江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義學(xué)案（無答案）蘇教版選修2-1

《江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義學(xué)案（無答案）蘇教版選修2-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義學(xué)案（無答案）蘇教版選修2-1（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2．5 圓錐曲線的統(tǒng)一定義 一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識(shí)、方法 要求 建議 圓錐曲線的統(tǒng)一定義 了解 課本以拋物線的定義作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，設(shè)計(jì)了用電腦實(shí)驗(yàn)探索的問題情境，在實(shí)驗(yàn)前，請(qǐng)學(xué)生大膽猜想． 最后理論證明猜想， 并進(jìn)行歸納總結(jié)，得出圓錐曲線的統(tǒng)一定義． 準(zhǔn)線方程 掌握 多角度認(rèn)識(shí)a， b， c， e的幾何意義以及它們之間的關(guān)系． 二、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1．預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義； (2)掌握根據(jù)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求準(zhǔn)線方程的各種方法． 2．預(yù)習(xí)提綱 (1)回顧前4節(jié)的內(nèi)容，思考并回答下列問題： ①拋物線是如何定義的? ②橢圓、雙曲線、拋物

2、線都可以用平面截圓錐面得到，這三種曲線還有沒有什么聯(lián)系? (2)閱讀課本第51－52頁，鏈接http：//baike．baidu．com/view/368458．htm，回答下列問題： ①圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在l上)的距離之比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡．當(dāng)01時(shí)，它表示____________________，當(dāng)e=1時(shí)，它表示____________________． ②橢圓(a＞b＞0)的準(zhǔn)線方程是_________________，雙曲線的準(zhǔn)線方程是_________，拋物線的準(zhǔn)線方程為_

3、___________，拋物線的準(zhǔn)線方程為_____________； (3)課本第51頁例1探究平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在l上)的距離之比等于一個(gè)位于區(qū)間(0，1)中的常數(shù)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡．思考，當(dāng)距離之比等于一個(gè)大于1的常數(shù)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么? 3．典型例題 (1)圓錐曲線的統(tǒng)一定義 運(yùn)用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，有時(shí)需要構(gòu)造運(yùn)用定義的條件，對(duì)于含有字母的問題，有時(shí)需要對(duì)字母進(jìn)行分類討論． 例1 已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)滿足 ，則P點(diǎn)的軌跡是________________________． A．兩條相交直線 B．拋物線 C．雙曲線

4、 D．橢圓 分析：從動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足的關(guān)系式產(chǎn)生聯(lián)想：表示動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)F(1，2)的距離，表示動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定直線l：3x+4y+12=0的距離，然后我們可以利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解． 解：將化為， 設(shè)F(1，2)，l：3x+4y+12=0，則F為定點(diǎn)，l為定直線，且F不在l上，因此平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)F和到定直線l(F不在l上)的距離的比等于常數(shù)e，而且e=1，所以P點(diǎn)的軌跡是拋物線，選B． 點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵之處在于利用兩點(diǎn)之間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，創(chuàng)設(shè)出運(yùn)用圓錐曲線統(tǒng)一定義的情境． 思考：若將動(dòng)點(diǎn)P滿足的條件給為，結(jié)果又如何? 例2

5、 若方程＋＝1所表示的曲線為C，給出下列四個(gè)命題： ①若C為橢圓，則14或t<1； ③曲線C不可能是圓； ④若C表示橢圓，且長(zhǎng)軸在x軸上，則14或t<1，故②正確； 若C表示橢圓，且長(zhǎng)軸在x軸上，則解得1

6、④． 點(diǎn)評(píng)：本題讓我們體會(huì)到含字母的方程中字母的變化對(duì)方程所表示的曲線的影響，培養(yǎng)運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點(diǎn)． (2)在根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求圓錐曲線的準(zhǔn)線方程時(shí)，我們要先分析曲線的類型，再求其準(zhǔn)線方程． 例3 若曲線的一條準(zhǔn)線方程為x = 10，則m的值_______ ． 分析：本題可從曲線的類型入手． 解：據(jù)題意，該曲線的焦點(diǎn)在x軸上， ∴方程只能表示橢圓，且m+4>9， ∴a2=m+4，b2=9，∴c2=m－5， ∴右準(zhǔn)線方程為，∴．解得m=6或m=86． 點(diǎn)評(píng)：本題考查根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求圓錐曲線的準(zhǔn)線方程的方法． 4．自我檢測(cè) (1)中心在原點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為

7、，準(zhǔn)線方程為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________ ． (2)若橢圓的一條準(zhǔn)線方程是，則=______ ． (3)若雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則雙曲線的離心率為 ________________． (4)橢圓上一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為8，則點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為_________． 三、課后鞏固練習(xí) A組 1．求下列曲線的準(zhǔn)線方程： (1) 16x2+9y2=144； (2) 4x2+25y2=100； (3) x2－4y2=64； (4) x2－y2=－8； (5) y2= 4x； (6) x2= －4

8、y． 2．已知P是橢圓上的一點(diǎn)，則P到一條準(zhǔn)線的距離與P到相應(yīng)焦點(diǎn)的距離之比為______ ． 3．已知拋物線方程為，(1)若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于_____ ；(2)若拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______． 4．已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為____． 5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線上一點(diǎn)

9、M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則M到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是____________． 6． 已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，則的離心率為 . 7．已知雙曲線的右準(zhǔn)線為x=4，右焦點(diǎn)F(10，0)離心率e=2，則雙曲線方程為______． 8．一個(gè)橢圓的離心率為e=，準(zhǔn)線方程為x=4，對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)F(2，0)，則橢圓的方程為____________． y x D F Q B O l A 9．如圖，F(xiàn)是橢圓焦點(diǎn)，A是頂點(diǎn)，l是準(zhǔn)線，則在下列關(guān)系：e =，e =，e =，e =，e =中，能正確表示離心率的有_________

10、__ 個(gè) B組 10．已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)．若，則_______ ． 11．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)是原點(diǎn)，若，則的面積為_______ ． 12．若橢圓內(nèi)有一點(diǎn)A(1，－1)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則MA+2MF的最小值是_________，點(diǎn)M的坐標(biāo)為_______． 13．已知點(diǎn)M是拋物線y2=2x上一動(dòng)點(diǎn)，M在y軸上的射影是N，點(diǎn)A(，4)，則MA+MN的最小值是_________________． 14．已知雙曲線，M為其右支上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，點(diǎn)A(3，1)，則MA+MF的最小值是_______________

11、__． C組 15．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是_____ ．(填圓、拋物線、雙曲線、直線) 16．已知橢圓，能否在此橢圓位于軸左側(cè)的部分上找到一點(diǎn)，使它到左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng)，若能找到，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能找到，請(qǐng)說明理由． 知識(shí)點(diǎn) 題號(hào) 注意點(diǎn) 求圓錐曲線的軌跡或軌跡方程 7，8，15 注意圓錐曲線方程可能是非標(biāo)準(zhǔn)方程 圓錐曲線定義的應(yīng)用 1～6，9，10，11 注意曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離的相互轉(zhuǎn)化 綜合問題 12～14，16 注意幾何法求

12、最值的方法 四、自學(xué)心得 五、拓展視野 從離心率看圓錐曲線間的關(guān)系 　　早在17世紀(jì)初，在當(dāng)時(shí)關(guān)于一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象能從一個(gè)形狀連續(xù)地變到另一個(gè)形狀的新思想的影響下，法國天文學(xué)家開普勒對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)作了新的闡述．他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點(diǎn)和離心率，并指明拋物線還有一個(gè)在無窮遠(yuǎn)處的焦點(diǎn)，直線是圓心在無窮遠(yuǎn)處的圓．從而他第一個(gè)掌握了這樣的事實(shí)：橢圓、拋物線、雙曲線、圓，都可以從其中的一個(gè)連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€(gè)，從而辯證地看到了各類圓錐曲線間的關(guān)系． 　　下面我們從離心率對(duì)圓錐曲線的形狀的影響入手，來研究圓錐曲線間的關(guān)系，為了討論這個(gè)問題，我們首先在同一直角坐標(biāo)系中把橢圓、拋物線、雙曲線

13、這三種曲線的方程統(tǒng)一起來． 　　1．橢圓、拋物線、雙曲線的統(tǒng)一方程 將橢圓按向量平移得到，即．作橢圓的半通徑(即過橢圓焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的半弦)，用表示，易證，同時(shí)易知．故橢圓的方程可寫成． 類似地，將雙曲線按向量平移得到，即．作雙曲線的半通徑(即過雙曲線焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的半弦)，用表示，易證，同時(shí)易知．故雙曲線方程可寫成． 　　對(duì)于拋物線，為半通徑長(zhǎng)，離心率，它也可寫成 　　，于是在同一坐標(biāo)系下，三種曲線有統(tǒng)一方程，其中是曲線的半通徑長(zhǎng)，當(dāng)，，時(shí)分別表示橢圓、拋物線、雙曲線． 　　2．從離心率看圓錐曲線間的關(guān)系 　　設(shè)橢圓、雙曲線、拋物線有相同的半通徑，即統(tǒng)一方程中的 不變，令離

14、心率 變化，在這種情況下，我們討論曲線變化趨勢(shì)． 在同一坐標(biāo)系下，作出這三種曲線如圖所示，設(shè)分別是拋物線焦點(diǎn)、橢圓的左焦點(diǎn)和雙曲線的右焦點(diǎn)，則有 ， ， ， 所以． 　　這說明B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，而C點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)． 　　由此，我們來看三種曲線的位置關(guān)系(由曲線的對(duì)稱性，只考慮第一象限內(nèi)的情況)，從統(tǒng)一方程不難看出，當(dāng)任意取定時(shí)，設(shè)橢圓、拋物線和雙曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，有． 　　這說明，雙曲線在拋物線上側(cè)，而橢圓在拋物線下側(cè)． 　　下面我們進(jìn)一步討論圓錐曲線間的關(guān)系． 　　(1)當(dāng)離心率e由小于1無限趨近于1時(shí)， 　　．(符號(hào)“→”表示無限趨近于)．即B→A． 　　這說

15、明橢圓的左焦點(diǎn)無限趨近于拋物線的焦點(diǎn)，且橢圓在第一象限內(nèi)向上移動(dòng)無限接近拋物線． 　　又因?yàn)?，所以? 　　由于e由小于1無限趨近于1，所以． 　　這說明橢圓右焦點(diǎn)沿x軸正向趨于無限遠(yuǎn)．因此可以看出，在橢圓的情況下，當(dāng)時(shí)，橢圓的極限情況就是拋物線． 　　(2)當(dāng)離心率e由大于1無限趨近于1時(shí)， 　　，即C→A． 　　這說明雙曲線右焦點(diǎn)無限接近于拋物線的焦點(diǎn)，且雙曲線右支在第一象限內(nèi)向下移動(dòng)無限接近拋物線． 　　又因?yàn)椋裕? 　　由于e由大于1無限趨近于1，所以． 這說明雙曲線左焦點(diǎn)沿x軸負(fù)方向趨于無限遠(yuǎn)．因此可以看出，在雙曲線的情況下，當(dāng)時(shí)，雙曲線的極限情況就是拋物線． (3)在橢圓情況下，當(dāng)時(shí)有 　　，． 　　故當(dāng)時(shí)，橢圓的極限情況是以點(diǎn)為圓心、以為半徑的圓．這個(gè)事實(shí)也可以從統(tǒng)一方程中，令，得到的就是這個(gè)圓的方程：．