江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.1導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)案（無(wú)答案）蘇教版選修2-2

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1、1．1 導(dǎo)數(shù)的概念 一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識(shí)、方法 要求 建議 導(dǎo)數(shù)的概念 了解 借助于導(dǎo)數(shù)概念形成的物理背景(瞬時(shí)速度)及幾何背景(曲線切線的斜率)來(lái)理解如何從平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率，從而抽象出導(dǎo)數(shù)的概念． 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 掌握 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 二、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1．預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)本節(jié)主要通過(guò)對(duì)大量實(shí)例的分析，理解平均變化率的實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程； (2)通過(guò)函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義． 2．預(yù)習(xí)提綱 (1)回顧必修2中用來(lái)量化直線傾斜程度的斜率的計(jì)算公式． (2)閱讀教材，回答下列問(wèn)題． 1)平均

2、變化率:怎樣計(jì)算一個(gè)函數(shù)在一個(gè)給定的閉區(qū)間上的平均變化率? 2)瞬時(shí)變化率的幾何背景：曲線上一點(diǎn)處的切線的斜率 ①關(guān)于割線的斜率：設(shè)曲線C上一點(diǎn)P(x，f(x))，過(guò)點(diǎn)P的一條割線交曲線C于另一點(diǎn)Q(x＋△x，f(x＋△x))，則割線PQ的斜率是多少? ②關(guān)于點(diǎn)P(x，f(x))處的切線：設(shè)曲線C上一點(diǎn)P(x，f(x))，過(guò)點(diǎn)P的一條割線交曲線C于另一點(diǎn)Q(x＋△x，f(x＋△x)) ．用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)看，在點(diǎn)P處的切線可以認(rèn)為是過(guò)點(diǎn)P處的割線PQ的當(dāng)Q無(wú)限靠近點(diǎn)P的極限位置，那么你能計(jì)算出切線的斜率嗎?說(shuō)一說(shuō)求曲線y=f(x)上任一點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線斜率的基本步驟． 3)

3、 瞬時(shí)變化率的物理背景：瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度 ①回憶物理學(xué)中對(duì)瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度所下的定義． ②給出位移－時(shí)間方程，如何求物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度?給出速度－位移方程，如何求物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度? 4)導(dǎo)數(shù)：從上述幾何背景和物理背景中抽象出的數(shù)學(xué)概念 ①請(qǐng)表述出函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的概念． ②請(qǐng)表述出導(dǎo)函數(shù)的概念，并表述導(dǎo)函數(shù)的具體的對(duì)應(yīng)法則． ③求導(dǎo)數(shù)的步驟是什么? ④導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么? ⑤說(shuō)一說(shuō)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟． (3)閱讀課本例題，思考下列問(wèn)題． 第7頁(yè)上例4給我們的啟示：一次函數(shù)f(x)=kx＋b在區(qū)間[m，n]上的平均變化率等于多

4、少? 對(duì)比第6頁(yè)上例3與第9頁(yè)上例1，給你怎樣的啟示? 第13頁(yè)上例3是求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，要注意表述格式的規(guī)范化． 3．典型例題 例1 物體做直線運(yùn)動(dòng)的方程為s(t)=3t2－5t(位移單位是m，時(shí)間單位是s)，求物體在2s到4s的平均速度以及2s到3s的平均速度． 分析： 利用公式． 解： 2s到4s的平均速度 ； 2s到3s的平均速度 例2 已知函數(shù)f(x)=2x2＋1，圖象上P(1，3)及鄰近上點(diǎn)Q(1＋，3＋)，求 分析： 應(yīng)用公式= 解： = 例3 已知函數(shù)f(x)=x3，證明：函數(shù)f(x)在任意區(qū)間上的平均變化率都是正數(shù)． 分析：

5、 應(yīng)用公式=求出平均變化率，再進(jìn)行配方． 解：== 恒為正數(shù)． 例4 已知曲線C：，求 (1)求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線方程； (2)第(1)小題中的切線與曲線C是否還有其他的公共點(diǎn)? 解：(1)將x=1代入曲線C的方程得y=1， 切點(diǎn)P(1，1) 設(shè)Q(1＋，)， =， 時(shí)，3， 過(guò)P點(diǎn)的切線方程為y－1=3(x－1)，即3x－y－2=0 (2)由，可得，得 從而求得公共點(diǎn)為(1，1)或(－2，－8)． 點(diǎn)評(píng)：切線與曲線C的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另外的點(diǎn)．可見(jiàn)，直線與曲線相切不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)． 例5 已知曲線上一點(diǎn)P(2，)，求 (1)點(diǎn)P處的切線的斜率

6、； (2)點(diǎn)P處的切線方程． 分析： 先求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式寫出切線方程 解：(1)設(shè)P(2，)，Q(2＋，)， 則割線PQ的斜率=， 當(dāng)時(shí)，4，即點(diǎn)P處的切線的斜率為4． (2)點(diǎn)P處的切線方程為，即． 點(diǎn)評(píng)： 本題若將“點(diǎn)P處”改為“過(guò)點(diǎn)P”，應(yīng)該如何解答呢? 例6 自由落體運(yùn)動(dòng)方程為，(位移單位：m，時(shí)間單位：s)， (1)計(jì)算t從3秒到3．1秒、3．01秒、3．001秒各時(shí)間段內(nèi)的平均速度； (2)求t=3秒時(shí)的瞬時(shí)速度． 分析： 要求平均速度，就是要求的值，為此需要求出、．當(dāng)?shù)闹禑o(wú)限趨向于0時(shí)，其平均速度就接近于一個(gè)定值． 解：(1)設(shè)在3，3．1內(nèi)的平

7、均速度為，則 =3．1－3=0．1s =s(3．1)－s(3)= －=0．305gm 所以 同理 (2) 當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于常數(shù)3g(m/s)． 例7 求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)． 分析： 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，應(yīng)先計(jì)算函數(shù)的增量，再計(jì)算，最后求時(shí)，的值． 解： 當(dāng)時(shí)， 20， ． 例8 某化工廠每日產(chǎn)品的總成本C(單位：元)是日產(chǎn)量x(單位：噸)的函數(shù)： ．求當(dāng)日產(chǎn)量為100噸時(shí)的邊際成本(邊際成本就是一段時(shí)間的總成本對(duì)該段時(shí)間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù))． 分析

8、： 根據(jù)邊際成本的定義，本題只要求出當(dāng)無(wú)限趨向于0時(shí)的值即可． 解：成本的增量為 = =200＋ 當(dāng)時(shí)，即的極限為225．故當(dāng)日產(chǎn)量為100噸時(shí)的邊際成本為225元/噸． 點(diǎn)評(píng)：本題計(jì)算過(guò)程中注意分子有理化的技巧． 4．自我檢測(cè) (1)若函數(shù)f(x)=2x2－1的圖象上一點(diǎn)(1，1)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx，1＋Δy)，則等于 ． (2)函數(shù)在區(qū)間2，4上的平均變化率為 ． (3)若函數(shù)，則＝ ． (4)已知函數(shù)，由定義求，并求． (5)如果函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)分別為： ① ?、凇? ③ ④

9、試求函數(shù)的圖象在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線的傾斜角． 三、課后鞏固練習(xí) A組 1．函數(shù)f(x)=－3x＋1在區(qū)間[0，2]上的平均變化率為 ． 2．設(shè)函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自變量由x0變到x0＋x 時(shí)，函數(shù)的改變量y為 ． 3．函數(shù)f(x)=x2－2在區(qū)間[1，a]的平均變化率為3，則a的值為 ． 4．在曲線y=x2－x＋2上取點(diǎn)P(1，2)及鄰近上點(diǎn)Q(1＋x，2＋y)，則= ． 5．1995年中國(guó)人口約為12億，2020年中國(guó)人口約為13億，則從1995年到2020年這

10、10年中中國(guó)人口的平均變化率是 ；1995年到2020年的人口增長(zhǎng)率是 ． 6．已知函數(shù)y=ax2＋bx，則= ． 7．某工廠8年來(lái)總產(chǎn)量c(萬(wàn)件)與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖，則第一年內(nèi)總產(chǎn)量c的平均變化率是 ，第三年到第八年總產(chǎn)量的平均變化率是 ． 8．函數(shù)f(x)=－x2在點(diǎn)(1，－1)處的切線的斜率為 ． 9．一物體運(yùn)動(dòng)方程是s=200＋，(g=9．8m/s2)，則t=3時(shí)物體的瞬時(shí)速度為 ． 10．若作直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度(單位：m/s)與時(shí)間(單位

11、：s)的關(guān)系為v(t)=t2，則在前3s內(nèi)的平均加速度是 ，在t=3時(shí)的瞬時(shí)加速度是 ． 11．在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：m)，與起跳后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系式：h(t)=－4．9t2＋6．5t＋10．試分別計(jì)算及時(shí)間內(nèi)的平均速度． 12．已知函數(shù)f(x)=，分別計(jì)算函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，3]，[1，2]，[1，1．1]，[1，1．01]上的平均變化率． 13．將半徑為R的球加熱，若球的半徑增加，求球體積的平均變化率． 14．已知某質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s=(2t3＋2t)(米)作直線運(yùn)動(dòng)．求： (1)該質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)前3秒

12、內(nèi)的平均速度； (2)質(zhì)點(diǎn)在2秒到3秒的平均速度； (3)質(zhì)點(diǎn)在3秒時(shí)的瞬時(shí)速度． 15．用割線逼近切線的方法，求曲線y= －x2＋4x在點(diǎn)A(4，0)和B(2，4)處的切線的斜率及切線方程． B組 16．(1)若溫度T在上升過(guò)程中關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是T=f(t) ，則的實(shí)際意義是 ． (2)若污染源擴(kuò)散過(guò)程中污染面積S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是S=f(t) ，則的實(shí)際意義是 ． (3)若一水庫(kù)在泄洪過(guò)程中水面的高度關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是h=f(t) ，則的實(shí)際意義是

13、 ． 17．曲線在點(diǎn)P處切線的斜率為k，當(dāng)k=3時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為 ． 18．已知曲線過(guò)點(diǎn)，則此曲線在該點(diǎn)的切線方程是 ． 19．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則 ． 20．已知函數(shù)f(x)=kx2＋d，且，則k的值為 ． 21．已知函數(shù)，則= ． 22．一個(gè)圓形鋁盤加熱時(shí)，隨著溫度的升高而膨脹．設(shè)該圓盤在溫度t℃時(shí)，半徑為r=r0(1＋at)(a為常數(shù))，求t℃時(shí)，鋁盤面積對(duì)溫度t的變化率． 23．已知拋物線上三點(diǎn)

14、P，Q，R的橫坐標(biāo)分別為－1、－3和2． (1)求割線PQ、PR的斜率； (2)當(dāng)Q、R分別沿拋物線向點(diǎn)P移動(dòng)，割線PQ、PR的斜率如何變化? 24．求曲線y=在點(diǎn)M(3，3)處的切線的斜率及傾斜角． 25．用割線逼近切線的方法，求在處的切線的斜率． 26． 用割線逼近切線的方法，求在處的切線的斜率． 27．設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是，計(jì)算從t=2到t=2＋之間的平均速度，并計(jì)算當(dāng)=0．1時(shí)的平均速度，再計(jì)算t=2時(shí)的瞬時(shí)速度． 28．生產(chǎn)某種產(chǎn)品q個(gè)單位時(shí)成本函數(shù)為，求 (1)生產(chǎn)90個(gè)單位該產(chǎn)品時(shí)的平均成本； (2)生產(chǎn)90個(gè)到100個(gè)單位該產(chǎn)品時(shí)，成本的平均變化率； (3)

15、生產(chǎn)90個(gè)與100個(gè)單位該產(chǎn)品時(shí)的邊際成本各是多少? C組 29．已知存在，則當(dāng)h無(wú)限趨近于0時(shí)，下列式子各趨近于何值? (1) ；(2) ； (3) ；(4) ． 30．已知函數(shù)，記 (1)求在區(qū)間上的平均變化率； (2)在數(shù)軸上畫出數(shù)列對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并觀察當(dāng)不斷增大時(shí)，有什么變化趨勢(shì)? 知識(shí)點(diǎn) 題號(hào) 注意點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的概念 1～7，12，13，16，18，20～22 注意平均變化率與瞬時(shí)變化率概念的區(qū)別 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 8，15，17,19，23～26 求曲線在某點(diǎn)處切線方程的基本步驟 導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用 9～11，14 瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度 導(dǎo)

16、數(shù)的其它應(yīng)用 28，30 邊際成本問(wèn)題 四、學(xué)習(xí)心得 五、拓展視野 很多人都吹過(guò)氣球，回憶一下吹氣球的過(guò)程，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑有如何變化?從數(shù)學(xué)角度如何解釋這種現(xiàn)象? 解 氣球的半徑增加得越來(lái)越慢． 我們知道，氣球的體積V(單位：L)與半徑(單位：dm)之間的函數(shù)關(guān)系是，如果將半徑r表示為體積V的函數(shù)，那么．當(dāng)空氣容量V從0增加到1L時(shí)，氣球半徑增加了，氣球的平均膨脹率為． 類似地，當(dāng)空氣容量V從1L增加到2L時(shí)，氣球半徑增加了，氣球的平均膨脹率為． 可以看出，隨著氣球體積逐漸變大，它的膨脹率逐漸變小了．