江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.2向量的線性運(yùn)算學(xué)案（無答案）蘇教版必修4

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1、2.2 向量的線性運(yùn)算 一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識(shí)、方法 要求 建議 向量加、減法和數(shù)乘運(yùn)算 理解 與實(shí)數(shù)的運(yùn)算比較,注意運(yùn)算法則的異同,理解共線定理的應(yīng)用 向量共線定理 理解 向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義 了解 二、 預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1. 預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)理解向量加法的定義；掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則； (2)理解相反向量的概念，掌握向量減法運(yùn)算的法則．并結(jié)合平面上的三角形、四邊形等圖形進(jìn)行向量的加、減法運(yùn)算； (3)理解兩個(gè)向量共線的充要條件，能用已知向量去表示與它共線的向量，能通過向量的加減運(yùn)算及實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算，判斷兩個(gè)向量是否共線．

2、 2. 預(yù)習(xí)提綱 (1) 向量的加法 回憶物理中矢量加法的相關(guān)知識(shí)，閱讀教材P59~61內(nèi)容，閱讀課本上的例題.例1講的是向量的加法，計(jì)算時(shí)要善于把向量放到具體的三角形或平行四邊形中，靈活應(yīng)用兩種加法法則．思考：①在四邊形ABCD中，等于什么？②n個(gè)首尾相連的向量的和向量有何特點(diǎn)？例2講的是向量的加法的實(shí)際應(yīng)用，解決這類問題的基本步驟是將實(shí)際問題的量用向量表示、畫圖、用向量的加法解決問題． (2) 向量的減法 回憶物理中矢量減法的相關(guān)知識(shí)，閱讀教材P61~63內(nèi)容，閱讀課本上的例題.例1中向量的減法的作圖說明當(dāng)起點(diǎn)相同時(shí)，從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量就是．例2體會(huì)將一個(gè)向量表示成幾個(gè)向量

3、的和或差的方法，這種“由簡化繁”在數(shù)學(xué)證明中常常用到． (3) 向量的數(shù)乘 閱讀教材P63~64內(nèi)容，閱讀課本上的例題.例2讓我們認(rèn)識(shí)到向量的線性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，運(yùn)算法則與多項(xiàng)式運(yùn)算類似. (4) 向量共線定理 閱讀教材P64~66內(nèi)容，思考①向量的數(shù)乘與實(shí)數(shù)的乘積有何異同？②共線向量定理中為什么要規(guī)定？閱讀課本上的例4，回答下列問題①如果λ＞0，λ＜0時(shí)，點(diǎn)C分別在直線AB的什么位置上？②當(dāng)C與A重合時(shí)，λ的值為0；③當(dāng)C與B重合時(shí)，滿足關(guān)系式的λ還存在嗎？ 3. 典型例題 (1) 向量的加法 向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是等價(jià)的，具體應(yīng)用時(shí)三角形法則要求“首尾連

4、接”，平行四邊形法則要求“共起點(diǎn)”，由已知向量表示未知的向量． 例1 如圖，點(diǎn)D、E、F分別是三邊AB、BC、CA的中點(diǎn).求證： (1)； (2). 分析：求兩個(gè)向量的和，當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同時(shí)，可以用平行四邊形法則，當(dāng)一個(gè)向量的終點(diǎn)為另一個(gè)向量的起點(diǎn)時(shí)，可以用三角形法則. 證明：(1)在中，由向量加法的三角形法則知： ， 同理中，由向量加法的三角形法則知：, 所以 (2)因?yàn)辄c(diǎn)D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，則四邊形ADEF為平行四邊形， 則, 同理四邊形BEFD中，, 四邊形CFDE中，, 將以上三式相加得：

5、 . 例2 已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心．若，試用、表示向量． 分析：結(jié)合圖形性質(zhì)，準(zhǔn)確靈活應(yīng)用三角形法則和平行四邊形法則是向量加法運(yùn)算的關(guān)鍵． 解：由圖可知=，在四邊形ABCO中， 根據(jù)平行四邊形法，則=+=； 由三角形法則可知=+=+=+； =+=+=＝． 點(diǎn)評(píng)：此題屬于用已知向量表示未知向量，盡量把未知向量放在三角形中，利用向量加法法則向已知量轉(zhuǎn)化，注意相反向量和向量和為零的向量． (2) 向量的減法 向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算，向量的減法滿足三角形法則，運(yùn)用三角形法則解決問題. 例3 化簡：. 分析：常有三種方法進(jìn)行向量的加、減運(yùn)算：

6、 (1)利用統(tǒng)一成加法運(yùn)算； (2)利用統(tǒng)一減法運(yùn)算； (3)利用進(jìn)行合并運(yùn)算． 解：解法一: 解法二: 解法三: 點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的一般方法是根據(jù)式子的特點(diǎn)重新組合，將首尾相接的向量分在一起，并靈活運(yùn)用相反向量變形．特別是逆用向量減法． 例4 如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，若＝，＝，＝，求證：+－＝． 分析：本題解法很多，通過一題多解，加深對向量加減法概念的理解，熟悉加減法運(yùn)算的法則．

7、 證明：在平行四邊形ABCD中，． ∴ ． 點(diǎn)評(píng)：本題的其他證法，如 或等等，可根據(jù)不同的思考給出不同的解答． (3) 向量的數(shù)乘 了解向量數(shù)乘運(yùn)算與加法的聯(lián)系，及向量數(shù)乘的幾何意義，向量共線定理對于證明三點(diǎn)共線的問題有很多應(yīng)用． 例5 計(jì)算(1)6-[4--5(2-3)]+(+7)； (2). 分析：運(yùn)用運(yùn)算律，類比合并同類項(xiàng)求解 解：(1) 原式＝6-[-6-+15]++7＝13-7； (2) 原式＝. 點(diǎn)評(píng)：向量的線性運(yùn)算類似與代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在向量線性運(yùn)算中可以使用. 例6 在中，交AC于E，

8、BC邊上的中線AM交DE于N．設(shè)，用表示向量． 分析：本題除要進(jìn)行向量的加減運(yùn)算外，還有數(shù)乘向量運(yùn)算，同時(shí)還要利用相似三角形來解決. A B C D E N M 解： 又ＡＭ是的中線，則， 例7 (1)已知，滿足，求證：，共線； (2)設(shè)兩個(gè)非零向量和不共線，如果＝2＋3，＝6＋23，＝4－8，求證：A、B、D三點(diǎn)共線. 分析：解決向量共線問題，就要根據(jù)向量共線的條件，此題考查向量共線定理． 證明：(1)由，得，所以，共線． (2)＝＋＋＝2＋3＋6＋23＋4－8 ＝12＋18＝6(2＋3)＝6， ∴∥，即向量與共線，且又有相同

9、起點(diǎn)A，∴A、B、D三點(diǎn)共線． 點(diǎn)評(píng)：本題給出了利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線的方法，關(guān)鍵是能否找到惟一的實(shí)數(shù)使．先證向量共線，再證三點(diǎn)共線．　　 例8 已知和是兩個(gè)不共線的向量，=，=，=，若A、B、D三點(diǎn)共線，試求實(shí)數(shù)λ的值． 分析：解決本題首先由三點(diǎn)共線得兩個(gè)向量共線，再利用向量共線定理存在惟一實(shí)數(shù)，使，最后利用待定系數(shù)法求解． 解：∵，且A、B、D三點(diǎn)共線， ∴向量與共線，因此存在實(shí)數(shù)，使得=， 即=[]=． ∵與是兩不共線的向量，于是根據(jù)向量相等的條件，可得 ∴ 故當(dāng)A、B、D三點(diǎn)共線時(shí)，λ=3． 點(diǎn)評(píng)：求參數(shù)時(shí)，要充分利用向量共線定

10、理和待定系數(shù)法求解． 例9 (1)已知為兩個(gè)不共線的向量，且，其中，t是實(shí)數(shù)．求證：＝(1－t)＋t； (2)在△ABC中，P是AB邊的中點(diǎn)，求證：. 分析：(1)中由＝t可知A、P、B三點(diǎn)共線，對直線外任意一點(diǎn)Ｏ，結(jié)論可知可以表示為與的線性組合，且其系數(shù)之和為１． (2)是(1)的一個(gè)特殊情形，對于關(guān)系＝(1－t)＋t，則有其另外的意義，在后面的教學(xué)中還會(huì)涉及．下面看一看當(dāng)t分別取0，1，－1，時(shí)，點(diǎn)P在直線AB上的位置：當(dāng)t＝0時(shí)，P與A重合；當(dāng)t＝1時(shí)，P與B重合；當(dāng)t＝－1時(shí)，P在BA的延長線上，且|AP|＝|AB|． 證明：(1)∵＝t (t∈R)， ∴＝＋

11、 　　(加法法則) ＝＋t 　　(已知條件置換) ＝＋t(－)　 (減法法則) ＝＋t－t (運(yùn)算律) ＝(1－t) ＋t． (運(yùn)算律) (2)∵ P是AB的中點(diǎn)，則＝＝(－)， ∴＝＋＝＋(－)＝＋－ ＝(＋)． 4. 自我檢測 1．化簡： (1)+()+＝　　　　　??； (2)化簡：①－+－+＝　　　； (3) [(2＋8)－(4－2)]= . 2．在正六邊形ABCDEF中，O為中心，若＝，＝，則＝_________

12、_, ＝___________.＝_______________. 3．已知四邊形ABCD是正方形，E是DC中點(diǎn)，且=，=，則等于 ． 4．在矩形ABCD中，|AD| = 的大小和方向． 5．下列命題：①在中必有；②若，則A、B、C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；③若、均為非零向量，則|＋|與||＋|| 一定相等．其中真命題的個(gè)數(shù)為　　　?。? 三、 課后鞏固練習(xí) A組 1．化簡：(1) ；　 (2)= ； (3) 已知：3，則= ． 2．設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形，則等于 ． 3．正方形

13、ABCD的邊長為1，則＝____________. 4．若 D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則= ． 5. 以下四個(gè)命題 ：①若 ；②|+| ＜ ||+||； ③如果非零向量與的方向相同或相反，那么+的方向必與、之一相同； ④[(+)+] + = [()+]+.其中正確的序號(hào)是 ．　　 6．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，則= ． 7．已知△ABC是正三角形，以下等式： ①|(zhì)| = ；②； ③；④，其中不成立的序號(hào)為　　　　．　　　　 8．已知向量，，的模分別為1，2，3，則的最大值為 ；此時(shí)

14、，，的方向 ． 9.若點(diǎn)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足，則△ABC的形狀是 . 10．若M、N、P三點(diǎn)共線，且，則= ． 11．若，是不共線的向量，與k＋共線，求實(shí)數(shù)k的值． 12．已知，是不共線向量，若＝，＝6，且//，則k的值為　　　?。? 13．在四邊形中，，其中不共線，則四邊形的形狀為 _______． 14．已知中，點(diǎn)在邊上，且，，則的值是 ． 15．，不共線，且， 如果A，B，C三點(diǎn)共線，則所滿足的條件是 　　　　?。? 16．四邊形ABCD是一個(gè)梯形，且M、N分別是DC

15、、AB的中點(diǎn)，已知試用表示． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B組 17．已知分別是的邊上的中線，且，則可用向量表示為 ． 18．△ABC的平面上有點(diǎn)P，滿足條件：＋＋＝，試確定點(diǎn)P的位置． 19．已知四邊形ABCD滿足,求證：四邊形ABCD是梯形． 20．已知平面上不共線的三點(diǎn)O，A，B．λ，μ是實(shí)數(shù)，如果λ＋μ=1，且=λ+μ，則點(diǎn)P在何處？ 21．已知、是兩個(gè)不共線但共起點(diǎn)的非零向量，為何值時(shí)，，，三向量的終點(diǎn)在一直線上()？ B D E C F O A 22．如圖，在△ABC中，D、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，O是

16、DC的三等分點(diǎn)，，，． (1)用，表示向量、、、； (2)求證B、E、F三點(diǎn)共線． 23．已知向量，的模分別為5，12，(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，=13． 24．設(shè)是兩個(gè)非零向量，則下列說法正確的序號(hào)為 . .若,則 .若，則 .若，則存在實(shí)數(shù)，使得 .若存在實(shí)數(shù)，使得,則 25．要使下列結(jié)論成立，問非零向量應(yīng)分別滿足什么條件？ (1)； (2)；(3)；(4)與是共線向量； 26．已知向量，滿足===1，則=

17、　　　　. 27．若非零向量滿足，則下列結(jié)論中正確的是_______________． ①｜2｜＜｜2｜ ②｜2｜＞｜2｜ ③｜2｜＞｜2｜ ④｜2｜＜｜2｜ C組 28、設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若（λ∈R），（μ∈R），且,則稱調(diào)和分割,已知平面上的點(diǎn)，調(diào)和分割點(diǎn)則下面說法正確的是 ． ．可能是線段的中點(diǎn) ．可能是線段的中點(diǎn) ．，可能同時(shí)在線段上（不包括兩點(diǎn)） ．，不可能同時(shí)在線段的延長線上 29．已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若，證明：點(diǎn)O是△ABC的重心． 30．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，點(diǎn)O為平面內(nèi)不同于G的任意一點(diǎn)

18、，證明：． 31．若點(diǎn)P為△ABC的外心，且，則△ABC的內(nèi)角C＝___________. 32．過△ABC的重心任作一直線分別交AB，AC于點(diǎn)D、E．若，，，則的值為 。 O A B P Q 33．如圖，有以下命題：設(shè)點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)，則，把此命題推廣，設(shè)點(diǎn)是AB的n()等分點(diǎn)，則______． 34．在△OAB中，，，AD與BC交于M點(diǎn)，設(shè)，，(1)試用和表示向量； (2)在線段AC上取一點(diǎn)E，線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過M點(diǎn)，設(shè)，．求證：． 35．在的內(nèi)部有一點(diǎn)O滿足，求與的面積之比． 36．已知O是正△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，＋

19、2＋3＝，則△ABC的面積與△OAC的面積之比為 ． 知識(shí)點(diǎn) 題號(hào) 注意點(diǎn) 向量加、減法和數(shù)乘運(yùn)算、幾何意義 正確使用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，幾何圖形中向量的表示及運(yùn)算 向量共線定理 向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義 四、 學(xué)習(xí)心得 五、 拓展視野 向量的運(yùn)算(運(yùn)算律)與圖形性質(zhì) 向量的運(yùn)算(運(yùn)算律)與幾何圖形的性質(zhì)有緊密聯(lián)系．向量的運(yùn)算(運(yùn)算律)可以用圖形簡明地表示，而圖形的一些性質(zhì)又可以反映到向量的運(yùn)算(運(yùn)算律)上來．比如平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，向量加法及其交換律可以表示平行

20、四邊形中的對邊平行以及三角形全等．這說明，以向量為工具，可以把幾何圖形、幾何變換、向量的運(yùn)算及交換律統(tǒng)一起來．請你思考一下，下表是否反映了這種情況？ 幾何圖形 幾何變換 向量運(yùn)算 向量運(yùn)算律 平行四邊形 平移 加法 交換律：+=+ 結(jié)合律： (+)+=+(+) 相似三角形 相似 數(shù)乘向量 分配律： k(+)= k + k 直角三角形 垂直 數(shù)量積 交換律： 分配律： (+)=+ 建立向量的運(yùn)算(運(yùn)算律)與幾何圖形的關(guān)系后，對圖形的研究推進(jìn)到了有效能算的水平，從而實(shí)現(xiàn)了綜合幾何到向量幾何的轉(zhuǎn)折．向量的運(yùn)算(運(yùn)算律)把向量與幾何、代數(shù)有機(jī)地聯(lián)系在一起． 問題：向量有哪些運(yùn)算，符合哪些運(yùn)算法則？向量有乘法和除法運(yùn)算嗎？請同學(xué)自行查閱資料解決.