江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.1圓錐曲線學(xué)案（無(wú)答案）蘇教版選修2-1

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1、2．1 圓錐曲線 一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識(shí)、方法 要求 建議 橢圓、拋物線的定義　 掌握 學(xué)生通過(guò)用平面截圓錐面，從具體情境中抽象出圓錐曲線模型，掌握橢圓和拋物線的定義，了解雙曲線的定義． 雙曲線 了解 二、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1．預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)認(rèn)識(shí)用平面截圓錐面得到的各種曲線； (2)掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義； (3)會(huì)根據(jù)不同的已知條件，利用圓錐曲線的定義判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡． 2．預(yù)習(xí)提綱 (1)查找有關(guān)軌跡的概念，回答下列問(wèn)題： ①平面內(nèi)到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是____________； ②平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是_______

2、_____； ③空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是____________． (2)閱讀教材選修4－1的71頁(yè)到78頁(yè)，教材選修2－1的25頁(yè)到27頁(yè)寫(xiě)下列空格： ①一個(gè)平面截一個(gè)圓錐面，改變平面的位置，可得到如下圖形____________， ____________，____________，____________，____________； ②平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離_____等于常數(shù)(__________)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的__________； ③平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離____________等于常

3、數(shù)(______________)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距； ④平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(________________)的距離________的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的_________． (3)閱讀課本例1，動(dòng)手實(shí)踐借助細(xì)繩畫(huà)橢圓，結(jié)合課本27頁(yè)習(xí)題2．1第3題，動(dòng)手實(shí)踐借助拉鏈畫(huà)雙曲線，并說(shuō)明理由，以此加深對(duì)橢圓、雙曲線定義的認(rèn)識(shí)． 3．典型例題 例1 動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與兩個(gè)定點(diǎn)A(－2，0)、B(2，0)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為10． (1)試證：動(dòng)點(diǎn)P在一個(gè)橢圓上運(yùn)動(dòng)； (

4、2)寫(xiě)出這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)． 分析：找動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足的條件，利用圓錐曲線的定義． 解：(1)由題意得：PA+PB+AB=10，AB=4，故PA+PB=6>4． 由橢圓的定義得：動(dòng)點(diǎn)P在以A(－2，0)、B(2，0)為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)． (2)由(1)得：這個(gè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為A(－2，0)、B(2，0)． 點(diǎn)評(píng)：在圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)的定義中，條件都有特定的限制，如在具體問(wèn)題中不加以判斷，會(huì)造成錯(cuò)解．如本題中PA+PB=6>4是十分必要的． 在橢圓的定義中，PF1+PF2等于常數(shù)，常數(shù)大于F1F2的判斷是必不可少的．若常數(shù)等于F1F2，則軌跡是線段F1F2；若常數(shù)小于F1

5、F2，則不表示任何圖形． 在雙曲線的定義中，注意兩個(gè)限制：一是常數(shù)小于F1F2，二是差的絕對(duì)值，兩者缺一不可．若PF1－PF2是正常數(shù)且常數(shù)小于F1F2，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線以F2為焦點(diǎn)的一支；若PF2－PF1是正常數(shù)且常數(shù)小于F1F2，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線以F1為焦點(diǎn)的一支；若|PF1－PF2|是常數(shù)且等于F1F2，則點(diǎn)的軌跡是兩條射線；若PF1－PF2是常數(shù)且等于F1F2，則點(diǎn)的軌跡是以F2為端點(diǎn)與F1F2同向的射線；若PF2－PF1是常數(shù)且等于F1F2，則點(diǎn)的軌跡是以F1為端點(diǎn)與F1F2反向的射線． 在拋物線的定義中，當(dāng)點(diǎn)F在直線l上時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡是過(guò)點(diǎn)F與直線l垂直的直線． 例2

6、 已知圓和圓，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，試問(wèn)動(dòng)圓圓心M在怎樣的曲線上運(yùn)動(dòng)? 分析：兩圓外切，則圓心距等于半徑之和． 解： 設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，則由動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切得： 消去R得：MC2－MC1=2，故可知?jiǎng)狱c(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1，C2的距離之差是常數(shù)2． 由雙曲線的定義得：動(dòng)圓圓心M在雙曲線的一支(左邊的一支)上運(yùn)動(dòng)． 點(diǎn)評(píng)：本題由于動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1，C2的距離之差是常數(shù)，而不是差的絕對(duì)值為常數(shù)，因此其軌跡只能是雙曲線的一支．這一點(diǎn)在應(yīng)用過(guò)程中要特別注意． 4．自我檢測(cè) (1)已知點(diǎn)A(1，0)、B(－1，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：PA+PB=4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是_

7、_ ． (2)已知點(diǎn)A(－2，0)、B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足：|MA－MB|=2，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是 ____ ，其兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 ． (3)已知定點(diǎn)A(1，0)和定直線l：x= －3，若點(diǎn)N到定點(diǎn)A與到定直線l的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡是 ，其焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ． (4)已知點(diǎn)A(－2，0)、B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足：|MA－MB|=4，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是 _． (5)在△ABC中，B(0，－3)，C(0，3)，且AB，BC，AC成等差數(shù)列，

8、試證：點(diǎn)A在以B、C為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)． 三、課后鞏固練習(xí) A組 1．用合適的選項(xiàng)填寫(xiě)下列軌跡 ( 要求只填寫(xiě)序號(hào) )①直線；②圓；③橢圓；④雙曲線；⑤雙曲線的一支；⑥拋物線；⑦線段 (1)動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(－4，0)、F2(4，0)的距離和是8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為_(kāi)______； (2)已知橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q，使得PQ=PF2，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是_________； (3)動(dòng)點(diǎn)P到直線x+4=0的距離減去它到M(2，0)的距離之差等于2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是___________； (4)經(jīng)過(guò)定圓外一定點(diǎn)，并且與定圓外切的動(dòng)圓圓心的軌跡

9、是__________． 2．已知O(0，0)、A(，0)為平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：PO+PA=2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡． 3．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且b，a，c成等差數(shù)列，b≥c．已知頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)為B(－1，0)，C(－1，0)．試證：點(diǎn)A在以B、C為焦點(diǎn)的左半橢圓上運(yùn)動(dòng)． 4．在△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，且滿(mǎn)足：，試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)A在怎樣的曲線上運(yùn)動(dòng)? B組 5．圓O1與圓O2的半徑分別為1和2，O1O2=4，動(dòng)圓與圓O1內(nèi)切而與圓O2外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是_____________________． 6．已知定點(diǎn)A(－3，3)和定直線l：x=－3

10、，若點(diǎn)N到定點(diǎn)A與到定直線l的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡是 ． 7．已知圓的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－6，0)，M是圓O上的任意一點(diǎn)，AM的垂直平分線交OM于點(diǎn)P，試證明：點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)． C組 8．已知A(0，7)、B(0，－7)、C(12，2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A、B的橢圓，記橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F，證明：點(diǎn)F在以A(0，7)、B(0，－7)為焦點(diǎn)的雙曲線的一支上運(yùn)動(dòng)． 9．已知兩個(gè)同心圓，其半徑分別為R，r(R>r)，AB為小圓的一條定直徑，求證：以大圓切線為準(zhǔn)線，且過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)F在以A、B為焦點(diǎn)的橢圓上． 10．若一個(gè)

11、動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)距離之和為定值m(m≥0)，試討論點(diǎn)P的軌跡． 知識(shí)點(diǎn) 題號(hào) 注意點(diǎn) 橢圓的定義 2，3，7，9，10 注意橢圓定義的前提條件 雙曲線的定義 4，5，8 注意雙曲線定義的前提條件；注意軌跡是雙曲線的哪一支 拋物線的定義 6 注意拋物線定義的前提條件 綜合問(wèn)題 1 注意尋找動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的等量關(guān)系 四、 學(xué)習(xí)心得 五、拓展視野 我們身邊的圓錐曲線 圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)確實(shí)是一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)．在笛卡爾直角坐標(biāo)系中，這些曲線的方程是二次方程，所以圓錐曲線又叫做二次曲線．對(duì)于二次曲線的價(jià)值大概還沒(méi)有人

12、會(huì)估計(jì)得過(guò)高．在我們的實(shí)際生活中處處都有圓錐曲線．例如，我們的地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道是橢圓，太陽(yáng)系的其他行星的運(yùn)行軌道都是橢圓．這個(gè)事實(shí)是由開(kāi)普勒第一定律確定的，之所以沿著橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，是因?yàn)槊恳粋€(gè)行星在每一個(gè)瞬間都有不超過(guò)某一個(gè)值的速度．事實(shí)證明，假如這個(gè)速度過(guò)大了，運(yùn)動(dòng)就會(huì)沿著拋物線或雙曲線軌道運(yùn)行．相對(duì)于一個(gè)靜止的物體，并按照萬(wàn)有引力定律受它吸引的物體運(yùn)動(dòng)，不可能有任何其他的軌道．因此，二次曲線實(shí)際上是以我們的宇宙為基礎(chǔ)的．又如，如果讓拋物線繞其軸旋轉(zhuǎn)，就得到一個(gè)叫做旋轉(zhuǎn)拋物面的曲面．在拋物面的軸上，有一個(gè)具有美妙性質(zhì)的焦點(diǎn)，任何一條通過(guò)該點(diǎn)的直線由拋物面上反射出來(lái)之后，在指向上都平行于拋

13、物面的軸．而這意味著如果把探照燈做成拋物面的形狀，并且把燈泡放在焦點(diǎn)上，那么從拋物面上反射回來(lái)的所有光線就形成一束平行光束．這顯然是一個(gè)很大的優(yōu)點(diǎn)，因?yàn)檎沁@樣一束光線在空間中，甚至于在離光源距離相當(dāng)大的情況下，很少擴(kuò)散．當(dāng)然，實(shí)際上我們得不到理想的平行光束，因?yàn)闊襞莶皇且粋€(gè)點(diǎn)，但對(duì)于實(shí)用的目的來(lái)說(shuō)，只要接近于這樣的光束就夠了． 天文望遠(yuǎn)鏡上的反射鏡也是利用拋物面的形狀制作的．它的作用剛好和探照燈的作用相反：探照燈的反射鏡把光線反射到空間，天文望遠(yuǎn)鏡的反射面則把來(lái)自宇宙的光線聚焦到自己的焦點(diǎn)上．只要用放大鏡組瞄準(zhǔn)這個(gè)焦點(diǎn)就行了，這樣，我們就會(huì)得到聚焦到其光線的那個(gè)星球的信息，這比肉眼觀察所能

14、提供的信息要多得多．那條不穿過(guò)雙曲線的對(duì)稱(chēng)軸叫做雙曲線的虛軸．如果使雙曲線繞這條軸旋轉(zhuǎn)，那么，形成的曲面(這樣的曲面稱(chēng)為單葉雙曲面)也有許多實(shí)際用處．單葉雙曲面是直紋曲面．上面有兩組母直線族，各組內(nèi)母線彼此不相交，而與另一組母線永遠(yuǎn)相交．正是這種性質(zhì)在技術(shù)中得到了應(yīng)用．例如，用直立木桿造水塔，如果把這些桿垂直地放置，那就只能得到一個(gè)很不牢固的建筑物，他會(huì)因?yàn)榉浅Ｐ〉呢?fù)荷而損壞．如果立桿時(shí)，使他們構(gòu)成一個(gè)單葉雙曲面(就是兩組母線族)，并使他們的交點(diǎn)處連接在一起，就會(huì)得到一個(gè)非常輕巧而又非常堅(jiān)固的建筑物．許多化工廠或熱電廠的冷卻塔就是利用了這個(gè)原理． 在嘗試解決古代名題的過(guò)程中，所發(fā)現(xiàn)的各種美妙

15、曲線遠(yuǎn)不限于螺線，蚌線和圓錐曲線．可是，不管找到了多少美妙的曲線，他們還是解決不了古代名題．要知道，正像我們還記得的那樣，要求不只是解出這些名題，而是除了直尺和圓規(guī)外，不準(zhǔn)利用其他任何工具．而僅僅利用這兩種工具能否解決其中任何一個(gè)問(wèn)題呢?這個(gè)問(wèn)題該如何回答呢?如果這個(gè)答案存在的話，對(duì)這個(gè)問(wèn)題給與肯定的回答，原則上顯得比給與否定的回答更容易，只不過(guò)需要嘗試才能找到這個(gè)答案．經(jīng)過(guò)或多或少接連不斷的尋找，這種題解通?？梢哉业剑陬}解不存在的情況下，事情則難辦的多．這時(shí)，只停留在普通的幾何直觀上，幾乎不可能得到所需要的答案．在這種情況下，可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行精確的代數(shù)分析，以便歸結(jié)為完成某些代數(shù)方程的不可能性證明解答這個(gè)問(wèn)題的不可能性．這樣，就要求助于代數(shù)！