江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.3對數(shù)函數(shù)學(xué)案 蘇教版必修1

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1、2.3 對數(shù)函數(shù) 一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 建議 對數(shù) 理解 理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，能熟練進(jìn)行指數(shù)式與對數(shù)式的互化，靈活運用對數(shù)的運算性質(zhì)來簡化對數(shù)的運算. 對數(shù)函數(shù) 理解 類比指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，探索并了解對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).通過對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，加深對數(shù)性質(zhì)的理解. 二、 預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1. 預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，能熟練進(jìn)行指數(shù)式與對數(shù)式的互化，能靈活準(zhǔn)確地運用對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行對數(shù)式的化簡與計算；了解對數(shù)恒等式，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù)；通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)史以及對簡化運算的作用

2、. (2)通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)性質(zhì). (3)知道指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；能運用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較兩個對數(shù)式值的大?。荒苎芯恳恍┡c對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等. 2. 預(yù)習(xí)提綱 (1)閱讀課本P56對數(shù)的定義；P59、61對數(shù)的運算性質(zhì)；P63對數(shù)的發(fā)展簡史；P65-67對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；P69反函數(shù)的概念.對數(shù)的發(fā)明(P64)是數(shù)學(xué)史上最偉大的發(fā)明之一，有興趣的同學(xué)可以上網(wǎng)查找更多與對數(shù)有關(guān)的史料，通過閱

3、讀有關(guān)數(shù)學(xué)家的故事，你對“對數(shù)”將有一個更深刻的了解. (2)對照指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、相關(guān)性質(zhì)來學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)，并能找出它們之間的聯(lián)系與區(qū)別：(完成表格空白處) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) y=ax(a>0, a1) y= (a>0, a1) 圖象 (01) (01) 性質(zhì) (3)①閱讀課本P57例1-例3，P60-62例4-例9 例1、例2講的是指數(shù)式與對數(shù)式的互

4、化，注意指數(shù)式與對數(shù)式的區(qū)別與聯(lián)系. 例3講的是用對數(shù)定義進(jìn)行簡單對數(shù)計算，總結(jié)解題步驟. 例4、例5為利用對數(shù)運算性質(zhì)進(jìn)行對數(shù)運算，總結(jié)解題基本思路. 例6、例9中采取的一種特殊的對等式的處理手法：在等式兩邊同時取對數(shù).利用這個方法推導(dǎo)對數(shù)的換底公式，并完成課本上的旁白. 例7講的是利用換底公式進(jìn)行對數(shù)運算，應(yīng)選擇怎樣的底數(shù)來換呢？ 例8怎么計算，用計算器試一下. ②閱讀課本P67-69例1-例4 例1帶有“”符號的函數(shù)，一定要注意“對數(shù)的真數(shù)大于0”. 例2講的是利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較對數(shù)值的大小，總結(jié)解題基本方法. 例3作了函數(shù)的圖象，觀察它與函數(shù)的圖象的關(guān)系

5、，總結(jié)： 一般地，函數(shù)與函數(shù)的圖象之間的關(guān)系. 例4中利用了偶函數(shù)的對稱性減少了工作量，你還有其它的想法來作出該函數(shù)的圖象嗎？若絕對值換一下位子變?yōu)?，你能作出它的圖象嗎？ 3. 典型例題 (1) 對數(shù)及其運算 例1 計算： ⑴； (2). 分析：由于涉及的是常用對數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)時，化簡中除要用到一般對數(shù)的運算性質(zhì)外，還要注意利用常用對數(shù)的一個性質(zhì)． 解：(1)原式 (2)分子=； 分母=； 原式=. 點評：對數(shù)的運算性質(zhì)有；； ，要注意這些公式從左往右和從右往左各有不同的作用. 例2 計算： 分析：先利用換底公式化異底為同底，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行計算.

6、 解：法一：原式=()() =()() = 法二：原式= = = 點評：利用對數(shù)的換底公式可得公式，該題也可用此公式計算. (2)圖象問題 例3 (1)若a>0且a≠1，則函數(shù)y=loga(x–2)+1的圖象必過定點___________. (2)作出函數(shù)的圖象，并指出它們與函數(shù)圖象的關(guān)系. (3)作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出不等式的解集. 1 2 3 1 O y x 分析:⑴對數(shù)函數(shù)y=logax恒過定點(1，0)，題中所給函數(shù)過定點可以從圖象平移角度考慮，也可以從y的值何時與a無關(guān)考慮；⑵只需直接考慮左右上下的平移即可；(3)利用函數(shù)的奇偶性先作出一

7、部分圖象，再利用對稱性作出另一部分圖象. 解: (1)∵函數(shù)的圖象過定點， ∴函數(shù)y=loga(x–2)+1的圖象必過定點. (2)如圖，函數(shù)的圖象可以 O 1 -1 由函數(shù)的圖象先向右平移2個單位， 再向上平移1個單位得到. (3) 所以，是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱.先作出的圖象，再將其關(guān)于軸對稱即可.如圖：的解集為. 點評：一般的，函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右()或向左()平移個單位而得；函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象軸左側(cè)圖象擦除，右側(cè)圖象不變，再將右側(cè)圖象對稱翻折到左側(cè)而得. (3) 性質(zhì) 例4 求下列函數(shù)的定義域： (1)； (2)；

8、 (3)； (4)． 分析：求函數(shù)的定義域即求使其解析式有意義的自變量x的取值范圍，對數(shù)式當(dāng)且僅當(dāng)真數(shù)N大于0，底數(shù)a大于0且不等于1時有意義. 解：(1)由，得函數(shù)定義域為. (2)由，得，∴函數(shù)定義域為. (3)由，得函數(shù)定義域為. (4)由，得， 當(dāng)時，函數(shù)定義域為； 當(dāng)時，函數(shù)定義域為. 點評：解對數(shù)不等式除了要化為同底利用函數(shù)單調(diào)性外，還要時刻注意真數(shù)要大于0. 例5 (1)求函數(shù)的值域； (2)求的最大值和最小值． 分析：(1)令，先求的范圍，再求的范圍；(2)令，先求的范圍，再求的范圍. 解：(1)設(shè)，∵，即， ∴，即函數(shù)的值域為. (2)設(shè)，∵

9、，∴， 又在上單調(diào)遞減， ∴函數(shù)的值域為. 點評：兩小題都是求對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的最值問題，可采用換元法，但要特別注意新元的范圍. 例6 判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 分析：奇偶性的判斷首先考慮定義域是否關(guān)于原點對稱，再看與之間的關(guān)系. 為奇函數(shù)， 為偶函數(shù). 解：(1)函數(shù)的定義域為，∵， ∴函數(shù)為奇函數(shù). (2)∵恒成立，∴函數(shù)的定義域為， 又， 即滿足，∴函數(shù)是奇函數(shù). (3)，∴函數(shù)的定義域為， ∴，即f(x)的圖象由兩個點 A(－1，0)與B(1，0)組成，這兩點既關(guān)于y軸對稱，

10、又關(guān)于原點對稱，∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù). (4)∵恒成立，∴函數(shù)的定義域為， ， ∴函數(shù)是偶函數(shù). 點評：在解決具體問題時，可以根據(jù)函數(shù)解析式的特點選擇不同的形式來判斷. 若函數(shù)的解析式能化簡，一般應(yīng)考慮先化簡，但化簡必須是等價變換過程(要保證定義域不變). 例7 比較下列各組數(shù)的大小 (1)與 (2)，與 (3)與() 分析：(1)可化為同底對數(shù)；(2)利用中間量；(3)需要對底數(shù)進(jìn)行討論. 解：(1)， 因為在單調(diào)遞增， 所以，即. (2)，， 所以 (3)， 當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，； 當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，； 點評：應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比

11、大小，關(guān)鍵是化同底，有時不能化為同底的時候也可借助0、1等中間量來過渡． 例8 已知是奇函數(shù) (其中. (1)求的值； (2)討論的單調(diào)性. 分析：(1)利用奇函數(shù)定義構(gòu)造關(guān)于m的方程；(2)嚴(yán)格按單調(diào)性定義判斷. 解：(1) 對定義域內(nèi)的任意恒成立， 恒成立，即恒成立， 當(dāng)，故舍去；. (2)定義域為， 任取，，令 則，， 當(dāng)時，因為在上單調(diào)遞增，所以， 所以在上是減函數(shù)； 當(dāng)時，因為在上單調(diào)遞減，所以， 所以在上是增函數(shù). 因為為奇函數(shù)，所以當(dāng)時， 在上是減函數(shù)； 當(dāng)時， 在上是增函數(shù). 點評：(1)中的值出現(xiàn)多解時注意檢驗；(2)中若直接對進(jìn)行變

12、形則需要將變形后的真數(shù)與1比較大小，依然需要對進(jìn)行討論. 例9 (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 分析：(1)可看作對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，因為是減函數(shù)，所以問題歸結(jié)為求函數(shù)t=3-2x的單調(diào)區(qū)間，但要注意先考慮定義域. (2)類似于⑴的處理，但要注意對底數(shù)的討論. 解：(1)函數(shù)的定義域為，設(shè)， ∵在上是減函數(shù)，又在上是減函數(shù)， ∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間. (2)函數(shù)的定義域是，設(shè)，畫出函數(shù)圖象可知，此函數(shù)在上遞減，在上遞增， 時，在上單調(diào)遞增， 時，在上單調(diào)遞減， ∴當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為； 當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.

13、 點評：對數(shù)函數(shù)與其它函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題要先考慮函數(shù)的定義域，再用復(fù)合法則. 例10 生物機體內(nèi)碳14的“半衰期”為5730年，湖南長沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳14的殘余量約占原始量的%，試推算馬王堆古墓的年代. 分析：設(shè)原始含量為1，“‘半衰期’ 為5730年”指經(jīng)過5730年減為原來的一半，利用該條件先求每年減少的量. 解：設(shè)生物體死亡時，體內(nèi)每克組織中的碳14的含量為1，1年后殘留量為， 則年后生物體內(nèi)碳14含量，由于大約每過5730年， 死亡生物體的碳14的含量衰減為原來的一半，所以，于是，這樣生物死亡年后體內(nèi)碳14的含量，將其改寫為對數(shù)式，令，那么，由計算器可得. 所

14、以馬王堆古墓是近2200年前的遺址. 點評：數(shù)據(jù)比較復(fù)雜，依然要用計算器. 4. 自我檢測 (1)若，則 ；若，則 ． (2)計算++= ；3-10+= ． (3)計算 ； ； ． (4)已知函數(shù)①；②；③ ；④ 為常數(shù))其中是對數(shù)函數(shù)的是 ． (5)函數(shù)的定義域是 ． 函數(shù)的定義域是 ． (6)已知，則的取值范圍是 ． 三、 課后鞏固練習(xí) A組 1．若，下列式子中錯誤的是

15、 ． (1)； (2)； (3)； (4) ． 2．計算： (1)___________ ． (2) . (3) ．(4)_________ ．　　 3．(1)若． (2)若，則=_________． (3)若，則 ． (4)已知，則的值為 ． 4．求下列各方程的解： (1)； (2)． 5．解下列不等式： (1)； (2)log2(x2－x－2)>log2(2x－2)； (3) ． 6．比較下列各組數(shù)的大?。? (1)

16、，； (2)，； (3)，，() ； (4) ． 7．求下列函數(shù)的定義域： (1)； (2)； (3) ． 8．(1)函數(shù)f(x)=log()的值域為_________________． (2)若函數(shù)f(x)=logax(0＜a＜1)在區(qū)間［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，求a的值． (3)求函數(shù)的值域，其中x滿足． 9．(1)若點在 圖象上，,則下列點也在此圖象上的是( ) (A) (B) (C) (,) (D) (2)若且，函數(shù)的圖象必過定點______． (3)圖中的曲線是對數(shù)函數(shù)y=logax圖象，已知a取，

17、則 相應(yīng)于C1，C2，C3，C4的a值依次為_______________． (4)為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上 所有的點向_____平移3個單位長度，再向______平移1個單位長度． 10．求下列函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間 (1)； (2)； (3) ． 11．已知函數(shù)， (1)判斷的奇偶性； (2)解不等式； (3)求的單調(diào)區(qū)間（不必證明）． 12．已知函數(shù)是定義域A上的奇函數(shù)． (1)求實數(shù)的值及定義域A； (2)判斷函數(shù)在A上的單調(diào)性并用定義證明． 13．光線通過一塊玻璃，其強度要損失10%，把幾塊這樣玻璃重疊起來，設(shè)光線原來的強度為，通過塊玻璃以后強度

18、為． （1）寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式； （2）通過多少塊玻璃以后，光線強度將減弱到原來的三分之一以下．（lg1/3≈0.4771） B組 14．計算： (1) log25·log58=_____________． (2)=_____________ ． (3)= ． (4)= ． (5)= ． 15．(1)_________ ． (2)均不為1的正數(shù)滿足，且，則=_________． 16．若函數(shù)在R上為增函數(shù)，則a的取值范圍是 ． 17．設(shè)，，，則的大小關(guān)系為_________________

19、． 18．設(shè)函數(shù) ，若，則實數(shù)a的取值范圍是 ______________． 19．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是______________． 20．(1)函數(shù)y＝log2｜ax－1｜(a≠0)的對稱軸方程是x＝－2，那么a= ． (2)已知函數(shù)若互不相等，且，則的取值范圍是 ． 21．作下列函數(shù)的簡圖，并指出它與對數(shù)函數(shù)的圖象的關(guān)系： (1) ； (2) ． 22．(1)已知，求函數(shù)的最小值； (2)設(shè)，且，求的最小值． 23．已知函數(shù)， (1)求函數(shù)的定義域； (2)討論的奇偶性； (3)判斷的單調(diào)性并證明． 24．求的定義域和值域．

20、 C組 25．已知二次函數(shù)的最大值為3，求的值． 26．若,則的大小關(guān)系為 ． 27．已知函數(shù)f (x)= ，則的值= ． 28．(1)已知在［0，2］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是 ． (2)已知函數(shù)滿足：對任意實數(shù)， 當(dāng) 時，總有，那么實數(shù)的取值范圍是_____________． 29．函數(shù)在上總有|y|>1，則a的取值范圍_____________． 30．已知，當(dāng)時，判斷與的大小關(guān)系． 31．若，且，． (1)求的最小值及對應(yīng)的值； (2)x取何值時，且 . 32．求函數(shù)的值域. ． 33．已知函數(shù)，

21、對定義域內(nèi)的任意都有 成立， (1)求實數(shù)的值； (2)若當(dāng)時，的取值范圍恰為，求實數(shù)的值． 知識點 題號 注意點 對數(shù)及其運算 熟悉運用對數(shù)的三個運算性質(zhì)并配以代數(shù)式的恒等變形是常用的運算技巧. 對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì) 注意依據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象熟記對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并能在解題中靈活運用. 綜合問題 注意各知識點間的聯(lián)系. 實際問題 注意問題的實際意義. 四、 學(xué)習(xí)心得 五、 拓展視野 無理數(shù)e 　 大家能想到的重要數(shù)字，除了眾人皆知的0及1外，大概就只有和圓有關(guān)的π了，了不起再加上虛數(shù)單位的.這個e究竟是何方神圣

22、呢？e是自然對數(shù)的底數(shù)，它是這樣定義的： 當(dāng)時， 的極限，隨著n的增大，底數(shù)越來越接近1，而指數(shù)趨向無窮大，那結(jié)果到底是趨向于1還是無窮大呢？其實，是趨向于2.71828……，不信你用計算器計算一下，分別取n=1,10,100,1000.但是由于一般計算器只能顯示10位左右的數(shù)字，所以再多就看不出來了. 　　e在科學(xué)技術(shù)中用得非常多，一般不使用以10為底數(shù)的對數(shù).以e為底數(shù)，許多式子都能得到簡化，用它是最“自然”的，所以叫“自然對數(shù)”. 這里的e是一個數(shù)的代表符號，而我們要說的，便是e的故事.在微積分發(fā)明之前半個世紀(jì)，就有人提到這個數(shù)，所以雖然它在微積分里常常出現(xiàn)，卻不是隨著微積分誕生的.

23、那么是在怎樣的狀況下導(dǎo)致它出現(xiàn)的呢？一個很可能的解釋是，這個數(shù)和計算利息有關(guān). 　　我們都知道復(fù)利計息是怎么回事，就是利息也可以并進(jìn)本金再生利息.但是本利和的多寡，要看計息周期而定，以一年來說，可以一年只計息一次，也可以每半年計息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；當(dāng)然計息周期愈短，本利和就會愈高.有人因此而好奇，如果計息周期無限制地縮短，比如說每分鐘計息一次，甚至每秒，或者每一瞬間(理論上來說)，會發(fā)生什么狀況？本利和會無限制地加大嗎？答案是不會，它的值會穩(wěn)定下來，趨近於一極限值，而e這個數(shù)就現(xiàn)身在該極限值當(dāng)中(當(dāng)然那時候還沒給這個數(shù)取名字叫e).所以用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言來說，e可以

24、定義成一個極限值，但是在那時候，根本還沒有極限的觀念，因此e的值應(yīng)該是觀察出來的，而不是用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明得到的. 除了復(fù)利計算以外，事實上還有許多其他的問題，答案都指向e這個數(shù).比如其中一個有名的問題，就是求雙曲線底下的面積.雙曲線和計算復(fù)利是截然不同的兩個問題，可是這個面積算出來，卻和e有很密切的關(guān)聯(lián). 　　e的影響力其實還不限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域.大自然中太陽花的種子排列、鸚鵡螺殼上的花紋都呈現(xiàn)螺線的形狀，而螺線的方程式，是要用e來定義的.建構(gòu)音階也要用到e，而如果把一條鏈子兩端固定，松松垂下，它呈現(xiàn)的形狀若用數(shù)學(xué)式子表示的話，也需要用到e.這些與計算利率或者雙曲線面積八竿子打不著的問題，居然統(tǒng)統(tǒng)和e有關(guān)，豈不奇妙？ 　 這是小數(shù)點后面兩百位： e=2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20200 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 ……