江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 3.2空間向量的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修2-1

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1、3．2 空間向量的應(yīng)用 一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識(shí)、方法 要求 學(xué)習(xí)建議 直線的方向向量與平面的法向量 理解 理解直線的方向向量與平面的法向量；會(huì)用待定系數(shù)法求平面的法向量﹒ 空間線面關(guān)系的判定 理解 將空間兩條直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，用直線的方向向量和平面的法向量來表述，是一個(gè)“符號(hào)化”的過程，應(yīng)在明確方向向量和法向量含義的基礎(chǔ)上，借助圖形自己“翻譯”完成﹒ 空間的角的計(jì)算 理解 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題；體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用﹒ 二、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1．預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)理解直線的方向向量與平面的法向量；

2、 (2)會(huì)用待定系數(shù)法求平面的法向量； (3)能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系； (4)能用向量方法證明空間線面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)； (5)能用向量方法判定空間線面的平行和垂直關(guān)系； (6)能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題． 2．預(yù)習(xí)提綱 (1)直線的方向向量：我們把直線上的非零向量以及與共線的非零向量叫做直線的方向向量． (2)平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量． (3)用向量描述空間線面關(guān)系：設(shè)空間兩條直線的方向向量分別為，兩個(gè)平面的法向量分別

3、為，則有如下結(jié)論： 平 行 垂 直 與 與 與 (4)空間的角的計(jì)算： ①兩條異面直線所成的角與它們的方向向量所成的角相等或互補(bǔ)； ②法向量在求線面角中的應(yīng)用原理：設(shè)平面的斜線與平面所的角為1，斜線與平面的法向量所成角2，則1與2互余或與2的補(bǔ)角互余； ③法向量在求面面角中的應(yīng)用原理：一個(gè)二面角的平面角1與這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量所成的角2相等或互補(bǔ)． 3．典型例題 例1 如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，求證：． 分析：用向量方法處理，只要證明，建立空間 直角坐標(biāo)系，得出的坐標(biāo)

4、后，用向量數(shù)量積的 坐標(biāo)運(yùn)算證明． 證明：設(shè)已知正方體棱長為個(gè)單位，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）， 則，，，， ∴，， ∴， ∴，所以，． 點(diǎn)評(píng)：建立空間直角坐標(biāo)系后，確定點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵． 例2 棱長為的正方體中，在棱上是否存在一點(diǎn)，使面? 解：以為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)， ，，， 要使面， 只要，且， 即，， ∴， ∴，即點(diǎn)與重合 ∴點(diǎn)與重合時(shí)，面 點(diǎn)評(píng)：用向量法證明垂直問題，只要計(jì)算兩向量的數(shù)量積為零． 例3 在三棱錐中，， ．求與所成角的余弦值． 解：如圖，取為原點(diǎn)，分別為軸建立 空間直角坐標(biāo)系，則有，得 ， ∴

5、 設(shè)與所成的角為， ∵ ∴，即與所成角的余弦值為． 例4 如圖，已知是上、下底邊長分別為2、2，高為的等腰梯形，且、、成等比數(shù)列，將此梯形沿對(duì)稱軸折成直二面角， (1)證明：； A B C D O O1 A B O C O1 D (2)設(shè)二面角的平面角為當(dāng)時(shí)，求的值． A B O C O1 D x y z 解：(1)證明：∵OA⊥OO1，OB⊥OO1． ∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角， ∴OA⊥OB．以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO1 所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則A(，0，0)，B

6、(0，，0)，C(0，，) O1(0，0，)． ∴，， ∴， ∵、、∴，∴∴AC⊥BO1． (2)∴BO1⊥OC， ∵AC⊥BO1，∴BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一個(gè)法向量． 設(shè)是平面O1AC的一個(gè)法向量，由得 得 ．，∴， ∴cos，>= 點(diǎn)評(píng)：利用向量求二面角的大小方法： 方法一：轉(zhuǎn)化為分別是在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)且與棱都垂直的兩條直線上的兩個(gè)向量的夾角(注意：要特別關(guān)注兩個(gè)向量的方向) 如圖：二面角的大小為， ， 則． 方法二：先求出二面角一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面的距離及到棱 的距離，然后通過解直角三角形求角． 如圖：已知二面角，在內(nèi)取一點(diǎn)，

7、 P A B l 過作，及，連， 則成立，就是二面角的平面角 用向量可求出及，然后解三角形求出． 方法三：轉(zhuǎn)化為求二面角的兩個(gè)半平面的法向量的夾角． 如圖：為二面角內(nèi)一點(diǎn)，作，，則與二面角的平面角互補(bǔ)． 例5 如圖，直二面角中，四邊形是邊長 為2的正方形，為上的點(diǎn)，且平面． 求二面角的余弦值． 解：以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸， 所在直線為軸，過點(diǎn)平行于的直線為軸， 建立空間直角坐標(biāo)系，如圖． 面面，， 在的中點(diǎn)， 設(shè)平面的一個(gè)法向量 為，則解得 令得是平面的一個(gè)法向量． 又平面的一個(gè)法向量為， 設(shè)二面角的大小為，則=，． ∴二面角

8、的余弦值為 例6 如圖，在長方體中，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，． (1)求證：面； (2)求二面角的大小的余弦值． 解： 以為原點(diǎn)，所在直線分別為 軸，軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，則 ， ∵分別是的中點(diǎn) ∴ (1)， 取，顯然面， ，∴． 又面 ∴面． (2)過作，交于，取的中點(diǎn)，則 設(shè)，則，又， 由，及在直線上，可得： 解得， ∴ ， ∴， 即， ∴與所夾的角等于二面角的大小， A C D B P O ， 故二面角的大小的余弦值為． 例7 如圖，在三棱錐， 點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，底面﹒ (1)若，試求異面直線與所成角余弦

9、值的大??； (2)當(dāng)取何值時(shí)，二面角的大小為? A C D B P O x y z 解：連結(jié)底面，又， 從 而，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 建立空間直角坐標(biāo)系． (1)設(shè)，則，， 則 則異面直線與所成角的余弦值的大小為﹒ (2)設(shè)， ∵平面，∴為平面的一個(gè)法向量． 不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 由， 不妨令，則，即， 則， ， 而，． ∴當(dāng)，二面角的大小為． 4．自我檢測(cè) (1)在正方體中，求證：是平面的法向量． (2)在正方體中，求證：﹒ (3)在正方體中，是的中點(diǎn)，求對(duì)角線與所成角的余弦值． (4)在正方體中，是底面

10、的中心，是的中點(diǎn)． ①求證：是平面的法向量； ②求二面角的大?。? (5)在正方體中，是的中點(diǎn)． ①求證：； ②求與所成的角； ③求與平面所成的角． 三、課后鞏固練習(xí) A組 1．已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，若， ， (1)求證：是平面的法向量； (2)求平行四邊形面積． 2．如圖，長方體中，， 點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，求異面直線與 所成的角． 3．如圖，平面，且，求異面直線與所成角的正切值． 4．如圖，正四棱柱中， ，求異面直線所成角的余弦值． B組 5．正六棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為，求這個(gè)棱柱的側(cè)面對(duì)角線與所成的角．

11、 6．如圖，、是互相垂直的異面直線，是它們的公垂線段．點(diǎn)在上，在上，． (1)證明⊥； (2)若，求與平面所成角的余弦值． 7．正方體中，求： (1)與平面所成角大??；(2)與平面所成角的正切值． 8．正三棱錐中，底面邊長等于1，側(cè)棱，分別為中點(diǎn)，求： (1)異面直線與所成角的余弦值； (2)與平面所成角的正弦值． 9．在底面是菱形的四棱錐中，，點(diǎn)在上，且：= 2：1，在棱上是否存在一點(diǎn)， 使∥平面?證明你的結(jié)論． 10．是正方形所在平面外一點(diǎn)，，若分別 在上，且． (1)求證：∥平面； (2)求與所成角的大?。? 11．如圖，四面體中，分別是的中點(diǎn)， ，．

12、 (1)求證：平面； (2)求異面直線與所成角的大小的余弦值． 12．如圖，為直角梯形，是平面外一點(diǎn)， ∥平面，，若， (1)求證：； (2)求異面直線與所成角的余弦值大?。? 13．在如圖所示的幾何體中，平面，平面，，，是的中點(diǎn)． (1)求證：； (2)求與平面所成的角． 14．如圖是一個(gè)直三棱柱(以為底面)被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知，，． (1)設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：∥平面； (2)求二面角的大小． 15．如圖所示，分別是⊙、⊙的直徑．與兩圓所在的平面均垂直，，是⊙的直徑，∥． (1)求二面角的大?。? (2)求直線與所成角的大小的余弦值

13、． 16．如圖，在直三棱柱中， ． (1)證明：； (2)求二面角的大小 17．如圖，正三棱柱的所有棱長都為2，為中點(diǎn)． (1)求證：面； (2)求二面角的大小的余弦值． A B C D E F O P H 18．如圖，是邊長為1的正六邊形所在平面外一點(diǎn)，，在平面內(nèi)的射影為的中點(diǎn)． (1)證明⊥； (2)求面與面所成二面角的大小的余弦值． A D P C B 19．如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，，． (1)求證：平面； (2)求二面角的大小的余弦值． 20．正方體中， (1)求

14、二面角的大小； (2)分別為與中點(diǎn)，求平面和底面所成角的余弦值． 21．如圖，在長方體，中，，點(diǎn)在棱上移動(dòng)． (1)證明：； (2)等于何值時(shí)，二面角的大小為． 22．如圖，平面平面是正三角形， 求二面角的正切值． 23．如圖，在直四棱柱中， ， ，垂足為． (1)求二面角的大??； (2)求異面直線與所成角的大小的余弦值． 24．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD． (1)證明AB⊥平面VAD； (2)求面VAD與面VDB所成的二面角的大小的余弦值． 25．如圖，四邊形是直

15、角梯形，∠＝90°， ∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝ 120°，⊥，直線與直線所成的角為 60°．建立如圖空間直角坐標(biāo)系． (1)求二面角的大小的余弦值； (2)求三棱錐的體積． 26．已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，且，側(cè)棱與底面成角，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系． (1)證明：平面； (2)求此三棱柱的體積． 27．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，， 為的中點(diǎn)． (1)求直線與所成角的余弦值； (2)在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使面，并求出點(diǎn)到和的距離． 28．如圖，在三棱錐中，底面， 是的中點(diǎn)，且，． (1)求證：平面平面

16、 ； (2)當(dāng)角變化時(shí)，求直線與平面所成的角的取值范圍． 29． 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是 AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到 △A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖，2． (1)求證：A1C⊥平面BCDE； (2)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大小； (3)線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直? 說明理由． 30． 如圖，在四棱錐中，底面是矩形， 平面，，．以的中點(diǎn) 為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)． (1)求證：平面⊥平面； (2)求直線與平面

17、所成角的正弦值； (3)求點(diǎn)到平面的距離． 知識(shí)點(diǎn) 題號(hào) 注意點(diǎn) 求角 2～30 注意線線角，線面角和二面角所定義的范圍，要分清是兩向量的夾角還是其補(bǔ)角 求點(diǎn)到面的距離 27，30 合理運(yùn)用 求體積 25，26 關(guān)鍵還是求點(diǎn)面得距離，記憶多面體的體積公式 證明平行與垂直 1，6，10～14，16～21，28，30 注意運(yùn)用平面的法向量 四、學(xué)習(xí)心得 五、拓展視野 運(yùn)用空間向量計(jì)算距離 (1)向量法在求異面直線間的距離的運(yùn)用： 設(shè)分別以這兩異面直線上任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量為，與這兩條異面直線都垂直的向量為，則兩異面直線間的

18、距離是在方向上的正射影向量的模．． (2)向量法在求點(diǎn)到平面的距離中的運(yùn)用： ①設(shè)分別以平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量為，平面的法向量為，則到平面的距離等于在方向上正射影向量的模．． ②先求出平面的方程，然后用點(diǎn)到平面的距離公式：點(diǎn)到平面的距離d為：． 例1 直三棱柱的側(cè)棱，底面中，，求點(diǎn)到平面的距離． 解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得直棱柱各頂點(diǎn)坐標(biāo)如下： ， ∴，，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則， 即． 所以，點(diǎn)到平面的距離． 解法二： 建系設(shè)點(diǎn)同上(略)，設(shè)平面的方程為 ，把點(diǎn)三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入平面方程得，平面的方程為，又， 設(shè)點(diǎn)到平面的距離

19、為，則． 例2 (2020年江蘇高考)如圖，四棱錐中，⊥平面， 1． 求證： 2． 求點(diǎn)到平面的距離 解析：(1)因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BC平面ABCD， 所以PD⊥BC﹒ 由∠BCD=，得BC⊥DC， 又PDDC=D，PD平面PCD， DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD 因?yàn)镻C平面PCD，故PC⊥BC (2)連結(jié)AC．設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h 因?yàn)锳B∥DC，∠BCD=，所以∠ABC= 從而由AB=2，BC=1，得的面積． 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積 因?yàn)镻D⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC． 又，所以﹒ 由，得的面積﹒ 由，得， 故點(diǎn)到平面的距離為﹒