江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.3三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)學(xué)案（無答案）蘇教版必修4

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1、=1．3 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì) 一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識(shí)、方法 要求 建議 三角函數(shù)的圖象 幾何描點(diǎn)法、五點(diǎn)描圖法 理解 通過實(shí)例分析來認(rèn)識(shí)周期和周期函數(shù)；在用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象時(shí)，正確地描出圖象上的點(diǎn)是作圖關(guān)鍵，作圖之前首先就這個(gè)問題展開討論；在教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成利用圖象認(rèn)識(shí)、研究、記憶函數(shù)性質(zhì)的習(xí)慣，做到以性作圖，以圖識(shí)性，以圖記性；圖象與正弦曲線的關(guān)系是難點(diǎn)，在教學(xué)中要從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般，從具體到抽象，逐步總結(jié)圖象的變換的規(guī)律. 三角函數(shù)的性質(zhì) 定義域、周期性、奇偶性、單調(diào)性、值域 圖象 平移變換、伸縮變換

2、 二、 預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1．預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)了解三角函數(shù)的周期性，知道三角函數(shù)的最小正周期為．會(huì)求一些函數(shù)的最小正周期； (2)會(huì)用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正、余弦函數(shù)正切函數(shù)的圖象，并能根據(jù)圖象理解正、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)：如周期、最值、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性．了解并掌握正、余弦函數(shù)的有界性，即||≤1，||≤1，并能根據(jù)有界性探求三角函數(shù)的值域和最值； (3)會(huì)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)的簡(jiǎn)圖．弄清三個(gè)參變數(shù)的名稱、作用以及它們對(duì)函數(shù)圖象的影響； (4)能由正弦曲線通過平移、伸縮變換得到的的圖象； (5)會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．

3、 2． 預(yù)習(xí)提綱 (1)查閱初中教材(九年級(jí)下冊(cè))第7.5至7.6節(jié)，復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)在解直角三角形及解決實(shí)際生活問題中的運(yùn)用； (2) 閱讀教材第24頁(yè)至26頁(yè)理解函數(shù)的周期性，周期定義中特別注意“每一個(gè)x值”，周期是針對(duì)自變量x的改變量，可與函數(shù)奇偶性定義相類比； (3)閱讀教材第26至34頁(yè)，完成下列表格； 正弦、余弦、正切函數(shù)圖象與性質(zhì) 正弦函數(shù) 余弦函數(shù) 正切函數(shù) 解析式 圖象 定義域 值域 (最值) 周期性 奇偶性 對(duì)稱軸 對(duì)稱中心

4、 單調(diào)性 增 減 (4)閱讀教材第34至45頁(yè)，根據(jù)課本內(nèi)容填空，形如的函數(shù)： 表示振動(dòng)量時(shí)，填寫下列幾個(gè)物理量：振幅_______；頻率_______；相位_______；初相_______； 函數(shù)的圖象與圖象間的關(guān)系： ①函數(shù)的圖象可以看做將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)______________ ______________________________________而得到； ②函數(shù)圖象，可以看做將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的______ ______________________________________而得到； ③函數(shù)圖象，可以看做將函數(shù)

5、的圖象上所有點(diǎn)的____ _______________________________________而得到； ④函數(shù)圖象，看做將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)_____ _______________________________________而得到． 對(duì)于三角函數(shù)圖象的變換，要多從具體實(shí)例出發(fā)，經(jīng)歷結(jié)論的探索過程，通過充分的思考和探究，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖象之間的關(guān)系，而不應(yīng)該死記住結(jié)論； (5) 體會(huì)課本例題. 教材37頁(yè)例1畫函數(shù)的簡(jiǎn)圖給出了三種方法：方法一是五點(diǎn)法，方法二和方法三都是利用正弦曲線通過圖形的變換作圖，但變換的順序不同.圖形變換中的左右平移和伸縮變換在代數(shù)形式上都是對(duì)點(diǎn)的橫

6、坐標(biāo)x而言的. 教材41頁(yè)例1是一個(gè)物理問題，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體對(duì)平衡位置的位移x和時(shí)間t之間滿足函數(shù)關(guān)系三角函數(shù)在物理中有比較多的應(yīng)用，物理中的單擺運(yùn)動(dòng)、波的傳播、交流電等內(nèi)容都可以用三角函數(shù)來分析和理解. 3． 典型例題 例1 求下列函數(shù)的周期 ． 分析：根據(jù)周期定義求解． 解：(1)設(shè)的周期為T，則,即對(duì)任意的實(shí)數(shù) 都成立，也就是對(duì)任意都成立，其中，由的周 期為，可知,即，所以的周期為． (2)設(shè)的周期為T，則,即對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，也就是對(duì)任意都成立，其中，由的周期為，可知,即， 所以的周期為． (3)設(shè)的周期為T，則，即， 因?yàn)椋缘闹芷跒椋? 點(diǎn)評(píng)：周期性是三

7、角函數(shù)較為顯著的特征，此處采用的是定義法．事實(shí)上對(duì)于、及的周期討論更多采取公式法或圖象法． 例2 若函數(shù)的最小正周期為T，且，求的取值范圍． 分析：根據(jù)周期公式列出關(guān)于不等式求解． 解：由題意知：或． 點(diǎn)評(píng)：本題需要注意的是公式的正確使用，特別是公式中的絕對(duì)值． 例3 根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，寫出使下列不等式成立的的取值范圍： (1)； (2) ． 分析：根據(jù)三角函數(shù)圖象先寫出一個(gè)周期上的取值范圍，再延伸到整個(gè)定義域上． 解：(1)由正弦函數(shù)的圖象知：，． (2)，由余弦函數(shù)的圖象知：，． 點(diǎn)評(píng)：用三角函數(shù)圖象是解簡(jiǎn)單三角不等式的主要方法之一，解題時(shí)應(yīng)

8、充分利用三角函數(shù)的周期性來簡(jiǎn)化問題．事實(shí)上也可以利用三角函數(shù)線來求解． 例4 求下列函數(shù)的定義域： (1)； (2) ． 分析：化簡(jiǎn)后即為解三角不等式，可利用三角函數(shù)線或圖象求解． 解：(1)，， 或， 則的定義域?yàn)椋? (2)，或， ， 則的定義域?yàn)椋? 點(diǎn)評(píng)：本題是求三角函數(shù)與其它函數(shù)復(fù)合的函數(shù)定義域問題，其本質(zhì)為解三角不等式． 例5 求下列函數(shù)的值域 (1)； (2) ． 分析：用換元法將問題化歸為已知的函數(shù)值域問題． 解：(1) 令則，， 所以，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋? (2) 令則，，因?yàn)椋? 所以，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋? 點(diǎn)評(píng)：本題

9、是通過對(duì)三角函數(shù)的換元重溫對(duì)二次函數(shù)、分式函數(shù)等典型函數(shù)值域問題的處理方法． 例6 已知求的最小值和最大值. 分析：利用等式進(jìn)行消元，將問題化歸為二次函數(shù)的最值問題． 解：由已知得：， ， 又， 而， 當(dāng)時(shí)，有最小值； 當(dāng)時(shí)，有最大值． 點(diǎn)評(píng)：本題特別需要關(guān)注的是對(duì)sinx的范圍的確定，既有其自身的范圍，又受到siny的約束． 例7 已知函數(shù)的最小值為， (1) 求； (2) 若，求及此時(shí)的最大值． 分析：先將三角函數(shù)的最值問題化歸為二次函數(shù)的最值問題，再利用二次函數(shù)的圖象根據(jù)對(duì)稱軸的不同取值范圍進(jìn)行分類討論． 解：(1) 由題得： ①若即時(shí)， 則當(dāng)時(shí)有

10、最小值，； ②若即時(shí)， 則當(dāng)時(shí)有最小值，； ③若即時(shí)， 則當(dāng)時(shí)有最小值，． 所以 (2) 若，則只可能 或，分別解之得：． 所以時(shí)，此時(shí)的最大值為5． 點(diǎn)評(píng)：本題是典型的含參二次函數(shù)的最值問題，重點(diǎn)考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．需要注意的是根據(jù)圖象弄清分類討論的依據(jù)，且用分段函數(shù)的形式表示． 例8 若方程有解，求的取值范圍． 分析：從不同角度理解題意可考慮不同的處理方法． 解：法一(求根公式法)原方程可變形為， 當(dāng)即時(shí)． 原方程有解或， 解得：． 法二(圖象法) 設(shè)，則， 原方程有解圖象與軸在內(nèi)有交點(diǎn)， 若有一個(gè)交點(diǎn)：； 若有兩個(gè)交點(diǎn)： ，解得：． 解

11、法三：(轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域) 原方程可變形為：， 視為的函數(shù)，問題的實(shí)質(zhì)就是求它的值域， 所以． 點(diǎn)評(píng)：雖然本題介紹了三種方法，但此類問題的解法多數(shù)情況下選擇方法三(分離參數(shù)法)，因?yàn)榇朔椒蓪栴}轉(zhuǎn)化為求一具體函數(shù)(不含參數(shù))的值域問題． 例9 求下列函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間 (1) ； (2) ； (3) ． 分析：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析方法求解，需要注意x前系數(shù)的符號(hào)及定義域的問題． 解：(1) 由題，即求的單調(diào)減區(qū)間． 令得， 所以單調(diào)增區(qū)間為． (2) 由得， 因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以要求的單調(diào)增區(qū)間， 即求在定義域內(nèi)的單調(diào)減區(qū)間， 所以， 所以的單調(diào)增區(qū)間

12、為． (3) 令，則，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以要函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)就要單調(diào)遞減． 因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為． 點(diǎn)評(píng)：“同增異減”是復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合法則，處理復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題關(guān)鍵在于分離出內(nèi)外函數(shù)，并牢記定義域優(yōu)先原則． 例10 判斷下列函數(shù)的奇偶性 (1) ； (2). 分析：先確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性． 解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且． 因?yàn)椋? 所以為奇函數(shù)． (2)， 故函數(shù)的定義域?yàn)椋? 由于函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 所以既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟：一判斷

13、函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；二是判斷的關(guān)系，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義下結(jié)論． 例11 若，求的值． 分析：利用奇偶性解題． 解：設(shè)，則， 為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)， 點(diǎn)評(píng)：本題也可考慮直接將兩式相加，整體消元的方法． 例12 求函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心的坐標(biāo)． 分析：用整體思想代換即可． 解： 令則， 即函數(shù)的對(duì)稱軸為； 令，則， 即函數(shù)的對(duì)稱中心為． 點(diǎn)評(píng)：需要注意的是對(duì)稱軸方程是直線方程，而對(duì)稱中心的坐標(biāo)是點(diǎn)的坐標(biāo)． 例13 求函數(shù)的定義域． 分析：對(duì)于本身需要． 解：由題得： 所以的定義域?yàn)椋? ． 點(diǎn)評(píng)：本題除了考慮根式、分母等因素外，特別要

14、注意的就是自身的取值范圍．此外，相關(guān)范圍取交集也是本題易錯(cuò)之處． 例14 判斷函數(shù)的奇偶性，并求出其值域． 分析：根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行分析即可． 解：函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以它是非奇非偶函數(shù)． 由在上為單調(diào)增函數(shù)，得其值域?yàn)椋? 即為． 點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單討論，主要是進(jìn)一步熟悉正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 例15 求的單調(diào)區(qū)間． 分析：先化為，再利用整體法求單調(diào)區(qū)間． 解：由題得，令， 得， 所以在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)． 故在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：本題與例9方法類似，需要注意的是正切函數(shù)自身單調(diào)性的特別之處． 例16 試說出函數(shù)的圖象可由

15、的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到． 分析：根據(jù)平移變換、周期變換、相位變換及振幅變換的法則逐步變換即可． 解：法一： 將函數(shù)的圖象依次進(jìn)行如下變換： 把函數(shù)的圖象向左平移得到函數(shù)的圖象； (1)把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)得 到函數(shù)的圖象； (2)把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍(橫坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象； (3)把函數(shù)的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象． 法二：將函數(shù)的圖象依次進(jìn)行如下變換： (1)把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象； (2)把函數(shù)的圖象向左平移得到函數(shù)的圖象； (3)把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)

16、的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍(橫坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象； (4)把函數(shù)的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象． 點(diǎn)評(píng)：解法一、解法二的對(duì)比主要是為了說明周期變換與相位變換互換順序之后的影響．事實(shí)上只要清楚圖象的變換是針對(duì)單個(gè)的x、y而言即可． 例17 已知函數(shù)的圖象在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)為，與軸在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)為，求這個(gè)函數(shù)的解析式． 分析：根據(jù)圖象信息先求出振幅A及周期T，從而得出ω，再代入特征點(diǎn)求解． 解：由題意，所以T=16，． 將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入， 得， 即，所以滿足的為最小正數(shù)解，即， 從而所求的解析式． 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于特征點(diǎn)的選擇一般考慮最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，因?yàn)槠胶?/p>

17、點(diǎn)有兩類，易錯(cuò)． 例18 彈簧掛著的小球作上下振動(dòng)，它在時(shí)間秒內(nèi)離開平衡位置(就是靜止時(shí)的位置)的距離由函數(shù)關(guān)系決定， (1) 求小球開始振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的距離； (2) 求小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)的位置； (3)經(jīng)過多少時(shí)間，小球往返一次？ (4)每秒鐘內(nèi)小球往返多少次． 分析：理解函數(shù)關(guān)系式的實(shí)際意義． 解：(1) 令得，即小球開始振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的距離為； (2) 令得故最高點(diǎn)的位置為； 令得故最低點(diǎn)的位置為； (3) 因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以大約每經(jīng)過約3.14秒小球往返一次； (4) 因?yàn)轭l率，即每秒鐘往返振動(dòng)約0．318次． 點(diǎn)評(píng)：這是實(shí)際問題中的

18、三角函數(shù)模型，借此例認(rèn)真體會(huì)三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，同時(shí)注意解決問題時(shí)要考慮實(shí)際意義． 4． 自我檢測(cè) (1)求下列函數(shù)的最小正周期： ①； ②； ③． (2) ① 若∈，則∈____________； ② 若∈，則∈___________． (3)比較下列各組數(shù)的大?。? ① ； ② ； ③________； ④ ； ⑤ ； ⑥ ． (4)求下列函數(shù)的定義域 ①； ②；③ (5)的值域?yàn)? ___． (6)函數(shù)的增區(qū)間是 ____．

19、 (7)已知函數(shù)，x∈R的圖象為C： ①圖象C__________________(怎樣變換)可得函數(shù)的圖象； ②圖象C__________________(怎樣變換)可得函數(shù)的圖象； ③圖象C__________________(怎樣變換)可得函數(shù)的圖象． (8)用作調(diào)頻無線電信號(hào)的載波以為模型，其中t的單位是秒，則此載波的周期為_____________，頻率為________________． (9)將函數(shù)y＝sin(6x＋)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍，再向右平移個(gè)單位，得到的函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是 ． (10)設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)

20、f(x)＝cosωx(其中ω≠0)的圖象C的一個(gè)對(duì)稱中心，若點(diǎn)P到圖象C的對(duì)稱軸的距離最小值是π，則函數(shù)f(x)的最小正周期是 ． (11)函數(shù)f(x)＝sinx在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，且f(a)＝－1，f(b)＝1，則cos的值為 ． 三、 課后鞏固練習(xí) A組 1．(1) 函數(shù)的最小正周期是__________； (2) 函數(shù)的最小正周期是__________； (3) 若函數(shù)的最小正周期為，則a＝____________． 2．(1) 函數(shù)(x∈R)的最小值為________，此時(shí)x＝________； (2)函數(shù)(x∈R)的最小值為____

21、____，此時(shí)x＝_______． 3．函數(shù)的振幅________；周期________；頻率________；相位________； 初相________；對(duì)稱中心____________；對(duì)稱軸____________． 4．函數(shù)與軸距離最近的對(duì)稱軸是____________． 5．求下列函數(shù)的定義域： (1) ； (2) ； (3) . 6．求下列函數(shù)的值域： (1) ； (2) ； (3)； (4) . 7．(1)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間； (2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間． 8．寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1

22、) 增區(qū)間___________________減區(qū)間_______________； (2) 增區(qū)間___________________減區(qū)間_______________； (3) 增區(qū)間___________________． 9． 判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 10．(1)函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為_________________； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin2x，若f(x＋t)是偶函數(shù)，則t的一個(gè)可能值是__________． 11．若是以為周期的奇函數(shù)，且，則＝_________________． 12．如果函數(shù)的

23、最小正周期是T，且當(dāng)時(shí)取得最大值，則T= ， ． 13．已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則_______， _______________． 14．函數(shù)的一段圖象如圖所示,則A＝_______=_____________________． 15．函數(shù)的部分圖象如圖，則__________________． 16．(1)把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的(縱坐標(biāo)不變)，所得函數(shù)解析式為____________． (2)把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的(縱坐標(biāo)不變)，再把圖象向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)解析式為______

24、______． B組 17．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)的圖象C的一個(gè)對(duì)稱中心，若點(diǎn)P到圖象C的對(duì)稱軸上 的距離的最小值，則的最小正周期是____________． 18．(1)若函數(shù)的周期滿足，求的正整數(shù)值； (2)若的周期不大于2，求正整數(shù)的最小值． 19．判斷下列函數(shù)是否為周期函數(shù)，若是，寫出其最小的正周期： (1) ； (2)； (3) ；(4)． 20．已知奇函數(shù)在時(shí)，，求時(shí)，的解析式． 21．求下列函數(shù)的定義域： (1)； (2)； (3)． 22．求下列函數(shù)的值域： (1)； (2)． 23．已知，，則的取值范圍是____________

25、___． 24．求函數(shù)的最值． 25．(1)若在區(qū)間[0，]上的最大值為，求ω； (2)已知函數(shù)f(x)＝2sinωx在區(qū)間[－，]上的最小值為－2，則ω的取值范圍是 ． 26．是正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍． 27．已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍． 28．設(shè)函數(shù)的一條對(duì)稱軸是直線， (1)求； (2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間． 29．若函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，然后將所得圖象先向左平移 個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到的曲線與的圖象相同，求的表達(dá)式． 30．函數(shù)在內(nèi)只取到一個(gè)最大值和一 個(gè)最小值，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的

26、最大值為3，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為－3，試求 此函數(shù)的解析式． 31．某星星的亮度變化周期為10天，此星星的平均亮度為3.8星等，最高亮度距離平均亮度為0.2星等，則可近似地描述此星星的亮度y(單位：星等)與時(shí)間t(單位：天)之間的關(guān)系的一個(gè)三角函數(shù)為__________________________． 32．如圖為一個(gè)觀覽車示意圖，該觀覽車半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面距離為h， (1)求h與間關(guān)系的函數(shù)解析式； (2) 設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過t秒到達(dá)OB，求h與t間的函數(shù)解析

27、式． C組 33．(1)已知是周期為6的奇函數(shù)，，則 ； (2)已知是R上的奇函數(shù)，，時(shí)，， 則= ． 34．已知函數(shù)的最大值為2，求實(shí)數(shù)的值． 35．定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點(diǎn)P2,則線段P1P2的長(zhǎng)為________． 36．設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意都有成立，則的最小值為_________________．　　　 37．為了使函數(shù)在區(qū)間上至少出現(xiàn)50次最大值，則的最小值 ． 38．設(shè)函數(shù)，它們的最小正周期分別為,且，已知，求的

28、解析式． 39．和的圖象圍成的一個(gè)封閉的平面圖形的面積為 ． 40．函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是__________． 41．先將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象作關(guān)于y軸的對(duì)稱變換，那么與最后所得圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是___________． 42.對(duì)于函數(shù)給出下列結(jié)論：①圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；②圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱；③圖象可由函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到；④圖像向左平移個(gè)單位，即得到函數(shù)的圖像。其中正確結(jié)論是_______． 43．已知定義在上的奇函數(shù)滿足為偶函數(shù)，對(duì)于函數(shù) 有下列幾種描述：是周期函數(shù)；是它的一條對(duì)稱軸；

29、 是它圖像的一個(gè)對(duì)稱中心；(4)當(dāng)時(shí)，它一定取最大值，其中描述正確的是 ． 44．已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)的圖像如下圖所示，f()＝－，則f(0)等于___________． 45.動(dòng)點(diǎn)A(x，y)單位圓上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周，已知時(shí)間t＝0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(，)，則當(dāng)0≤t≤12時(shí)，動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位：秒)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ． 46.已知函數(shù)f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱軸完全相同．若x∈[

30、0，]，則f(x)的取值范圍是 ． 47．方程2sin2x＝x－3的解有___________． 48．已知，當(dāng)方程f(x)=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)， (1)求m的取值范圍； (2)求方程的兩實(shí)根之和． 49.若滿足為使?jié)M足條件的的值：(1)存在；(2)有且只有一個(gè)；(3)有兩個(gè)不同的值；(4)有三個(gè)不同的值，分別求實(shí)數(shù)的取值范圍． 50.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，并且在R上為增函數(shù)，若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 51.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)的圖像如下． (1)求函數(shù)在的表達(dá)式；(2)求方程的解．

31、 知識(shí)點(diǎn) 題號(hào) 注意點(diǎn) 定義域與周期性 求函數(shù)周期的幾種方法 奇偶性與對(duì)稱性 注意有函數(shù)對(duì)稱性確定函數(shù)參數(shù)一類題的方法 單調(diào)性 注意研究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)內(nèi)函數(shù)單調(diào)性的確定 值域與最值 利用函數(shù)的單調(diào)性看函數(shù)的值域 函數(shù)的圖象與解析式 理解函數(shù)圖象的變換是圖象上點(diǎn)的變換 綜合題 靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí) 四、 學(xué)習(xí)心得 五、 拓展視野 三角學(xué)的歷史 早期三角學(xué)不是一門獨(dú)立的學(xué)科，它依附于天文學(xué)，是天文觀測(cè)結(jié)果推算的一種方法，因而最先發(fā)展起來的是球面三角學(xué)．希臘、印度、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)中都有三角學(xué)的內(nèi)容，可大都是天文觀測(cè)的副產(chǎn)品．例如，古

32、希臘梅內(nèi)勞斯著《球面學(xué)》，提出了三角學(xué)的基礎(chǔ)問題和基本概念，特別是提出了球面三角學(xué)的梅內(nèi)勞斯定理；50年后，另一個(gè)古希臘學(xué)者托勒密著《天文學(xué)大成》，初步發(fā)展了三角學(xué)．而在公元499年，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多也表述出古代印度的三角學(xué)思想；其后的瓦拉哈米希拉最早引入正弦概念，并給出最早的正弦表；公元10世紀(jì)的一些阿拉伯學(xué)者進(jìn)一步探討了三角學(xué)．當(dāng)然，所有這些工作都是天文學(xué)研究的組成部分．直到納西爾丁的《橫截線原理書》才開始使三角學(xué)脫離天文學(xué)，成為純粹數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支．而在歐洲，最早將三角學(xué)從天文學(xué)獨(dú)立出來的數(shù)學(xué)家是德國(guó)人雷格蒙塔努斯． 雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《論各種三角形》．這是歐

33、洲第一部獨(dú)立于天文學(xué)的三角學(xué)著作．全書共5卷，前2卷論述平面三角學(xué)，后3卷討論球面三角學(xué)，是歐洲三角學(xué)傳播的源泉．雷格蒙塔努斯還較早地制成了一些三角函數(shù)表． 雷格蒙塔努斯的工作為三角學(xué)在平面幾何和球面幾何中的應(yīng)用建立了牢固的基礎(chǔ)．他去世以后，其著作手稿在學(xué)者中廣為傳閱，并最終出版，對(duì)16世紀(jì)的數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了相當(dāng)大的影響，也對(duì)哥白尼等一批天文學(xué)家產(chǎn)生了直接或間接的影響． 三角學(xué)一詞的英文是trigomometry，來自拉丁文tuigonometuia．最先使用該詞的是文藝復(fù)興時(shí)期的德國(guó)數(shù)學(xué)家皮蒂斯楚斯，他在1595年出版的《三角學(xué)：解三角形的簡(jiǎn)明處理》中創(chuàng)造了這個(gè)詞．其構(gòu)成法是由三角形和測(cè)量?jī)?/p>

34、字湊合而成．要測(cè)量計(jì)算離不開三角函數(shù)表和三角學(xué)公式，它們是作為三角學(xué)的主要內(nèi)容而發(fā)展的． 16世紀(jì)三角函數(shù)表的制作首推奧地利數(shù)學(xué)家雷蒂庫(kù)斯．他1536年畢業(yè)于滕貝格大學(xué)，并留校講授算術(shù)幾何．1539年赴波蘭跟隨著名天文學(xué)家哥白尼學(xué)習(xí)天文學(xué)，1542年受聘為萊比錫大學(xué)數(shù)學(xué)教授．雷蒂庫(kù)斯首次編制出全部6種三角函數(shù)的數(shù)表，包括第一張?jiān)敱M的正切表和第一張印刷的正割表． 17世紀(jì)初對(duì)數(shù)發(fā)明后大大簡(jiǎn)化了三角函數(shù)的計(jì)算，制作三角函數(shù)表已不再是很難的事，人們的注意力轉(zhuǎn)向了三角學(xué)的理論研究．不過，三角函數(shù)表仍然在科學(xué)研究與生產(chǎn)生活中發(fā)揮著重要的作用． 三角公式是三角形的邊與角、邊與邊或角與角之間的關(guān)系式．

35、三角函數(shù)的定義已體現(xiàn)了一定的關(guān)系，一些簡(jiǎn)單的關(guān)系式在古希臘人以及后來的阿拉伯人中也有研究． 文藝復(fù)興后期，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)成為三角公式的集大成者．他的《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》是較早系統(tǒng)論述平面和球面三角學(xué)的專著之一．其中第一部分列出6種三角函數(shù)表，有些以分和度為間隔，給出精確到5位和10位小數(shù)的三角函數(shù)值，還附有與三角值有關(guān)的乘法表、商表等．第二部分給出造表的方法，解釋了三角形中諸三角線量值關(guān)系的運(yùn)算公式．除匯總前人的成果外，他還補(bǔ)充了自己發(fā)現(xiàn)的新公式，如正切定律、和差化積公式等等．他將這些公式列在一個(gè)總表中，使得任意給出某些已知量后，可以從表中得出未知量的值．該書以直角三角形為基礎(chǔ)．對(duì)斜三

36、角形，韋達(dá)仿效古人的方法化為直角三角形來解決．對(duì)球面直角三角形，給出計(jì)算的完整公式及其記憶法則，如余弦定理，1591韋達(dá)又得到多倍角關(guān)系式，1593年又用三角方法推導(dǎo)出余弦定理． 1722年英國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗得到以他名字命名的三角學(xué)定理，并證明了n是正有理數(shù)時(shí)公式成立；1748年歐拉證明了n是任意實(shí)數(shù)時(shí)公式也成立，他還給出另一個(gè)著名公式，對(duì)三角學(xué)的發(fā)展起到了重要的推動(dòng)作用． 近代三角學(xué)是從歐拉的《無窮分析引論》開始的．他定義了單位圓，并以函數(shù)線與半徑的比值定義三角函數(shù)，他使三角學(xué)從研究三角形解法進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為研究三角函數(shù)及其應(yīng)用，成為一個(gè)比較完善的數(shù)學(xué)分支學(xué)科．而由于上述諸人及19世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家的努力，現(xiàn)代的三角函數(shù)符號(hào)和三角學(xué)的完整的理論在19世紀(jì)最終完成了．