江蘇省蘇州市第五中學高中數(shù)學 3.1空間向量及其運算學案（無答案）蘇教版選修2-1

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1、3．1 空間向量及其運算 一、學習內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 學習建議 空間向量的概念 了解 空間向量的定義、表示方法及相等關(guān)系都與平面向量相同．可在復習平面向量的定義、表示方法及其相等關(guān)系后類比進行理解﹒ 空間向量共線、共面的充分必要條件 理解 共面向量與共線向量的定義對象不同，但定義形式相同． 空間向量的加法、減法及數(shù)乘運算 理解 掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算．利用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律﹒ 空間向量的坐標表示 理解 空間向量的坐標運算，加法、減法和數(shù)量積同平面向量類似，具有類似的運算法則，學習中可類比推廣． 空

2、間向量的數(shù)量積 理解 掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)；掌握空間向量的坐標表示；掌握用直角坐標計算空間向量數(shù)量積的公式；理解向量長度公式及空間兩點間距離公式． 空間向量的共線與垂直 理解 能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直． 二、預習指導 1．預習目標 (1)了解空間向量的概念及空間向量的幾何表示法、字母表示法和坐標表示法； (2)了解共線或平行向量概念、向量與平面平行(共面)意義，掌握它們的表示方法； (3)會用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律； (4)了解空間向量基本定理及其意義；會在簡單問題中選用空間三個不共面向量作基底，表示其他的向量；

3、 (5)會用向量解決立體幾何中證明直線和平面垂直、直線和直線垂直、求兩點距離或線段長度等問題的基本方法步驟． (6)掌握空間向量的正交分解及其坐標表示；掌握空間向量的線性運算及其坐標表示； (7)理解空間向量夾角和模的概念及表示方法，理解兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì) 和計算方法及運算律． (8)理解向量的長度公式、夾角公式、兩點間距離公式，并會用這些公式解決有關(guān)問題． 2．預習提綱 (1)回顧平面向量的相關(guān)知識： ①平面向量的基本要素是什么? ②平面向量是如何表示的? ③特殊的平面向量有那些? ④什么是平行向量(共線向量)? ⑤什么是相等向量?

4、 ⑥什么是相反向量? ⑦平面向量共線定理是什么? ⑧平面向量基本定理你知道嗎? (2)請你填一填： ①對平面內(nèi)任意的四點A，B，C，D，則 ； ②設(shè)，則C、D的坐標分別是____________； ③已知，若，則 ； ④若三點共線，則 ____________； ⑤已知正方形的邊長為1，，則的模等于____________； ⑥已知向量，且三點共線，則 ； ⑦等腰中，= ； ⑧已知，則的值= ____________； ⑨，則與的夾角是____________； ⑩已知是兩個非零向量，且的夾角= _______

5、_____． (3)研讀教材P71—P83 3．典型例題 例1 如圖，已知四面體，分別是棱的中點，點在線段上，且，用基底向量表示向量． 解： ∴ 點評：若變題為已知，求﹒則由空間向量基本定理存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組知． 例2 設(shè)空間任意一點和不共線的三點，若點滿足向量關(guān)系(其中)．試問：四點是否共面? 解：由可以得到 (見教材P75) 由三點不共線，可知與不共線，所以，，共面且具有公共起點．從而四點共面． 點評：若三點不共線，則空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對使得：，或?qū)臻g任意一點有：． 例3 已知空間四邊形，為的中

6、點，為中點， 求證：． 證明：(法一)如圖， ，， 兩式相加得： ， 所以，，得證． (法二)如圖，在平面上任取一點，作、， ∵，， ∴ ． 點評：若表示向量，，…，的有向線段終點和始點連結(jié)起來構(gòu)成一個封閉折圖形，則．這一結(jié)論的使用往往能夠給解題帶來很大的方便． 例4 如圖，在空間四邊形中，，，，，，，求與的夾角的余弦值． 分析：與的夾角即為與的夾角，可根據(jù)夾角公式求解． 解：∵， ∴ ∴， 所以，與的夾角的余弦值為． 點評：由圖形知向量的夾角時易出錯，如易錯寫成 ． 例5 已知三角形的頂點是

7、，，，試求這個三角形的面積． 分析：可用公式來求面積 解：∵，， ∴，， ， ∴， ， ∴． 例6 已知，，，求滿足，的點的坐標． 分析：已知條件，，也即，，可用向量共線的充要條件處理． 解：設(shè)點， ∴，，∵， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，， 又∵，∴設(shè)， ∴， ∴∴， 所以，點坐標為． 點評：本題采用的方法是用向量坐標運算處理空間向量共線問題的常用方法． 4．自我檢測 (1)已知點，則點關(guān)于軸的對稱點的坐標為____________． (2)設(shè)，則與平行的單位向量的坐標為 ． (3)已知，則的最小值是

8、 ． (4)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若=a，=b，=c．則= ． (用a，b，c表示)﹒ (5)已知四邊形為平行四邊形，且，則點的坐標為 ． (6)設(shè)向量，若， 則 ， ． (7)已知，則向量與的夾角是 ． 三、課后鞏固練習 A組 1．已知空間四邊形，連結(jié)，設(shè)分別是的中點，化簡下列各 表達式，并標出化簡結(jié)果向量： (1)； (2)； (3)． 2．平行六面體中，設(shè)=，=，=，E、F分別是AD1、

9、BD中點，試用、、表示下列向量： (1)；(2)；(3)；(4)． 3．正方體中，= ，=，=，=，=，=， 設(shè)=λ＋μ＋γ，則= ＋ ＋ ． 4．設(shè)、、不共面，，判斷、、是否共 面． 5﹒已知空間四邊形，，，，點在上，且，為中點，試用表示． B組 6．已知三點不共線，為空間任意一點，若，試證： 點與共面． 7．證明四點在同一平面上． 8．已知，若，且垂直于軸，求． 9．已知、、是兩兩垂直的單位向量，求： (1)； (2)； (3)． 10．已知直角坐標系內(nèi)的、、的坐標，判斷這些向量是否共面?如果不共面，求出以 它們?yōu)槿忂吽鞯钠叫辛?/p>

10、面體的表面積： (1)； (2)． 11．已知為夾角，求． 12．已知 (1)求與夾角余弦值的大?。?(2)若，且分別與垂直，求． 13. 平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都等于1，且兩兩夾角都為600，求的長． 14．已知，求： (1)△的面積； (2)△的邊上的高． 15．空間兩個不同的單位向量，都與成角． (1)分別求出和的值；(2)若為銳角，求． 知識點 題號 注意點 空間向量的線性運算 1，2，3，5 類比平面向量 空間向量的數(shù)量積 8，9，11，12，13 類比平面向量 空間向量基本定理 4，6，7， 空間向量基本定理的應用 四

11、、學習心得 五、拓展視野 N維向量空間的起源 宇宙，一個人類永遠的話題，也是人類永遠探索的目標． “沒人確切的知道宇宙是怎么開始的．有人推論是一場無序的災難性爆炸使無盡的世界群不斷旋轉(zhuǎn)向黑暗--這些世界隨后有了不可思議的生命形態(tài)和天差地別的炯異．也有人相信宇宙是被某個強大實體以整體形式創(chuàng)造出來的．” 　　宇宙， 是一個空間概念． 它包括行星， 星系等實體．宇宙同時也是一個時間概念． 現(xiàn)代有人解釋宇宙為“無限的空間與時間”，正好印證了中國的一本古書<淮南子>對宇宙的定義，其中說“四方上下謂之宇， 古往來今謂之宙”． “四方上下”概括了所有空間， "古往來今"則概括了

12、部分的時間．為什么說是部分的時間呢? “古往來今”的含義是從永遠的過去到現(xiàn)在的今天． 這樣的定義沒有把從現(xiàn)在到無限的未來包括進來．如果我們把時間用一個變量 t 表示．那么“古往來今”則表示的是 t 在負無窮大到零的區(qū)間，即(-∞， 0]，如果我們設(shè)定坐標零點為現(xiàn)在，負方向代表過去，正方向代表將來．對于無限的空間的定義(即，時間 t 從永遠的過去到永遠的將來)，就成為了(-∞， ＋∞)．那么空間呢?同樣我們可以用坐標系的方式來定義空間．問題的關(guān)鍵就在于，我們怎么看待我們生存的空間．我們不是生活在一個2維的平面上(而古代的中國人認為地是方的，就如同我小時候想得一樣．)，而是生活在一個類似于球體的物

13、體上．這樣，很多人會說，我們生活在一個3維空間里面．這樣一個3維空間由三個坐標軸 X， Y， Z 組成．在這樣一個3維空間中，任何一個位置p都可以用三個數(shù)(x， y， z)表示，x為位置p在X軸上的取值(也是投影)，同理，y和z也是．同時，這三條坐標軸是正交的．何謂正交，就是三條坐標軸互相垂直．在這個3維空間中，我們有兩點(可能是倫敦)和(可能是巴黎)，從到之間(倫敦到巴黎)的最小距離(直線距離)為D=||-||=sqrt((-)2＋(-)2＋(-)2)．在一般情況，因為各種限制，我們可能用不了最小距離，但是最小距離給我們找到一個下限． 宇宙不僅包括空間，而且包括時間，所以，我們的這個宇宙就

14、變成了3＋1=4維的了．那么宇宙就可以描述為，有了四條正交的坐標軸．比如說事件A為表示，事件A發(fā)生在地點，發(fā)生在t時間．在這樣一個4維空間中，兩個事件之間的最小距離也可以表示出來．但是這個“距離”就不是空間上的相對位置的改變，而是表示兩個事件之間的“關(guān)系”． 跳出我們僅僅對宇宙作為時間＋空間的定義．如果我們將宇宙描述為包容萬象的，我們就會看到僅僅用時間＋空間不能來完整來表示．比如說，如何表述一個人?如何表述我們情感?僅僅用四條坐標軸很難去表述這些東西．顯然，我們需要更多的坐標軸．如果要表示我是高興還是悲傷，我們可以加一條坐標軸e，e=0表示我即不高興也不悲傷，當e取負值，越遠離坐標原點，說明

15、我越不happy，相反，當e取正值，越遠離坐標原點，說明我越happy．如果我們要描敘其他的屬性，我們有加入了新的坐標軸．如果，要描述的屬性不計其數(shù)，要加入的坐標軸也不計其數(shù)了．顯然，這是有可能的，因為我們對事物的認識是沒有止境的，所以，當我們要描敘一個事物時，其屬性可能無限多．這也反過來說明了宇宙的包容一切． 所以，宇宙是一個無限維的空間，定為n維空間(n=∞)，其存在n條正交的坐標軸．無數(shù)的基本元素組成了宇宙(注意，這里的元素與化學中提到的元素不同，這里的元素是指單元)．每個元素是一個向量v， v = {v1， v2， v3， ．．．， vn}， n =∞，(其實就相當于3維和2維空間中的一個點)．無數(shù)個向量組成的空間叫做向量空間．向量空間的維度就是坐標軸的個數(shù)．宇宙就是一個n維向量空間