江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 3.1數(shù)系的擴(kuò)充學(xué)案（無答案）蘇教版選修2-2

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1、3．1 數(shù)系的擴(kuò)充 一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識(shí)、方法 要求 建議 數(shù)系的擴(kuò)充 了解 在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾(數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程理論)在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系． 復(fù)數(shù)的概念 理解 學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念；體會(huì)復(fù)數(shù)a＋bi是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件． 復(fù)數(shù)的相等 理解 理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件． 二、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1．預(yù)習(xí)目標(biāo) 了解數(shù)系的擴(kuò)充過程；理解復(fù)數(shù)的基本概念、代數(shù)表示法以及復(fù)數(shù)相等的充要條件． 2．預(yù)習(xí)提綱 (1)回憶、歸納數(shù)系擴(kuò)充的過程，體會(huì)實(shí)際需要與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾對數(shù)

2、系擴(kuò)充的作用，感受數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系． (2)對引入的新數(shù)有哪兩項(xiàng)規(guī)定? ①______________ ； ②______________ ． (3)a=0是復(fù)數(shù)z=a＋b為純虛數(shù)的充分條件嗎? (4)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是_____________． (5)閱讀課本第103頁至第105頁內(nèi)容，并完成課后練習(xí)． (6)結(jié)合課本第104頁的例1，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念；結(jié)合課本第104頁的例2，進(jìn)一步體會(huì)復(fù)數(shù)a＋b是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件；結(jié)合課本第105頁的例3，感悟和體會(huì)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件． 3．典型例題 (1)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念 實(shí)

3、數(shù)(b=0) 復(fù)數(shù)a＋b(a，b∈R) 純虛數(shù)(a=0，且b≠0) 虛數(shù)(b≠0) 非純虛數(shù)(a≠0，且b≠0) 例1 實(shí)數(shù)x分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z= x2 ＋ x – 6 ＋ (x2 – 2x – 15)是(1)實(shí)數(shù)?(2)虛數(shù)?(3)純虛數(shù)?(4)零? 分析：先明確復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部分別是什么，然后利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念即可． 解：由知：復(fù)數(shù)的實(shí)部為x2 ＋ x – 6，虛部為x2 – 2x – 15． (1) 要使z是實(shí)數(shù)，則x2 – 2x – 15=0，從而當(dāng)x= －3或5時(shí)，z是實(shí)數(shù)； (2) 要使z是虛數(shù)，則x2 – 2x – 150，從而

4、當(dāng)時(shí)，z是虛數(shù)； (3)要使z是純虛數(shù)，則 從而當(dāng)x=5時(shí)，z是純虛數(shù)； (4)要使z是0，則 從而當(dāng)x= －3時(shí)，z是0． 點(diǎn)評：一般地，對于復(fù)數(shù)a＋b(a，b∈R)．當(dāng)b=0時(shí)，a＋b為實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，a＋b為虛數(shù)；當(dāng)a=0且時(shí)，a＋b為純虛數(shù)．對復(fù)數(shù)的分類要嚴(yán)格按照上述規(guī)律進(jìn)行．在討論z為純虛數(shù)時(shí)，不僅要考慮x2＋x – 6=0而且要考慮x2 – 2x – 150，當(dāng)然a，b是實(shí)數(shù)的條件是必不可少的． (2)復(fù)數(shù)相等的充要條件 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部和虛部分別相等．一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說它們相等或不相等，而不能比較大小，只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，才能比較大?。?/p>

5、 例2 求適合下列方程中的x與y(x，y∈R)的值． (1) x2 ＋ 2 ＋ (x –3) = y2 ＋ 9 ＋ (y – 2)； (2) 2x2 – 5x ＋ 3 ＋ (y2 ＋ y – 6)= 0． 分析：先明確復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部，然后利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等即實(shí)部、虛部分別相等． 解：(1)由x2 ＋ 2 ＋ (x –3)= y2 ＋ 9 ＋ (y – 2)得： 即： (2)由2x2 – 5x ＋ 3 ＋ (y2 ＋ y – 6)= 0得： 即：從而 或或或 點(diǎn)評：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義是實(shí)部、虛部分別相等，必須當(dāng)心的是形如a＋b中的a，b是否為實(shí)數(shù)，否則容易引起錯(cuò)解． 例3

6、 求使不等式m2–(m2–3m)＜(m2– 4m＋3)＋10成立的實(shí)數(shù)m的值． 分析：本題抓住“復(fù)數(shù)能夠比較大小，必須都為實(shí)數(shù)”這一規(guī)則來求解． 解：由題意：解得所以m=3． 4．自我檢測 (1)若實(shí)數(shù)集記為R，純虛數(shù)集記為I，復(fù)數(shù)集記為C，則下列各式中：①R∩I={0}；②R∩I=；③C=R∩I；④，正確的序號(hào)有___________________． (2)若x、y是實(shí)數(shù)，且2x–1＋=y–(3－y)，則x=___________，y=___________． (3)設(shè)復(fù)數(shù)z=ab＋(a2＋b2)(a、b∈R)，則a、b滿足_____________________時(shí)，z是純虛

7、數(shù)． 三、課后鞏固練習(xí) A組 1． 若a、b是實(shí)數(shù)，則a=0是復(fù)數(shù)a＋b為純虛數(shù)的__________________條件． 2． 設(shè),是虛數(shù)單位,則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的______條件. 3．若復(fù)數(shù)(a2－a－2)＋(|a－1|－1)(a∈R)不是純虛數(shù)，則a的取值范圍是______________． B組 4．滿足方程x2–2x–3＋(9y2–6y＋1)=0的實(shí)數(shù)對(x，y)表示的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______． 5． 下列命題：①–1的平方根只有一個(gè)；②i是1的四次方根；③設(shè)復(fù)數(shù)z1=a＋b，z2=c＋d，則z1=z2的充要條件是a=c且b=d；④若=0，則z1=z2=0；⑤

8、若a、b∈R且a=b，則(a–b)＋(a＋b)是純虛數(shù)．其中正確的個(gè)數(shù)為______________． 6．當(dāng)實(shí)數(shù)m分別取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z = (1＋)m2＋(5–2)m＋6–15i是：(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)；(4)零． 7．已知a是實(shí)數(shù)，b是純虛數(shù)，且滿足(2–2a)＋(1–3b) i=b–i，求a、b． 8．已知x，y，t∈R，t≠－1，且t≠0，求滿足時(shí)，點(diǎn)(x，y)的軌跡方程． C組 9．已知關(guān)于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i=0有實(shí)根，求純虛數(shù)m的值． 10．設(shè)復(fù)數(shù)z1=1＋sinx＋(1–cosx)i，z2=，(x，y∈R)，若z1

9、、y的值． 知識(shí)點(diǎn) 題號(hào) 注意點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 1-3，6 注意體會(huì)復(fù)數(shù)a＋bi是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件． 復(fù)數(shù)的相等 5，7，9 應(yīng)用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件時(shí)，注意各個(gè)字母的虛實(shí)． 綜合問題 4，8，10 注意復(fù)數(shù)與其它知識(shí)的聯(lián)系． 四、學(xué)習(xí)心得 五、拓展視野 16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)(Jerome Cardan1501－1576)在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當(dāng)公式”．他是第一個(gè)把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家，并且討論是否可能把10分成兩部分使它們的乘積等于40，這需要解方程x(10－x)=40．盡管他寫出了兩個(gè)表達(dá)式，但卻認(rèn)為自己寫的兩個(gè)表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的．給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾(1596－1650)，他在《幾何學(xué)》(1637年發(fā)表)中使“虛的數(shù)”與“實(shí)的數(shù)”相對應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來． 學(xué)完了本節(jié)，你會(huì)解x(10－x)=40這個(gè)方程了嗎?