江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.2指數(shù)函數(shù)學(xué)案 蘇教版必修1

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1、2.2 指數(shù)函數(shù) 一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識(shí)、方法 要求 建議 根式 了解 會(huì)進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 理解 從實(shí)際背景和定義兩個(gè)方面理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，能熟練運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算，并能運(yùn)用公式簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程． 指數(shù)函數(shù) 理解 要先學(xué)會(huì)畫(huà)它們的圖象，觀察它們的圖象，充分利用圖象來(lái)研究它們的性質(zhì)和解決一些問(wèn)題. 二、 預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1. 預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)通過(guò)具體實(shí)例(如細(xì)胞分裂，考古中所用的的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等)，了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的必要性；理解有理指數(shù)冪的含義，通過(guò)具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，理解次方

2、根與次根式的概念，熟練掌握用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示一個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)根；能運(yùn)用有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算和化簡(jiǎn)，會(huì)進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的相互轉(zhuǎn)化. (2)理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，能利用函數(shù)的平移與對(duì)稱變換，討論指數(shù)函數(shù)的圖象；能運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較兩個(gè)指數(shù)式值的大小，能研究一些與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等問(wèn)題.在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型. 2. 預(yù)習(xí)提綱 (1)復(fù)習(xí)八年級(jí)(上)P51-52頁(yè)平方根的定義與性質(zhì)、P55-56立方根的定義與性質(zhì)；九年級(jí)(上)

3、P58-59二次根式的定義與性質(zhì). (2)閱讀課本P45-46頁(yè)次實(shí)數(shù)方根的定義與性質(zhì)；分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義與運(yùn)算性質(zhì)；P49-50頁(yè)指數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)(完成下列表格空白處). y=ax(01) 圖象 性質(zhì) (3)①閱讀課本P46-47的例題 例1講的是簡(jiǎn)單根式的運(yùn)算，總結(jié)用到的運(yùn)算性質(zhì). 例2講的是簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，總結(jié)用到的運(yùn)算性質(zhì). 例3講的是根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，總結(jié)方法. ②閱讀課本P50-54的例題 例1 比較兩

4、個(gè)同底數(shù)冪大小，可以構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決.總結(jié) 比較同底數(shù)冪的大小的方法. 例2 構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決未知量的取值范圍. 例3作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，說(shuō)明它們與函數(shù)的圖象的關(guān)系. 總結(jié)：一般地，函數(shù)與函數(shù)的圖象之間的關(guān)系. 例4、例5、例6是指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，體會(huì)三道例題寫(xiě)出了解析式的方法，體會(huì)函數(shù)模擬的作用.你能舉兩個(gè)具有指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題嗎？ 3. 典型例題 (1) 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算 例1 計(jì)算：(1)； (2)÷47. 分析：(1)式中可將小數(shù)指數(shù)冪化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)； (2)式中注

5、意. 解：(1) 原式==； (2) 原式== 點(diǎn)評(píng)：要注意分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的，，等運(yùn)算性質(zhì)是在底數(shù)為正數(shù)時(shí)才成立的. 例2 化簡(jiǎn)：(1) ； (2) 分析：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式形式同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，一般統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，便于使用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn). 解：(1) 原式= =； (2) 原式 點(diǎn)評(píng)：計(jì)算時(shí)要靈活應(yīng)用：平方差：， 立方差：，立方和：等公式． (2) 圖象問(wèn)題 例3 在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=3x與的圖象，并說(shuō)出它們之間的關(guān)系. 分析：列表描點(diǎn)作圖，注意圖象的變化趨勢(shì). 解：如圖，作出三個(gè)函數(shù)、、 和的圖

6、象，可以看出 點(diǎn)評(píng)：利用指數(shù)函數(shù)的圖象直觀感覺(jué)函數(shù)圖象的平移變換與對(duì)稱變換.一般的，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位得到函數(shù)的圖象. 例4 畫(huà)出函數(shù)的圖象，并利用圖象回答： (1)的單調(diào)區(qū)間是什么？ (2)k分別為何值時(shí)，方程|3x–1|=k無(wú)解？只有一解？有兩解？ 分析：(1)圖象有兩種畫(huà)法，法一：解析式改寫(xiě)成 ，分兩段畫(huà)出圖象，其中的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱 ；法二：的圖象可由在軸上方的圖象不變，軸下方圖象對(duì)稱翻折到軸上方而得.(2)兩函數(shù)與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為方程|3x–1|=k解的個(gè)數(shù)，所以只要平移直線，觀察它與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

7、 O 1 解： (1) 如圖：作出函數(shù)的圖象，由圖可知，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是； (2)平移直線， 當(dāng)時(shí)，直線與 的圖象無(wú)交點(diǎn)，故方程無(wú)解； 當(dāng)時(shí)，直線與 的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，故方程只有一解；當(dāng)時(shí)，直線與 的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程有兩解. 點(diǎn)評(píng)：分兩段畫(huà)圖時(shí)，一般先畫(huà)全體再按范圍截??；利用的圖象進(jìn)行平移、翻折變換時(shí)，注意它的漸進(jìn)線也要帶著變換. (3) 性質(zhì) 例5 求下列函數(shù)定義域 (1) ； (2) ． 分析：先列出使函數(shù)解析式有意義的不等式或不等式組，再準(zhǔn)確解之. 解：(1) 由題得：，∴定義域?yàn)?/p>

8、. (2) 由題得：，即，即，∴定義域?yàn)? 點(diǎn)評(píng)：在解指數(shù)不等式時(shí)，關(guān)鍵是將不等式兩邊化為同底，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解． 例6 求下列函數(shù)的值域： (1) ； (2)(為大于1的無(wú)理數(shù))； (3) 分析：(1)畫(huà)圖即可；(2)令，先求的范圍，再求的范圍；(3)令，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題. 解：(1) 函數(shù)在上單調(diào)遞減，故時(shí)，時(shí)， ∴值域?yàn)? (2) 令，則， 且在上單調(diào)遞增，∴值域?yàn)? (3) 令，則 為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸為，∵，∴值域?yàn)? 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題，主要是通過(guò)換元法將其化歸為所熟悉的初等函數(shù)的值域來(lái)解決，但要特別注意

9、換元后元的范圍. 例7 比較下列各組數(shù)的大?。? (1)； (2)； (3),. 分析：(1)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；(2)都化為以2為底的指數(shù)冪形式，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；(3)無(wú)法化為同底，插入中間量. 解：(1)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，且， ∴； (2)∵，且是R上的單調(diào)遞增函數(shù) ∴ (3),, 點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比大小，關(guān)鍵是化為同底，同時(shí)關(guān)注底數(shù)與1的關(guān)系.不能化同底時(shí)常借助中間量1、0等來(lái)過(guò)渡． 例8 已知函數(shù)，證明：在(0，1)上是減函數(shù). 分析：用函數(shù)單調(diào)性的定義證明單調(diào)性的基本步驟是：取值、作差(同正時(shí)也可考慮作

10、商)、變形、定號(hào)、下結(jié)論. 解：在(0，1)上任取，且，則 ∵，∴，，， ∴，即，故在(0，1)上單調(diào)遞減. 點(diǎn)評(píng)：對(duì)“”的變形是關(guān)鍵，目標(biāo)是將其分解成若干因子的積或商的形式. 例9 　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)； (2) 分析：(1)(2)都可看成指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合法則求單調(diào)區(qū)間. 解：(1) ∵函數(shù)是由函數(shù)，與函數(shù)復(fù)合而成，且 為單調(diào)遞減函數(shù)，∴要求的單調(diào)遞增區(qū)間，即求的減區(qū)間，即，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為；同理，的單調(diào)遞減區(qū)間為 (2) 函數(shù)是由函數(shù)及函數(shù)復(fù)合而成，∵單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間

11、. 點(diǎn)評(píng)：指數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的討論，往往利用單調(diào)性的復(fù)合法則，要注意復(fù)合法則“同增異減”. 例10 判斷函數(shù)的奇偶性. 分析：先求函數(shù)的定義域，再求，也可求，看其是否為0. 解：∴定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 法一： ∴是偶函數(shù). 法二： =0.所以，是偶函數(shù). 點(diǎn)評(píng)：對(duì)的變形要時(shí)刻關(guān)注或的形式，不斷對(duì)比.如果變形有困難，也可求. 例11 若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值； 分析：用定義法或用特殊值法 解：法一：是奇函數(shù)，， 即，即 ∴

12、 法二：∵函數(shù)為奇函數(shù)，且在x＝0處有定義，　∴， 即，∴此時(shí)，，滿足總成立， ∴ 點(diǎn)評(píng)：根據(jù)一組特殊值f(-x1)= -f(x1)解得的a，需再驗(yàn)證a是否對(duì)所有的定義域內(nèi)的都有成立. 例12 某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬(wàn)人，如果年自然增長(zhǎng)率為1.2％，試解答下面的問(wèn)題. (1) 寫(xiě)出該城市人口總數(shù)y(萬(wàn)人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式； (2) 計(jì)算10年以后該城市人口總數(shù)；(精確到0.1萬(wàn)人) 分析：根據(jù)題意，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)模型可以解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題. 解：(1) 1年以后該城市人口總數(shù)為； 2年以后該城市人口總數(shù)為 ； …… x年以

13、后該城市人口總數(shù)為. (2) 10年后該城市人口總數(shù)為(萬(wàn)人) 答：(1) 城市人口總數(shù)y(萬(wàn)人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式為 ；(2) 10年后該城市人口總數(shù)約為(萬(wàn)人) 點(diǎn)評(píng)：需要用計(jì)算器計(jì)算. 4. 自我檢測(cè) (1)化簡(jiǎn)： ；． (2)計(jì)算；． (3)下列函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥. 是指數(shù)函數(shù)的有_____________． (4)函數(shù)的值域是_____________． (5)把函數(shù)的圖象向________平移________個(gè)單位得函數(shù)的圖象． (6)不等式的解集是_____________． 三、 課后鞏固練習(xí) A組 1．計(jì)算：

14、 (1) _____________． (2)=_____________ ． 2．化簡(jiǎn) (1) 時(shí)，=______________．. (2) = _____________． 3．(1)若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則a=_________． (2)已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，3)，則f(-2)= _________． 4．比較下列各組數(shù)的大小： (1) ； (2) ； (3) ． 5．解下列不等式： (1)； (2)． 6．求下列函數(shù)的定義域： (1) ； (2) ． 7．求下列函數(shù)的值域

15、 (1)f (x)=–1， ； (2)； (3) ； (4)； (5) ． 8．(1)若的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi)____________． (2)已知0

16、______． 9．(1)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)______________． (2)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_______________． (3)若函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的最大值為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_______________． 10．(1)已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則__________． (2)設(shè)a＞0，f(x)＝是R上的偶函數(shù)，則a的值為_(kāi)_________． 11．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且時(shí)，，求的表達(dá)式．. B組 12．某種商品在今年1月降價(jià)10％，在此后由于市場(chǎng)供求關(guān)系的影響，價(jià)格連續(xù)三次上漲，要使目前售價(jià)與1月降價(jià)前的價(jià)格相同，則這三次價(jià)格平均回升率等于

17、__________． 13. (1) 若,求的值． (2)已知,求的值． (3) 已知ax+a-x=u，其中a>0，x∈R，將下列各式分別用u表示出來(lái)： ① ②． 14．二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=()x的圖象只可能是 ( ) 15．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(2x)= __________． 16．怎樣由函數(shù)y=4x的圖象，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q得到函數(shù)的圖象？ 17．已知，試求f(x)>g(x)的解集． 18．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．

18、 19．設(shè)定義上的運(yùn)算：，則函數(shù)的最大值是__________． 20．函數(shù)f(x)=ax(a＞0，a≠1)在［1，2］中的最大值比最小值大，則a的值為 ． 21．已知函數(shù)在[-1,1]上最大值為14，求實(shí)數(shù)的值． 22．若為奇函數(shù)，求b的值． 23．已知函數(shù)，且，函數(shù)的定義域?yàn)椋? (1)求的解析式； (2)求的單調(diào)區(qū)間； (3)求的值域． 24．設(shè)， (1)若0

19、 C組 26．若函數(shù) 則不等式的解集為_(kāi)___________． 27．關(guān)于x 方程有負(fù)根，則a的取值范圍為_(kāi)_____________． 28．已知函數(shù)若存在使則b的取值范圍為_(kāi)_______________． 29．設(shè)，如果當(dāng)時(shí)，有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________________． 30．已知函數(shù) (其中，為常量，且，)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,6)，B(3,24)． (1)求； (2)若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 31．閱讀不等式的解法： 由得，顯然在定義域內(nèi)是減函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，， 所以不等式的解集為.利用解此題的方法證明：有惟

20、一解． 32．富蘭克林是美國(guó)著名的科學(xué)家、社會(huì)活動(dòng)家，他的業(yè)績(jī)遍及19個(gè)科技領(lǐng)域．這位科學(xué)家死后只留下了一千英鎊的遺產(chǎn)，然而他卻留下了幾十萬(wàn)英鎊的遺囑，這份有趣的遺囑內(nèi)容是這樣的：“一千英鎊贈(zèng)給波士頓的居民，如果他們接受了這一千英鎊，那么這筆錢應(yīng)該托付給一些挑選出來(lái)的公民，他們得把這些錢按每年5%的利率借給一些年輕的手工業(yè)者去生息．這些款過(guò)了100年增加到131000英鎊．我希望那時(shí)侯用100000英鎊來(lái)建立一所公共建筑物，剩下的31000英鎊拿去繼續(xù)生息100年”請(qǐng)你計(jì)算一下富蘭克林的遺囑能實(shí)現(xiàn)嗎？ 知識(shí)點(diǎn) 題號(hào) 注意點(diǎn) 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 注意靈活運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)

21、與計(jì)算. 指數(shù)函數(shù) 注意依據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并能在解題中靈活運(yùn)用. 綜合問(wèn)題 注意各知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系. 實(shí)際問(wèn)題 注意問(wèn)題的實(shí)際意義. 四、 學(xué)習(xí)心得 五、 拓展視野 指數(shù)的歷史 個(gè)相同的因數(shù)相乘，即，記作，叫作的次冪，這時(shí)叫做指數(shù).本來(lái)，冪的指數(shù)總是正整數(shù)，后來(lái)隨著數(shù)的擴(kuò)充，指數(shù)的概念也不斷發(fā)展. 正整數(shù)指數(shù)冪，特別是與面積、體積的計(jì)算聯(lián)系緊密的平方和立方的概念，在一些文明古國(guó)很早就有了.我國(guó)漢代曾有人提出過(guò)負(fù)整數(shù)指數(shù)的概念，可惜未曾流傳開(kāi)來(lái).15世紀(jì)末，法國(guó)數(shù)學(xué)家休凱引入了零指數(shù)概念.17世紀(jì)英國(guó)的瓦利士在他的《無(wú)窮小》算術(shù)

22、中提出了負(fù)指數(shù)，他寫(xiě)道：“平方指數(shù)倒數(shù)的數(shù)列的指數(shù)是-2，立方指數(shù)倒數(shù)的數(shù)列的指數(shù)是-3，兩項(xiàng)逐項(xiàng)相乘，就有了‘五次冪倒數(shù)’的數(shù)列它的指數(shù)顯然是(-2)+(-3)=-5.同樣，‘平方根倒數(shù)’的數(shù)列的指數(shù)是”這是一個(gè)巨大的進(jìn)步，不過(guò)瓦利士沒(méi)有真正使用的指數(shù)符號(hào). 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪最早在奧力森的《比例算法》中出現(xiàn)，他使用的符號(hào)不簡(jiǎn)潔.現(xiàn)在的分?jǐn)?shù)指數(shù)和負(fù)指數(shù)是牛頓創(chuàng)設(shè)的.牛頓在1676年6月13日寫(xiě)信給萊布尼茲說(shuō)：“因?yàn)楫?dāng)代數(shù)學(xué)家將等寫(xiě)成，所以我將寫(xiě)成；又將寫(xiě)成”.牛頓還首先使用任意實(shí)數(shù)指數(shù). 18世紀(jì)以后，人們發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)還可用三角式即指數(shù)式表示，從而得到了一般復(fù)數(shù)指數(shù)的概念. 1679年萊布尼茲寫(xiě)信給荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯討論方程，，，這是引入變指數(shù)的開(kāi)始. 指數(shù)概念形成以后，歐拉才把對(duì)數(shù)建立在指數(shù)的逆運(yùn)算的基礎(chǔ)上，這就是現(xiàn)行教科書(shū)中廣泛采用的方法.