江蘇省蘇州市第五中學高中數(shù)學 2.5函數(shù)與方程學案 蘇教版必修1

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1、2.5 函數(shù)與方程 一、 學習內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 建議 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 理解 會用函數(shù)圖象的交點解釋方程根的意義，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù). 用二分法求方程的近似解 了解 根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解. 二、 預習指導 1. 預習目標 (1)學會用函數(shù)圖象的交點解釋方程的根的意義；能利用二次函數(shù)的圖象與判別式的符號，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，了解函數(shù)零點與方程根的聯(lián)系． (2)能夠借助計算器用

2、二分法求方程的近似解，理解這種方法的實質(zhì)． (3)體驗并理解函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法． 2. 預習提綱 (1) 閱讀教材§2.5.1和典型例題之例1、例2，初步理解零點的概念，學會用函數(shù)圖象的交點解釋方程的根的意義． (2)閱讀典型例題之例3～例5及拓展視野部分，學習如何利用二次函數(shù)的圖象與判別式的符號，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)． (3)閱讀教材§2.5.2和典型例題之例6～例8，學習如何借助計算器用二分法求方程的近似解，及如何應用零點的定義求參數(shù)的范圍． (4) 嘗試完成自我檢測1～6. 3. 典型例題 (1)零點的存在性問題 例1 判斷下

3、列函數(shù)的零點個數(shù)： (1) ；(2) ． 分析：利用函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，可以借助對應二次方程的判別式來判斷二次函數(shù)零點的個數(shù)． 解：(1) 考察二次方程，即，，所以方程無實根，該二次函數(shù)沒有零點． (2) 考察二次方程，，當時，，方程有兩個不等實根，因此函數(shù)有兩個零點；當時，，方程有兩個相等實根，因此函數(shù)有一個零點；當時，，方程無實根，因此函數(shù)沒有零點. 點評：判斷二次函數(shù)在上的零點個數(shù)關(guān)鍵看二次方程的判別式的符號，當，，時分別對應于函數(shù)有兩個零點，一個零點，無零點． 例2 判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點． (1) ，；(2) ，； (3) ，；(4

4、) ，． 分析：利用零點存在性定理或函數(shù)圖象進行判斷． 解：(1) 方法一：∵，，∴， 故，存在零點． 方法二：解方程，得或， ∴函數(shù)，存在一個零點． (2)方法一：解方程，得或， ∴函數(shù)，存在兩個零點． 方法二：函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線(不間斷曲線)，對稱軸 為，且，畫出函數(shù)的圖象，由圖可知， ，存在兩個零點． 方法三：∵，，∴，且，故，在和上各有一個零點，從而在上共存在兩個零點． (3) ∵，，∴， 故，存在零點． (4)∵，，∴， 故，存在零點． 點評：判斷函數(shù)的零點存在性問題常用的方法有三種，一是利用零點存在性定理，二是直接解方程

5、，三是利用函數(shù)圖象(數(shù)形結(jié)合)． (2)二次函數(shù)的零點問題 例3 已知函數(shù)有兩個零點，其中一個在區(qū)間內(nèi)，另一個在區(qū)間內(nèi)，求的取值范圍. 分析：由于函數(shù)含有字母參數(shù)，且要求零點在兩個具體的確定區(qū)間上，所以利用判別式或解方程的方法解題均不夠理想，故利用圖象法．根據(jù)題意畫出示意圖，分析區(qū)間端點處函數(shù)值的正負即可解決該題. 解：由題意，畫出示意圖可得： 解得. 點評：對于不能直接解方程，或一下子不容易尋找到函數(shù)值異號的兩端點時，可以利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)尋找零點． 例4 (1) 函數(shù)有兩個零點，且一個大于1，一個小于1，求實數(shù)的取值范圍. (2) 關(guān)于的方程有兩實根且一根大于4，

6、一根小于4，求實數(shù)的取值范圍. 分析：利用根與系數(shù)的關(guān)系或利用函數(shù)圖象、數(shù)形結(jié)合法解決. 解：(1) 方法一：設(shè)方程的兩根分別是，依題意，只需滿足，即，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，即. 方法二：由于圖象開口向上，故依題意，只需，即 ，即. (2) 令，依題意，時顯然不可能，時，根據(jù)圖象可得，解得. 點評：此類方程根的分布問題通常有兩種解法：一是方程思想利用根與系數(shù)的關(guān)系，二是函數(shù)思想構(gòu)造二次函數(shù)利用其圖象分析，從而求解，本題⑵中沒有用方程思想的原因是較為復雜，本題體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的具體應用. 例5 已知是大于零的實數(shù)，函數(shù)，如果方程在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)根，求

7、實數(shù)的取值范圍. 解：方程在上有兩個不同的實數(shù)根，結(jié)合圖象有， 解得：． 所以實數(shù)的取值范圍是. 點評：利用函數(shù)圖象、數(shù)形結(jié)合法時，常要同時考慮圖象開口、判別式符號、區(qū)間兩端點處的函數(shù)值符號及對稱軸位置等四個方面． (3)用二分法求函數(shù)的零點近似值 例6 在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防汛指揮部的電話線路發(fā)生了故障.這是一條長10km的線路，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多，每查一個點要爬一次電線桿子，10km長大約有200多根電線桿.想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？ 分析：對于生活中一些故障排查等問題，可以利用二分法的思想來處理，其過程

8、比較省時． 解：可利用二分法的原理進行查找.設(shè)閘門和指揮部所在處為點A、B，他首先從中點C處 查，向兩端測試，若AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC中點D，發(fā)現(xiàn)BD正常，可見故障在CD，再到CD中點E處查看，這樣每查一次，就可以把待查線路長度縮減為一半，故經(jīng)過7次查找，就可以將故障發(fā)生的范圍縮小到50m-100m左右，即在一兩根電線桿附近. 點評：數(shù)學源于生活，又應用于生活．二分法的原理在日常生活中應用比較廣泛，只要用心觀察就能體察到它的效用. 例7 用二分法求方程的一個近似解，精確到． 分析：求方程的近似解，即求相應函數(shù)的近似零點，可先確定零點所在的大致區(qū)間(從一個兩端函數(shù)值異

9、號的區(qū)間開始)，應用二分法逐步縮小方程實數(shù)解所在的區(qū)間. 解：設(shè)，經(jīng)計算，，，所以函數(shù)在內(nèi)存在零點，即方程在內(nèi)有解.取的中點，經(jīng)計算，又，所以方程在內(nèi)有解.如此繼續(xù)下去，得到方程的一個實數(shù)解所在的區(qū)間，如下表： 的中點 ， 可以看出，方程的根落在區(qū)間內(nèi)，所以是方程精確到的一個近似解. 點評：當區(qū)間兩端點按精確要求所取近似值相等時，兩端點的近似值就是方程的一個近似解. (4)函數(shù)零點的綜合應用 例8 若函數(shù)有個零點，求實數(shù)的

10、取值范圍． 分析：構(gòu)造兩個函數(shù)和，分別作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解． 解：函數(shù)有個零點，即方程 有四個根，即有四個 根．令，．作出的圖象(如圖所 示)，由圖可知，要使有四個根，即要使和的圖象有四個交 點．故需滿足，即． ∴實數(shù)的取值范圍為． 點評：此類方程根的分布問題，通常有兩種解法．一種是利用方程中根與系數(shù)的關(guān)系或利用函數(shù)思想結(jié)合圖象求解，二是構(gòu)造兩個函數(shù)分別作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解．此類題目也體現(xiàn)了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的思想． 4. 自我檢測 (1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則函數(shù)的圖象與x軸的 交點個數(shù)為 ． (2)方程的根應為函數(shù)_______

11、______與x軸交點的橫坐標. (3)在用二分法求方程的一個近似解時，現(xiàn)在已經(jīng)將根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為____________． (4)函數(shù)的零點為____________． (5)函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是(　　) ． 　A．　　　B．　　　C．　　　D． (6)已知函數(shù)在上有零點，實數(shù)的取值范圍是 ____________. 三、 課后鞏固練習 A 組 1．已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應值表： x 1 2 3 4 5 6 f(x) 111．136 10．552 -3．92 10．88 -42．48

12、8 -202．064 函數(shù)在區(qū)間________________________上有零點. 2．若函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，則下列說法中一定正確的序號為______. ①函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點 ②函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)有零點 ③函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，2)內(nèi)有零點 ④函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，4)內(nèi)有零點 3．求下列函數(shù)的零點： (1)； (2)； (3)； (4) . 4．(1)二次函數(shù)中，，則函數(shù)的零點個數(shù)是____

13、 __. (2)函數(shù)的零點個數(shù)為___________. (3)方程根的個數(shù)為_______. (4)函數(shù)的零點是_________. (5)若函數(shù)有一個零點3,那么函數(shù)的零點是___________. 5．若的圖象關(guān)于y軸對稱，且有三個零點，則這三個零點之和等于_____. 6．設(shè)二次函數(shù)，若，則_______. 7．(1)函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是(　　)． 　　A．(-2，-1)　　　 B．(-1,0)　　　 　C．(0,1)　　 　D．(1,2) (2)若是方程的解，則屬于區(qū)間( ) ． A． B．

14、 C.． D ． 8．(1)如果關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍 是 ． (2)若函數(shù)只有一個零點．則= ． (3)關(guān)于的方程的一個根比1大，另一根比1小，求實數(shù)的 取值范圍． (4)關(guān)于x的方程的一個根大于-2而小于0，另一個根大于1而小于3， 求實數(shù)a取值范圍． (5)若的兩根都小于-1，求實數(shù)a的取值范圍． (6)關(guān)于x的方程的兩根均在[-1，1]之間，求實數(shù)m的取值范圍． 9．判斷函數(shù)零點的個數(shù)． 10．(1)關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為____________

15、. (2)已知關(guān)于x的方程有正根，求實數(shù)a的取值范圍. B組 11．(1)方程2x=x2的解的個數(shù)是____________． (2)若函數(shù)滿足，且時，，則的實根有____________個． 12．方程的根的情況是________. ①僅有一根 ②有兩個正根 ③有一個正根和一個負根 ④有兩個負根 13．若為方程的兩個實數(shù)解，則____________． 14．已知，它的兩個零點是，則實數(shù)的大小關(guān)系為________. 15．若方程在區(qū)間()上有一根，求的值. 16．已知函數(shù)的圖象與x軸的交點至少有一個在原點

16、的右側(cè)，求實數(shù)m的取值范圍. 17．已知函數(shù)， (1)是否存在實數(shù)，使的解集為(3，4)？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，說明理由． (2)若為整數(shù)，，且函數(shù)在上恰有一個零點，求的值． C組 18．已知分別是實系數(shù)一元二次方程和的一個根，且．求證：有且僅有一個根介于之間． 19．若關(guān)于x的方程在上有解，求實數(shù)a的取值范圍 ． 20．已知函數(shù)， (1)證明：在上為增函數(shù)； (2)證明：沒有負數(shù)根． 知識點 題號 注意點 二次函數(shù) 零點問題 研究二次方程的根的分布，常用方法是利用二次函數(shù)的圖象來研究，其中判別式、對稱軸、韋達定理都是十分有用的工具. 其

17、它函數(shù) 零點問題 注意零點存在定理的應用，和零點幾何意義的多變性 二分法 熟悉二分法求方程近似解的基本方法和步驟. 綜合問題 注意數(shù)形結(jié)合方法的應用 四、 學習心得 五、 拓展視野 一元二次函數(shù)在區(qū)間上的零點問題 一元二次函數(shù)在區(qū)間上的零點問題，又稱為一元二次方程的實根分布問題，常利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)，融合圖象開口、判別式符號、區(qū)間兩端點處的函數(shù)值符號及對稱軸位置等四個方面的情況進行分析，數(shù)形結(jié)合加以解決． 根據(jù)零點存在性定理，并結(jié)合一元二次函數(shù)函數(shù)圖象(拋物線)的特點，可以得到以下結(jié)論： (1) 在區(qū)間 上有且只有一個零點(不是的零點 (如

18、下圖所示)； (2) 在區(qū)間上有兩個不相等的零點 ； 說明：上面結(jié)論中的①、②、③、④四個條件缺一不可，若分別少了條件①、②、③、④結(jié)論不成立，其反例分別如下圖： (3) 在區(qū)間上有兩個不相等的零點 ； 說明：(2)、(3)可以統(tǒng)一為：在區(qū)間上有兩個不相等的零點． 例 (1) 已知關(guān)于的方程有一根大于，一根小于，則實數(shù)的取值范圍為 ． (2) 若函數(shù)至少有一個正零點，則實數(shù)的取值范圍是 ． (3) 若函數(shù)在上有零點，則實數(shù)的取值范圍是 _． 分析:借助函數(shù)的圖象，根據(jù)上面的有關(guān)結(jié)論加以解決．要注意區(qū)分不同類型．還要注意討論二次項

19、系數(shù)是否為零，否則會遺漏一次函數(shù)的情形． 解：(1) 記，方程有一根大于，一根小于 函數(shù)在區(qū)間和上各有一個零點．結(jié)合 圖象(如右圖所示)，可得，解得. (2) 函數(shù)至少有一個值為正的零點方程至少有一個正實數(shù)解． 當時，僅有一個實數(shù)解為．∴不合題意． 當時，函數(shù)為一元二次函數(shù)．． ① 若方程有且僅有一個正的實數(shù)解，則，解得無解． ② 若方程有兩個正的實數(shù)解，則結(jié)合圖象(如右圖所示)，可得 ，解得． 綜上可得，當時，函數(shù)至少有一個值為正的零點． (3) 函數(shù)在上有零點方程在上有實數(shù)解． 當時，方程的解為，在上．∴時，符合題意． 當時，為一元二次函數(shù)，且，．

20、① 若，得，此時方程有兩根和，而，，∴時，在上有零點． ② 若，得，此時方程有兩根和，而，，∴時，在上有零點． ③ 若，即，則函數(shù)在上有零點． ，或 ，或 ，或，或 ，或，或無解．綜上①②③得， 當，或時，函數(shù)在上有零點． 綜上可得，當時，函數(shù)在上有零點． 點評：(1) 一元二次方程的實根分布問題的解題步驟：① 看開口，求對稱軸，畫草圖；② 計算區(qū)間端點處的函數(shù)值和，并分別討論和的情況；③ 當時，結(jié)合圖象，列出滿足題意的不等式組，并解之．(2) 由于題⑵和題⑶中情況比較復雜，需要分類討論加以解決，其實我們也可以按照“正難則反”的思維原則，先考察其反面情形，再取其補集． 2.

21、6 函數(shù)模型及其應用 一、 學習內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 建 議 函數(shù)模型及其應用 理解 從實例出發(fā)，體驗用函數(shù)描述實際問題的價值，感受函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型.體驗一次函數(shù)、正(反)比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)在刻畫現(xiàn)實問題中的作用.建立函數(shù)模型就是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，是數(shù)學地解決問題的關(guān)鍵. 二、 預習指導 1. 預習目標 (1)結(jié)合大量的實例，體驗一次函數(shù)、正(反)比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系及其在刻畫現(xiàn)實問題中的作用． (2)了解利用數(shù)學方法處理實際問題的一

22、般步驟，能根據(jù)實際問題的情境建立函數(shù)模型，利用計算工具，結(jié)合對函數(shù)性質(zhì)的研究，給出問題的答案． (3)能利用所學的數(shù)學知識分析、研究身邊的問題，培養(yǎng)自己數(shù)學地觀察世界、感受世界，數(shù)學地分析問題、探索問題、解決問題的能力． 2. 預習提綱 (1)閱讀教材§2.6，了解利用數(shù)學方法處理實際問題的一般步驟． (2)閱讀典型例題之例1～例7，體驗函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系及其在刻畫現(xiàn)實問題中的作用，學習如何根據(jù)實際問題的情境建立相應的函數(shù)模型，感受如何數(shù)學地分析問題、探索問題、解決問題． (3)閱讀拓展視野部分及教材§2.6后的鏈接部分(數(shù)據(jù)擬合)與探究案例(鋼琴與指數(shù)曲線)，進一步學習如何

23、合理的選擇函數(shù)模型，理解數(shù)據(jù)擬合是對事物發(fā)展規(guī)律進行估計的一種方法，學會根據(jù)條件借助現(xiàn)代計算工具解決一些簡單的實際問題． (4)嘗試完成自我檢測1～5. 3. 典型例題 (1)一次函數(shù)模型的應用 例1 某市一家報刊攤點，從報社進一種報紙的價格是每份0.20元，零售價是每份0.30元，賣不掉的報紙可以以每份0.05元的價格退給報社.在一個月(以30天計算)中，有20天每天可以售出400份報紙，其余10天每天只能售出250份 ，但每天從報社買進的份數(shù)必須相同.若攤主每天從報社買進x(250≤x≤400)份，寫出這個攤主這個月所獲利潤y(元)關(guān)于x的函數(shù)表達式；這個攤主每天從報社進多少份該

24、報紙，才能使每月所獲利潤最大？ 分析：由于一個月內(nèi)有10天售出的份數(shù)與另外20天售出的份數(shù)不同，因而所獲利潤要分兩段計算，而每天進多少份使利潤最大則需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析． 解：設(shè)每天從報社買進x()份，則每月共可銷售份，每份可獲利潤0.10元；退回報社份，每份虧損0.15元，則依題意，得 ， 函數(shù)在上單調(diào)遞增，時，(元)． 答：攤主每天從報社買進400份時，每月所獲得的利潤最大，最大利潤為825元． 點評：解決實際問題的關(guān)鍵是仔細審題，弄清題意，分析條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，建立相應的數(shù)學模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題加以解決． (2)二次函數(shù)模型的應用 例2 某市現(xiàn)有從事第

25、二產(chǎn)業(yè)人員100萬人，平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值a萬元(a為正常數(shù))，現(xiàn)在決定從中分流x萬人去加強第三產(chǎn)業(yè)，分流后，繼續(xù)從事第二產(chǎn)業(yè)的人員平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值可增加﹪(00，x>0，可解得．設(shè)該市第二、三產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)值增加萬萬元，則＝，且在上單調(diào)遞增，當x=50時，．

26、 答：在保證第二產(chǎn)值不減少的情況下，分流出50萬人，才能使該市第二、三產(chǎn)業(yè)的總 產(chǎn)值增加最多. 點評：二次函數(shù)是我們比較熟悉的基本函數(shù)，建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的最值，解決實際中的最優(yōu)化問題，值得注意的是一定要注意自變量的取值范圍，利用二次函數(shù)配方法，通過對稱軸與單調(diào)性求解是這一類函數(shù)的基本方法． (3)指數(shù)函數(shù)模型的應用 例3 按復利計算利息的一種儲蓄，本金為元，每期利率為，設(shè)本利和為，存期為，寫出本利和隨存期變化的函數(shù)式．如果存入本金元，每期利率為，試計算期后的本利和是多少？ 分析：按復利計算利息的儲蓄，本質(zhì)上是增長率問題．可以一期一期地推求． 解：已知本金為元，期后的本利

27、和為：．期后的本利和為：． 期后的本利和為：．由此推導，得期后的本利和為：．將，，代入上式，由計算器算得元． 答：復利計算下本利和隨存期變化的函數(shù)式為，期后的本利和是元． 點評：復利計息問題的實質(zhì)是指數(shù)函數(shù)模型應用，單利計息問題為定義在整數(shù)集上的一次函數(shù)模型，解題時要加以區(qū)分． (4)冪函數(shù)模型的應用 例4 1999年10月12日為“世界60億人口日”，提出了“人類對生育的選擇將決定世界未來”的主題，控制人口急劇增加的緊迫任務(wù)擺在我們的面前． (1) 世界人口在過去40年內(nèi)翻了一番，問每年人口平均增長率是多少？ (2) 我國人口在1998年底達到12.48億，若將人口平均增長率控

28、制在1%以內(nèi)，我國人口在2020年底至多有多少億？ 以下數(shù)據(jù)供計算時使用： 數(shù)N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000 對數(shù)lgN 0.0043 0.0065 0.0073 0.1173 0.3010 數(shù)N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78 對數(shù)lgN 0.4771 0.6990 1.0962 1.1176 1.1392 分析：增長率是指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)問題，利用已知條件，列出函數(shù)模型． 解：(1) 設(shè)每年人口平均增長率為x，n年前的人口數(shù)為y，則．由題意，當n=40時，y=30，即，，兩邊取對

29、數(shù)，則40lg(1+x)=lg2，則，,的x=1.7%． (2) 依題意，，得 ，，故人口至多有13.78億． 答：每年人口平均增長率為1.7%，2020年人口至多有13.78億. 點評：此類增長率問題，在實際問題中?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型(其中為基礎(chǔ)數(shù)，為增長率，為時間)和冪函數(shù)模型(其中為基礎(chǔ)數(shù)， 為增長率，為時間)的形式．解題時，往往用到對數(shù)運算，要注意已知表格中給定的值對應求解． (5)對數(shù)函數(shù)模型 例5 測量地震級別的里氏是地震強度(即地震釋放的能量)的常用對數(shù)值，顯然級別越高，地震強度也越高．如日本1923年地震是級，舊金山1906年地震是級，1989年地震是級，試計算一下日

30、本1923年地震強度是級的幾倍？是級的幾倍？(參考數(shù)據(jù)) 分析：根據(jù)題意知，地震級別的里氏與地震強度之間滿足對數(shù)關(guān)系，可以根據(jù)地震級別求出地震強度，也可將地震強度的比轉(zhuǎn)化為對數(shù)進行運算． 解：用、、分別表示級、級、級地震的地震強度，則題意知，，，．由于，∴．由于，∴． 答：日本1923年地震強度是級的倍，是級的倍． 點評：地震級別每提高一點時，其強度就可能提高好多倍，其帶來的災害影響就會特別嚴重． (6)“”型函數(shù)模型 例6 已知按A設(shè)計方案，建造一棟房子的造價是由地面部分和基礎(chǔ)部分兩部分造價組成，若建造一棟面積為M的房子，地面部分的造價，基礎(chǔ)部分的造價(其中為正實數(shù))，又知按A設(shè)

31、計方案建造一棟面積為1600的住房，共造價是176.8萬元，且地面部分的造價是基礎(chǔ)部分的36％．現(xiàn)要按A設(shè)計方案，建造總面積為40000的住房若干棟，試問：建造多少棟可使其總造價最少？ 分析：根據(jù)題設(shè)條件，要先求出、，再建立總造價與棟數(shù)間的函數(shù)模型． 解：由題意，面積為的一棟房子造價為， 由，解得，．設(shè)建造棟房子，可使總造價最低，則． ∴面積為的一棟房子造價為 ， 總造價．考察函數(shù)的單調(diào)性可得， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當時，取得最小值．∴當，即時最?。? 答：建造棟可使其總造價最少． 點評：對于形如型的函數(shù)模型問題的解決常利用函數(shù)的單調(diào)性解決(在后續(xù)的學習中，也會采用基

32、本不等式處理)，但要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯． (7)分段函數(shù)模型的應用 例7 醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線(OA為線段，AB為某二次函數(shù)圖象(拋物線)的一部分，O為原點，B為拋物線的頂點)． (1) 寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式； (2) 據(jù)進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于微克時，對治療有效，求服藥一次治療疾病的有效時間是多少？ 分析：圖中的兩段曲線分別是一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象的一部分，可以用待定系數(shù)法分別求出． 解：(1) ∵線段為經(jīng)過，，∴段函數(shù)

33、關(guān)系式，． ∵段為二次函數(shù)圖象(拋物線)的一部分，且為拋物線的頂點．∴可設(shè)對應的二次函數(shù)為，又拋物線過，∴．∴段的函數(shù)關(guān)系式為，． ∴服藥后與的函數(shù)關(guān)系式為． (2) 當時，，得，當時，， 得，有，，. 答：服藥一次治療疾病有效的時間為小時． 點評：分段函數(shù)是實際應用問題中經(jīng)常遇到的一種函數(shù)，不同范圍的自變量所遵循的規(guī)律不同，對應的函數(shù)解析式也就不一樣，可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規(guī)律(函數(shù)解析式)分別找出來，再將其合到一起．求解時要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準確、簡潔，做到分段合理，不漏不重． 4. 自我檢測 (1)某種細菌在培養(yǎng)過程中

34、，每20分鐘分裂一次(一個分裂為2個)，則經(jīng)過3個小時，該細菌由1個可繁殖成________個． (2)放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象成為衰變，假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量(單位：太貝克)與時間(單位：年)滿足函數(shù)關(guān)系：，其中為時銫137的含量，已知時，銫137的含量的變化率是(太貝克/年)，則________． (3)小麗的家與學校的距離為千米，她從家到學校先以勻速跑步前進，后以勻速 ()走完余下的路程，共用小時，下列能大致表示小麗距學校的距離(千米) 與離家時間(小時)之間的關(guān)系的圖象是 ．(填寫對應

35、圖象的編號) (4)里氏震級M的計算公式為：，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅是相應的標準地震的振幅，假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000,此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為__________級；9級地震的最大的振幅是5級地震最大振幅的__________倍． 三、 課后鞏固練習： A 組 1．已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品產(chǎn)量與月份滿足關(guān)系，現(xiàn)已知該廠今年1 月，2月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件，1.5萬件，則該廠3月份產(chǎn)品的數(shù)量為______萬件. 2．某社區(qū)所屬電腦中心向居民低價開放,設(shè)有如下兩種月收費方案可供選擇： 收費方案 方案甲 方案

36、乙 每月基本服務(wù)費 10元 20元 免費用電腦時間 10小時 40小時 以后每小時收費 0.5元 0.5 若某居民每月上網(wǎng)時間為30小時,則從較為省錢的角度他應選擇的方案是_________. 3.中國政府正式加入世貿(mào)組織后，從2000年開始，汽車進口關(guān)稅大幅度下降.若進口一輛汽 車2001年售價為30萬元，七年后(2020年)售價為萬元，每年下調(diào)率平均為，那么 和的函數(shù)關(guān)系為_______________. 4.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元. 又已知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，，則總利潤L(Q)的最大值 是

37、________. 5.某企業(yè)生產(chǎn)的新產(chǎn)品必須先靠廣告來打開銷路，該產(chǎn)品的廣告效應應該是產(chǎn)品的銷售額 與廣告費之間的差，如果銷售額與廣告費的算術(shù)平方根成正比，根據(jù)對市場進行抽樣調(diào)查顯 示：若付出100元的廣告費，所得的銷售額是1000元，為獲得最大的廣告效應，則該企業(yè) 應該投入的廣告費為多少元？ 6.為了預防甲型H1N1流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒. 已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題： (1)求從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含

38、藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時后，學生才能回到教室？ 7．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度(單位：千米/小時)是車流密度(單位：輛/千米)的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數(shù)． (1)當時，求函數(shù)的表達式； (2)當車流密度為多大時，車流量(單位

39、時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時) B 組 8．某廠原來月產(chǎn)量為a，一月份增產(chǎn)10%，二月份比一月份減產(chǎn)10%，設(shè)二月份產(chǎn)量為b， 則a與b的大小關(guān)系為_______. 9．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為和 ，其中為銷售量(單位：輛).若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大 利潤為_____________萬元. 10．某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為1.80元，當用水 超過4噸時，超過部分每噸3.00元，某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩用

40、戶該 月用水量分別為5x，3x噸， (1)求y關(guān)于x的函數(shù)； (2)若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費. 11.某種商品在最近40天內(nèi)每件的銷售價格P與時間t的函數(shù)關(guān)系是： 該商品的銷售量Q件與t天的函數(shù)關(guān)系式為：求最近40天內(nèi)這種商品的銷售金額的最大值，并指出取得該最大值是第幾天？ C 組 12.某西部山區(qū)的某種特產(chǎn)由于運輸?shù)脑?，長期只能在當?shù)劁N售，當?shù)卣畬υ擁椞禺a(chǎn)的 銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤萬元.當?shù)卣當M在 新的十年發(fā)展規(guī)劃中加快發(fā)展此特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對該項目每年都投 入60萬元的銷售投資，

41、在未來10年的前5年中，每年都從60萬元中撥出30萬元用于修建 一條公路，5年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當?shù)劁N售；公路通車后的5年中，該特產(chǎn)既在本 地銷售，也在外地銷售，在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤 萬元，問從10年的累計利潤看，該規(guī)劃方案是否可行？ 知識點 題號 注意點 分段函數(shù) 注意分段的節(jié)點，求最值時先分段考慮. 非分段函數(shù) 建立函數(shù)模型就是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，是數(shù)學地解決問題的關(guān)鍵. 四、 學習心得 五、 拓展視野 簡單數(shù)據(jù)擬合 如何合理的選擇函數(shù)模型是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的關(guān)鍵所在，下面我們在

42、看兩例，加深感悟和理解． 例1 南方某地市場信息中心為了分析本地區(qū)家種野菜“蘆蒿”的供求關(guān)系，通過調(diào)查得到市場需求量和供應量數(shù)據(jù)(見下表)． 蘆蒿的市場需求量信息表⑴ 需求量噸 40 38 37.1 36 32.8 30 價值千元/噸 2 2.4 2.6 2.8 3.4 4 蘆蒿的市場供應量信息表⑵ 價值千元/噸 2 2.5 3.2 4.46 5 5.3 供應量噸 29 32 36.3 40.9 44.6 47 (1) 試寫出描述蘆蒿市場需求量關(guān)于價格的近似函數(shù)關(guān)系式； (2) 試根據(jù)這些信息，探求市場對蘆蒿的供求平衡量(需求量

43、與供應量相等時，又稱為供求平衡量)(近似到噸)． 分析:通過圖表給出信息，分別作出散點圖即可獲得函數(shù)模型，從而求解． 解：(1) 在直角坐標系中，由表⑴描出數(shù)對對應的點，由圖1(見下圖)可知這些點近似地構(gòu)成一條直線(其中四個點在一直線上)，所以 蘆蒿市場需求量關(guān)于價格的近似函數(shù)關(guān)系式可 設(shè)為，選擇點和代入， 可解得，，∴ ① (2) 同理如圖2(見上圖)，可知蘆蒿市場供應量關(guān)于價格的近似函數(shù)關(guān)系式可設(shè)為 ② 解①②聯(lián)立的方程組，得，．∴市場對蘆蒿的供求平衡量為噸． 答：(1) 蘆蒿市場需求量關(guān)于價格的近似函數(shù)關(guān)系式為；(1) 市場對蘆蒿的供求平衡量為噸． 點評：

44、此類題目為開放型的探究題，函數(shù)模型是不確定的，需要我們?nèi)ヌ剿?、嘗試，找到最合適的模型，解題過程一般為：(1) 根據(jù)散點圖找出合適的函數(shù)模型；(2) 求出函數(shù)解析式；(3) 利用所求的函數(shù)解析式解決問題． 例2 蘆薈是一種經(jīng)濟價值很高的觀賞、食用植物，不僅可以美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內(nèi)占有很大的市場，某人準備進軍蘆薈市場，栽培蘆薈，為了了解行情，進行市場調(diào)研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q(單位為：元/10kg)與上市時間t(單位：元)的數(shù)據(jù)情況如下表： 時間/t 50 110 250 種植成本/Q 150 108 150 (1) 根據(jù)上表數(shù)據(jù)

45、，從下列函數(shù)中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系： Q=at+b，Q=,Q=，Q=； (2) 利用你選擇的函數(shù)，求蘆薈種植成本最低時上市天數(shù)及最低種植成本. 分析：要選擇最能反映蘆薈種植成本與上市時間之間的變化關(guān)系的函數(shù)式，應該分析各函數(shù)的發(fā)展情況，通過研究這些函數(shù)的變化趨勢與表格提供的數(shù)據(jù)是否相符來判斷哪個函數(shù)最優(yōu). 解：(1)由所提供的數(shù)據(jù)可知，反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系的函數(shù)不可能是常值函數(shù)，故用函數(shù)Q=at+b，Q=，Q=中的任意一個來反映時都應有，而上述三個函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格所提供的數(shù)據(jù)不符合，所以應選用二次函數(shù)Q=進行描述. 將表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入函數(shù)Q=，可得 ，解得 所以，反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系的函數(shù)為Q=. (2) 由第(1)問，當天時，蘆薈種植成本價格最低為Q=(元/10kg) 點評：合理的選擇函數(shù)模型，應從實際出發(fā)，分析數(shù)據(jù)的發(fā)展情況，以尋求最優(yōu)函數(shù)模型.