限的空間的定義(即，時間 t 從永遠的過去到永遠的將來)，就成為了(-∞， ＋∞)．那么空間呢?同樣我們可以用坐標系的方式來定義空間．問題的關鍵就在于，我們怎么看待我們生存的空間．我們不是生活在一個2維的平面上(而古代的中國人認為地是方

13、的，就如同我小時候想得一樣．)，而是生活在一個類似于球體的物體上．這樣，很多人會說，我們生活在一個3維空間里面．這樣一個3維空間由三個坐標軸 X， Y， Z 組成．在這樣一個3維空間中，任何一個位置p都可以用三個數(shù)(x， y， z)表示，x為位置p在X軸上的取值(也是投影)，同理，y和z也是．同時，這三條坐標軸是正交的．何謂正交，就是三條坐標軸互相垂直．在這個3維空間中，我們有兩點(可能是倫敦)和(可能是巴黎)，從到之間(倫敦到巴黎)的最小距離(直線距離)為D=||-||=sqrt((-)2＋(-)2＋(-)2)．在一般情況，因為各種限制，我們可能用不了最小距離，但是最小距離給我們找到一個下限

14、． 宇宙不僅包括空間，而且包括時間，所以，我們的這個宇宙就變成了3＋1=4維的了．那么宇宙就可以描述為，有了四條正交的坐標軸．比如說事件A為表示，事件A發(fā)生在地點，發(fā)生在t時間．在這樣一個4維空間中，兩個事件之間的最小距離也可以表示出來．但是這個“距離”就不是空間上的相對位置的改變，而是表示兩個事件之間的“關系”． 跳出我們僅僅對宇宙作為時間＋空間的定義．如果我們將宇宙描述為包容萬象的，我們就會看到僅僅用時間＋空間不能來完整來表示．比如說，如何表述一個人?如何表述我們情感?僅僅用四條坐標軸很難去表述這些東西．顯然，我們需要更多的坐標軸．如果要表示我是高興還是悲傷，我們可以加一條坐標軸e，e

15、=0表示我即不高興也不悲傷，當e取負值，越遠離坐標原點，說明我越不happy，相反，當e取正值，越遠離坐標原點，說明我越happy．如果我們要描敘其他的屬性，我們有加入了新的坐標軸．如果，要描述的屬性不計其數(shù)，要加入的坐標軸也不計其數(shù)了．顯然，這是有可能的，因為我們對事物的認識是沒有止境的，所以，當我們要描敘一個事物時，其屬性可能無限多．這也反過來說明了宇宙的包容一切． 所以，宇宙是一個無限維的空間，定為n維空間(n=∞)，其存在n條正交的坐標軸．無數(shù)的基本元素組成了宇宙(注意，這里的元素與化學中提到的元素不同，這里的元素是指單元)．每個元素是一個向量v， v = {v1， v2， v3，

16、．．．， vn}， n =∞，(其實就相當于3維和2維空間中的一個點)．無數(shù)個向量組成的空間叫做向量空間．向量空間的維度就是坐標軸的個數(shù)．宇宙就是一個n維向量空間 3．2 空間向量的應用 一、學習內容、要求及建議 知識、方法 要求 學習建議 直線的方向向量與平面的法向量 理解 理解直線的方向向量與平面的法向量；會用待定系數(shù)法求平面的法向量﹒ 空間線面關系的判定 理解 將空間兩條直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，用直線的方向向量和平面的法向量來表述，是一個“符號化”的過程，應在明確方向向量和法向量含義的基礎上，借助圖形自己“翻譯”完成﹒ 空間的角的計算 理解

17、 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題；體會向量方法在研究幾何問題中的作用﹒ 二、預習指導 1．預習目標 (1)理解直線的方向向量與平面的法向量； (2)會用待定系數(shù)法求平面的法向量； (3)能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關系； (4)能用向量方法證明空間線面位置關系的一些定理(包括三垂線定理)； (5)能用向量方法判定空間線面的平行和垂直關系； (6)能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題． 2．預習提綱 (1)直線的方向向量：我們把直線上的非零向量以及與共線的非零向量叫做直線的方向向量． (2)平面的法向量：如果表示向量的有向線段

18、所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量． (3)用向量描述空間線面關系：設空間兩條直線的方向向量分別為，兩個平面的法向量分別為，則有如下結論： 平 行 垂 直 與 與 與 (4)空間的角的計算： ①兩條異面直線所成的角與它們的方向向量所成的角相等或互補； ②法向量在求線面角中的應用原理：設平面的斜線與平面所的角為1，斜線與平面的法向量所成角2，則1與2互余或與2的補角互余； ③法向量在求面面角中的應用原理：一個二面角的平面角1與這個二面角的兩個半平面的法向量所成的角2相等或互補． 3．典型例題

19、 例1 如圖，在正方體中，分別是的中點，求證：． 分析：用向量方法處理，只要證明，建立空間 直角坐標系，得出的坐標后，用向量數(shù)量積的 坐標運算證明． 證明：設已知正方體棱長為個單位，以為坐標原點， 建立空間直角坐標系（如圖）， 則，，，， ∴，， ∴， ∴，所以，． 點評：建立空間直角坐標系后，確定點的坐標是關鍵． 例2 棱長為的正方體中，在棱上是否存在一點，使面? 解：以為原點建立如圖所示的坐標系，設點， ，，， 要使面， 只要，且， 即，， ∴， ∴，即點與重合 ∴點與重合時，面 點評：用向量法證明垂

20、直問題，只要計算兩向量的數(shù)量積為零． 例3 在三棱錐中，， ．求與所成角的余弦值． 解：如圖，取為原點，分別為軸建立 空間直角坐標系，則有，得 ， ∴ 設與所成的角為， ∵ ∴，即與所成角的余弦值為． 例4 如圖，已知是上、下底邊長分別為2、2，高為的等腰梯形，且、、成等比數(shù)列，將此梯形沿對稱軸折成直二面角， (1)證明：； A B C D O O1 A B O C O1 D (2)設二面角的平面角為當時，求的值． A B O C O1 D x y z 解：(1)證明：∵OA⊥OO1，OB⊥OO1

21、． ∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角， ∴OA⊥OB．以O為原點，OA、OB、OO1 所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系， 則A(，0，0)，B(0，，0)，C(0，，) O1(0，0，)． ∴，， ∴， ∵、、∴，∴∴AC⊥BO1． (2)∴BO1⊥OC， ∵AC⊥BO1，∴BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一個法向量． 設是平面O1AC的一個法向量，由得 得 ．，∴， ∴cos，>= 點評：利用向量求二面角的大小方法： 方法一：轉化為分別是在二面角的兩個半平面內且與棱都垂直的兩條直線上的兩個向量的夾角(注意：要特別關注兩個向量的方向

22、) 如圖：二面角的大小為， ， 則． 方法二：先求出二面角一個面內一點到另一個面的距離及到棱 的距離，然后通過解直角三角形求角． 如圖：已知二面角，在內取一點， P A B l 過作，及，連， 則成立，就是二面角的平面角 用向量可求出及，然后解三角形求出． 方法三：轉化為求二面角的兩個半平面的法向量的夾角． 如圖：為二面角內一點，作，，則與二面角的平面角互補． 例5 如圖，直二面角中，四邊形是邊長 為2的正方形，為上的點，且平面． 求二面角的余弦值． 解：以線段的中點為原點，所在直線為軸， 所在直線為軸，過點平行于的直線為軸， 建立空

23、間直角坐標系，如圖． 面面，， 在的中點， 設平面的一個法向量 為，則解得 令得是平面的一個法向量． 又平面的一個法向量為， 設二面角的大小為，則=，． ∴二面角的余弦值為 例6 如圖，在長方體中，分別是的中點，分別是的中點，． (1)求證：面； (2)求二面角的大小的余弦值． 解： 以為原點，所在直線分別為 軸，軸，軸，建立直角坐標系，則 ， ∵分別是的中點 ∴ (1)， 取，顯然面， ，∴． 又面 ∴面． (2)過作，交于，取的中點，則 設，則，又， 由，及在直線上，可得： 解得， ∴ ， ∴，

24、 即， ∴與所夾的角等于二面角的大小， A C D B P O ， 故二面角的大小的余弦值為． 例7 如圖，在三棱錐， 點分別是的中點，底面﹒ (1)若，試求異面直線與所成角余弦值的大?。? (2)當取何值時，二面角的大小為? A C D B P O x y z 解：連結底面，又， 從 而，以為坐標原點， 建立空間直角坐標系． (1)設，則，， 則 則異面直線與所成角的余弦值的大小為﹒ (2)設， ∵平面，∴為平面的一個法向量． 不妨設平面的一個法向量為， 由，

25、不妨令，則，即， 則， ， 而，． ∴當，二面角的大小為． 4．自我檢測 (1)在正方體中，求證：是平面的法向量． (2)在正方體中，求證：﹒ (3)在正方體中，是的中點，求對角線與所成角的余弦值． (4)在正方體中，是底面的中心，是的中點． ①求證：是平面的法向量； ②求二面角的大?。? (5)在正方體中，是的中點． ①求證：； ②求與所成的角； ③求與平面所成的角． 三、課后鞏固練習 A組 1．已知點是平行四邊形所在平面外一點，若， ， (1)求證：是平面的法向量； (2)求平行四邊形面積． 2．如圖，長方體中，， 點分別是的中點，求

26、異面直線與 所成的角． 3．如圖，平面，且，求異面直線與所成角的正切值． 4．如圖，正四棱柱中， ，求異面直線所成角的余弦值． B組 5．正六棱柱的底面邊長為1，側棱長為，求這個棱柱的側面對角線與所成的角． 6．如圖，、是互相垂直的異面直線，是它們的公垂線段．點在上，在上，． (1)證明⊥； (2)若，求與平面所成角的余弦值． 7．正方體中，求： (1)與平面所成角大小；(2)與平面所成角的正切值． 8．正三棱錐中，底面邊長等于1，側棱，分別為中點，求： (1)異面直線與所成角的余弦值； (2)與平面所成角的正弦值．

27、 9．在底面是菱形的四棱錐中，，點在上，且：= 2：1，在棱上是否存在一點， 使∥平面?證明你的結論． 10．是正方形所在平面外一點，，若分別 在上，且． (1)求證：∥平面； (2)求與所成角的大?。? 11．如圖，四面體中，分別是的中點， ，． (1)求證：平面； (2)求異面直線與所成角的大小的余弦值． 12．如圖，為直角梯形，是平面外一點， ∥平面，，若， (1)求證：； (2)求異面直線與所成角的余弦值大?。? 13．在如圖所示的幾何體中，平面，平面，，，是的中點． (1)求證：； (2)求與平面所成的角． 14．如圖是一個直三棱柱(以為底

28、面)被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知，，． (1)設點是的中點，證明：∥平面； (2)求二面角的大?。? 15．如圖所示，分別是⊙、⊙的直徑．與兩圓所在的平面均垂直，，是⊙的直徑，∥． (1)求二面角的大小； (2)求直線與所成角的大小的余弦值． 16．如圖，在直三棱柱中， ． (1)證明：； (2)求二面角的大小 17．如圖，正三棱柱的所有棱長都為2，為中點． (1)求證：面； (2)求二面角的大小的余弦值． A B C D E F O P H 18．如圖，是邊長為1的正六邊形所在平面外一點，，在平面內的射影為的

29、中點． (1)證明⊥； (2)求面與面所成二面角的大小的余弦值． A D P C B 19．如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，，． (1)求證：平面； (2)求二面角的大小的余弦值． 20．正方體中， (1)求二面角的大小； (2)分別為與中點，求平面和底面所成角的余弦值． 21．如圖，在長方體，中，，點在棱上移動． (1)證明：； (2)等于何值時，二面角的大小為． 22．如圖，平面平面是正三角形， 求二面角的正切值． 23．如圖，在直四棱柱中， ， ，垂足為． (1)求二面角的大?。? (

30、2)求異面直線與所成角的大小的余弦值． 24．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD． (1)證明AB⊥平面VAD； (2)求面VAD與面VDB所成的二面角的大小的余弦值． 25．如圖，四邊形是直角梯形，∠＝90°， ∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝ 120°，⊥，直線與直線所成的角為 60°．建立如圖空間直角坐標系． (1)求二面角的大小的余弦值； (2)求三棱錐的體積． 26．已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，且，側棱與底面成角，以為坐標原點，為軸建立空間直角坐標系． (1)證明：平面； (2)求此三

31、棱柱的體積． 27．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側棱底面，， 為的中點． (1)求直線與所成角的余弦值； (2)在側面內找一點，使面，并求出點到和的距離． 28．如圖，在三棱錐中，底面， 是的中點，且，． (1)求證：平面平面 ； (2)當角變化時，求直線與平面所成的角的取值范圍． 29． 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是 AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到 △A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖，2． (1)求證：A1C⊥平面BCDE； (2)若M是A1D的中點

32、，求CM與平面A1BE所成角的大?。? (3)線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直? 說明理由． 30． 如圖，在四棱錐中，底面是矩形， 平面，，．以的中點 為球心、為直徑的球面交于點． (1)求證：平面⊥平面； (2)求直線與平面所成角的正弦值； (3)求點到平面的距離． 知識點 題號 注意點 求角 2～30 注意線線角，線面角和二面角所定義的范圍，要分清是兩向量的夾角還是其補角 求點到面的距離 27，30 合理運用 求體積 25，26 關鍵還是求點面得距離，記憶多面體的體積公式 證明平行與垂直 1，6，10～14，1

33、6～21，28，30 注意運用平面的法向量 四、學習心得 五、拓展視野 運用空間向量計算距離 (1)向量法在求異面直線間的距離的運用： 設分別以這兩異面直線上任意兩點為起點和終點的向量為，與這兩條異面直線都垂直的向量為，則兩異面直線間的距離是在方向上的正射影向量的模．． (2)向量法在求點到平面的距離中的運用： ①設分別以平面外一點與平面內一點為起點和終點的向量為，平面的法向量為，則到平面的距離等于在方向上正射影向量的模．． ②先求出平面的方程，然后用點到平面的距離公式：點到平面的距離d為：． 例1 直三棱柱的側棱，底面中，，求點到平面的距離．

34、解法一：如圖建立空間直角坐標系，由已知得直棱柱各頂點坐標如下： ， ∴，，， 設平面的一個法向量為， 則， 即． 所以，點到平面的距離． 解法二： 建系設點同上(略)，設平面的方程為 ，把點三點坐標分別代入平面方程得，平面的方程為，又， 設點到平面的距離為，則． 例2 (2020年江蘇高考)如圖，四棱錐中，⊥平面， (1) 求證： (2) 求點到平面的距離 解析：(1)因為PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD， 所以PD⊥BC﹒ 由∠BCD=，得BC⊥DC， 又PDDC=D，PD平面PCD， DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD 因為PC平面PCD，故P

35、C⊥BC (2)連結AC．設點A到平面PBC的距離為h 因為AB∥DC，∠BCD=，所以∠ABC= 從而由AB=2，BC=1，得的面積． 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積 因為PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC． 又，所以﹒ 由，得的面積﹒ 由，得， 故點到平面的距離為﹒ 單元復習 一、知識點梳理 設直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則： 1．設直線所成的角為，則： 2．設直線與平面所成的角為，則： 3．設平面所成的二面角的大小為則： ①若， ②若， 二、學法指導 1． 平面法向量的基本概念．

36、法向量是指與已知平面垂直的向量，它可以根據(jù)選取的坐標不同有無數(shù)多個，但一般取其中較為方便計算的． 2． 平面法向量的基本計算．根據(jù)圖形建立合適的坐標系，設出已知平面的法向量為(x，y，z)，在已知平面內尋找兩條相交直線a，b，并用向量表示它們．由于法向量垂直于平面，則必然垂直這兩條直線，利用垂直向量點乘為零列出方程組．由于有三個未知數(shù)x，y，z，一般是設其中一個為特殊值，求出另外兩個． 3． 平面法向量的基本應用．在求出法向量后，如要證明線面垂直，只需證明要證明的直線平行于該平面的法向量；如要證明面面垂直，只需證明兩個平面的法向量垂直；如要求直線和平面所成的角，只需求出直線和法向量所成的角

37、(利用向量點乘公式求出這個家教的余弦值，它和所求的線面角互余)；如要求二面角大小，只需求出兩個平面的法向量所成的角(同樣利用點乘公式求出這個角的余弦值，它和所求的二面角的平面角相等或互補，然后只需簡單判斷二面角是銳角還是鈍角即可)． 4． 關于空間向量在立體幾何中的應用問題，其中最主要的計算都是圍繞平面的法向量展開的．在絕大部分題目中，空間向量是作為數(shù)學工具來解決兩類問題：一、垂直問題，尤其是線面垂直問題(面面垂直基本類似)；二、角度問題，主要講二面角的平面角通過兩個平面法向量所稱的角來進行轉化(線面角與此類似)．而立體幾何中的平行問題一般是用基本定理來進行解決的． 三、單元檢測 (一)

38、填空題(每小題5分，共70分) 1．已知向量，且與互相垂直，則的值是 ． 2．已知，則與的數(shù)量積等于 ． 3．已知向量，則與的夾角為 ． 4．在下列命題中：①若共線，則所在的直線平行；②若所在的直線是異面直線，則一定不共面；③若三向量兩兩共面，則三向量一定也共面；④已知三向量，則空間任意一個向量總可以唯一表示為．其中正確命題的個數(shù)為 ． 5．直三棱柱中，若，，， 則 ． 6．設A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足，則△BCD是 三角

39、形． 7．在棱長為1的正方體中，和分別為和的中點，那么直線與所成角的余弦值是 ． 8．已知向量，若∥，則與的值分別是 ． 9．(如圖)一個結晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長都等于1，且它們彼此的夾角都是，那么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長為 ． 10．已知為夾角，則=　　?。? 11．在棱長為的正方體中，向量與向量所成的角為　　　?。? 12．如圖，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若與平面所成的角為，則　　　　　． 13．如圖4，在長方體中，，，點在棱上移動，則當?shù)扔凇　　　r，二面角的

40、大小為． 14．已知正方形的邊長為4，分別是的中點，平面，且，則點到平面的距離為 ． (二)解答題(共90分) 15．如圖，在棱長為2的正方體中，是的中點，取如圖所示的空間直角坐標系． (1)寫出的坐標； (2)求與所成的角的余弦值． 16．在正方體中，如圖分別是的中點， (1)求證：平面； (2)． 17．如圖，在四棱錐中，底面是正方形， 側棱底面， ，是的中點，作交于點． (1)證明平面； (2)證明平面． 18．如圖，四邊形是直角梯形， ， 平面，． (1)求與平面所成的角余弦； (2)求平面和平面所成角的余弦． 19．如圖，在三棱錐中，，，點分別是的中點，底面． (1)求證：平面； (2)當時，求直線與平面所成角的大小； (3)當為何值時，在平面內的射影恰好為的重心? 20．是平面外的點，四邊形是平行四邊形，． (1)求證：平面; (2)對于向量，定義一種運算： ， 試計算的絕對值;說明其與幾何體的體積關系，并由此猜想向量這種運算的絕對值的幾何意義．