江蘇省蘇州市第五中學高中數(shù)學 1.4導數(shù)在實際生活中的應(yīng)用學案(無答案)蘇教版選修2-1

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1、1.4 導數(shù)在實際生活中的應(yīng)用 一、學習內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 學習建議 導數(shù)在實際問題中的應(yīng)用 掌握 導數(shù)在實際生活中主要是解決最優(yōu)化的問題,建立函數(shù)模型是關(guān)鍵,而解決模型的過程實質(zhì)上就是上一節(jié)的內(nèi)容.學生應(yīng)該在具體問題中,理清各個量的關(guān)系,建立適當?shù)暮瘮?shù)模型. 二、預習指導 1.預習目標 通過生活中優(yōu)化問題的學習,體會導數(shù)在解決實際問題中的作用,促進學生全面認識數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值和文化價值. 2.預習提綱 (1)回顧利用導數(shù)求函數(shù)最值的方法步驟;回顧將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的方法 (2)閱讀課本第35至第38頁例題,思考以下問題:

2、 ①利用導數(shù)解決實際問題中的最值的一般步驟: ②利用導數(shù)解決實際問題中的最值問題時應(yīng)注意哪些問題? 3.典型例題 (1)面積、體積最值問題 例1 用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成(如圖),問該容器的高為多少時,容器的容積最大?最大容積是多少? 分析: 就用容器的高x作為自變量,建立一個關(guān) 于高的目標函數(shù),容器的底面是矩形,長寬分別為90-2x,48-2x.于是得出體積的函數(shù),再用導數(shù)方法求解.

3、解: 設(shè)容器的高為x,容器的體積為V, 則V=(90-2x)(48-2x)x,(0

4、m3) . 答:該容器的高為10時,容器的容積最大,最大容積是1960 cm3. 點評: 解決實際問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造目標函數(shù)和建立數(shù)學模型,把“問題情境”譯為數(shù)學語言,找出問題的主要關(guān)系,并把問題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學問題,在數(shù)學領(lǐng)域里尋找適當?shù)姆椒ń鉀Q,再返回到實際問題中加以說明.同時注意與實際問題有關(guān)的函數(shù)的定義域,除了使解析式有意義外,還要注意到它的實際意義. 例2 已知矩形的兩個頂點位于x軸上,另兩個頂點位于拋物線y=4-x2在x軸上方的曲線上,求這種矩形中面積最大者的邊長. 分析: 如圖所示,設(shè)出AD的長,進而求出表示出面積S, 然后利用導數(shù)求最值. 解: 設(shè)位于拋

5、物線上的矩形的一個頂點為(x,y),且x>0,y>0, 則另一個在拋物線上的頂點為(-x,y), 在x軸上的兩個頂點為(-x,0)、(x,0),其中0< x<2. 設(shè)矩形的面積為S,則S=2 x(4-x2),0< x<2. 由S′(x)=8-6 x2=0,得x=或x=-(舍), 當00;當

6、 統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量(升)關(guān)于行駛速度(千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為:已知甲、乙兩地相距100千米. (1)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升? (2)當汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升? 分析: 根據(jù)距離比速度等于時間,求出全程所用時間,根據(jù)單位時間內(nèi)的耗油量與全程時間的積等于全程耗油量,列出目標函數(shù),轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)求函數(shù)的最小值. 解:(1)當時,汽車從甲地到乙地行駛了小時, 要耗沒(升). 答:當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油17.5升

7、. (2)當速度為千米/小時時,汽車從甲地到乙地行駛了小時,設(shè)耗油量為升, 依題意得 令得 當時,是減函數(shù); 當時,是增函數(shù). 當時,取到極小值 因為在上只有一個極值,所以它是最小值. 答:當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少為11.25升. 點評: 本題(1)是(2)的鋪墊,本題(2)是導數(shù)完成的應(yīng)用性問題,對于這類問題,學生往往忽視了數(shù)學語言和普通語言的理解與轉(zhuǎn)換,從而造成了解決應(yīng)用問題的最大思維障礙,運算不過關(guān),得不到正確的答案,對數(shù)學思想方法不理解或理解不透徹,則找不到正確的解題思路,在

8、此還需要我們依據(jù)問題本身提供的信息,運用所謂的動態(tài)思維,去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法,并從中進行一番選擇. 例4 有甲、乙兩個工廠,甲廠位于一直線海岸的岸邊A處,乙廠與甲廠在河的同側(cè),乙廠位于離河岸40 km的B處,乙廠到海岸的垂足D與A相距50 km,兩廠要在此岸邊合建一個供水站C,從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元,問供水站C建在何處才能使水管費用最省? 分析: 本題考查復合函數(shù)的導數(shù)及導數(shù)的應(yīng)用.適當選定變元,借助圖象尋找各條件間的聯(lián)系,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,建立數(shù)學模型,通過求導和其他方法求出最值. 解:法一 根據(jù)題意,只有點C在線段AD上某一

9、適當位置,才能使總的水管費用最省,設(shè)C點距D點x km,則AC=(50-x) km. 又∵BD=40 km, ∴BC=, 又設(shè)總的水管費用為y元,依題意, 則y=3a(50-x)+5a(0

10、f(θ)=3a(50-40cotθ)+5a=150a+40a, ∴f ′(θ)=40a. 令f ′(θ)=0,得cosθ=. ∵0<θ<, ∴0

11、y的最小值.而解法二中可以用數(shù)形結(jié)合的思想求解的最小值,此式化為,對于,視為動點(sinθ,cosθ)與定點(0,)連成的斜率,利用圓的切線求解. (3)利潤最大問題 例5 已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q,價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p=25-,求產(chǎn)量q為何值時,利潤L最大. 分析: 利潤L等于收入R減去成本C,而收入R等于產(chǎn)量乘價格,由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式,再用導數(shù)求最大利潤. 解:法一 收入, 利潤L=R-C=()-(100+4q) =+21 q-100(0

12、84時,>0;當84

13、 . (2)內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的邊長為 . (3)一根長為了12cm的細鐵絲,將其圍成一個正四棱柱框架,當正四棱柱框架的容積最大時,底邊長為 . s t O ① s t O s t O s t O ② ③ ④ (4)汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車,若把這一過程中汽車的行駛路程看S作時間t的函數(shù),其圖像可能是 . 三、課后鞏固練習 A組 1.將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形,再沿線折起,做成一個無蓋的正六棱柱容器,當這個正六棱柱窗口的底面邊長為

14、 時,其容積最大. 2.經(jīng)過長期觀測得到:在交通繁忙的時段內(nèi),某公路段汽車的車流量(千輛/小時)與汽車的平均速度(千米/小時)之間的函數(shù)關(guān)系為:. 若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時,則汽車的平均速度應(yīng)在的范圍是______________. 3.某公司一年購買某種貨物400噸,每次都購買噸,運費為4萬元/次,一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則______噸. 4. 把一個周長為12cm的長方形圍成一個圓柱,當圓柱的體積最大時,該圓柱的底面周長與高的比為 . 5.要做一個圓錐形的漏斗,其母線長為20cm,要使其體積為

15、最大,則高為 . 6.某種圓柱形飲料罐的容積V一定,若使它的用料最省,則它的高與底半徑分別為 . 7.將長為l的鐵絲剪成兩段,各圍成長與寬之比為2:1及3:2的矩形,那么這兩個矩形面積和的最小值為 . 8. 斜邊為定長的直角三角形,繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐.問:這個圓錐的體積最大時的半徑. 9. 某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進一批商品,若該商品零售價定為p元,則銷售量Q(單位:件)與零售價p(單元:元)有如下關(guān)系:Q=8300-170p-p2.問該零售價定為多少時毛利潤L最大?并求最大毛利潤.(毛利潤=銷售收入-進貨支出). B組

16、 10.將邊長為1m正三角形薄片,沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記,則S的最小值是___________________. 11.半徑為r的圓的面積S(r)=r2,周長C(r)=2r,若將r看作(0,+∞)上的變量,則(r2)`=2r ①,①式可以用語言敘述為:圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù).對于半徑為R的球,若將R看作(0,+∞)上的變量,請你寫出類似于①的式子: ②,②式可以用語言敘述為:________________________________. 12. 如圖,某單位用木料制作如圖所示的框架,框架的下部是邊長分別為(單位:米)的矩形,

17、上部是斜邊長為的等腰直角三角形,要求框架圍成的總面積為8平方米. (1)求的關(guān)系式,并求的取值范圍; (2)問分別為多少時用料最省? 13. 2020年奧運會在中國召開,某商場預計2020年從1月起前x個月,顧客對某種奧運商品的需求總量p(x)件與月份x的近似關(guān)系是 該商品的進價q(x)元與月份x的近似關(guān)系是. (1)寫出今年第x月的需求量f(x)件與月份x的函數(shù)關(guān)系式; (2)該商品每件的售價為185元,若不計其他費用且每月都能滿足市場需求,則此商場今年銷售該商品的月利潤預計最大是多少元? 14.有甲、乙兩城,甲城位于一直線形河

18、岸,乙城離岸40千米,乙城到岸的垂足與甲城相距50千米,兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水,從水廠到甲城和乙城的水管費用分別為每千米500元和700元,問水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處,才能使水管費用最省? 15.已知一木材的橫截面是直徑為d的圓,要把它加工成為最堅固的橫截面是矩形的橫梁應(yīng)如何設(shè)計?(矩形橫梁抗彎強度與其斷面長的平方和寬的積成正比). 16. 用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架,要求長方體的長與寬之比為2:1,問該長方體的長、寬、高各為多少時,其體積最大?最大體積是多少? C組 17.如圖,在等腰梯形ABCD中,底CD=40,腰AD=40,問AB為多少時,梯形ABCD的面

19、積最大?并求出最大面積. 18.如圖,有一塊半橢圓形鋼板,其長半軸長為,短半軸長為,計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀,下底是半橢圓的短軸,上底的端點在橢圓上,記,梯形面積為. (I)求面積以為自變量的函數(shù)式,并寫出其定義域; (II)求面積的最大值. 19.煙囪向周圍地區(qū)散落煙塵而造成環(huán)境污染.已知A,B兩座煙囪相距3km,其中A煙囪噴出的煙塵量是B煙囪的8倍,經(jīng)環(huán)境檢測表明:落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離的平方成反比,而與煙囪噴出的煙塵量成正比(比例系數(shù)為k, k>0).若C處在連接兩煙囪的線段AB上(不包括端點),若C處距A煙囪xkm,C處的煙塵濃

20、度為y. (1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式; (2)是否存在這樣的C處,使該處的煙塵濃度最低?若存在,求出C處到A煙囪的距離;若不存在,請說明理由. O1 20.請您設(shè)計一個帳篷.它下部的形狀是高為1m的正六棱 柱,上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示).試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時,帳篷的體積最大? 21.請你設(shè)計一個包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點,設(shè)AE=FB=

21、xcm (1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值? (2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值。 22.某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD 的頂點A,B 及CD的中點P 處,已知AB=20km,CB =10km,為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上(含邊界),且A,B 與等距離的一點O 處建造一個污水處理廠,并鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP , 設(shè)排污管道的總長為km. (1)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式: ①設(shè)∠BAO=(rad),將表示成的函數(shù)關(guān)系式; ②設(shè)OP (km) ,將表示成

22、的函數(shù)關(guān)系式. (2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系式,確定污水處理廠的位置,使三條排污管道總長度最短. 23.某園林公司計劃在一塊為圓心,(為常數(shù))為半徑的半圓形(如圖)地上種植花草樹木,其中弓形區(qū)域用于觀賞樣板地,區(qū)域用于種植花木出售,其余區(qū)域用于種植草皮出售.已知觀賞樣板地的成本是每平方米2元,花木的利潤是每平方米8元,草皮的利潤是每平方米3元. 花木地 (1) 設(shè),,分別用,表示弓形的面積; 觀賞樣板地 (2) 園林公司應(yīng)該怎樣規(guī)劃這塊土地,才能使總利潤最大? (參考公式:扇形面積公式) 草皮地 草皮地 知識點 題號 注意點 導數(shù)在實際問題

23、中的應(yīng)用 1~22 建立函數(shù)模型是關(guān)鍵,應(yīng)該在具體問題中,理清各個量的關(guān)系,建立適當?shù)暮瘮?shù)模型. 四、學習心得 五、拓展視野 在一定條件下,“利潤最大”“用料最省”“面積最大”“效率最高”“強度最大”等問題,在生產(chǎn)、生活中經(jīng)常用到,在數(shù)學上這類問題往往歸結(jié)為求函數(shù)的最值問題.除了常見的求最值的方法外,還可用求導法求函數(shù)的最值.但無論采取何種方法都必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進行. 有一塊邊長為4的正方形鋼板,現(xiàn)對其進行切割, 焊接成一個長方形無蓋容器(切、焊損耗忽略不計),有人應(yīng)用數(shù)學知識作了如下設(shè)計,如圖1(1),在鋼板的四個角處各切一個小方形,剩余部分圍成一個長

24、方體,該長方體的高為小正方形邊長,如圖1(2). (1)請你求出這種切割、焊接而成的長方體的最大容積; (2)由于上述設(shè)計存在缺陷(材料有的浪費),請你重新設(shè)計切焊方法,使材料浪費最少,而且所得長方體容器的容積. 分析 (1)是利用題中給出的方案,利用導數(shù)求容器的最大值.(2)主要考查動手實踐能力. 解 (1)設(shè)切去的正方形邊長為x,則焊接成的長方體的底面邊長為4-2x,高為x,所以 =(4-2x)2x=4(x3-4x2+4x),(00;當時,<0; 所以當時,最得最大值. (2)重新設(shè)計方案如下: 如圖2①,在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形;如圖2②,將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間;如圖2③,將圖2②焊成長方體容器. 新焊成的長方體容器底面是一長方形,長為3,寬為2,高為1,此長方體的容積為 =6,顯然. 故第二種方案符合要求. 評注 問題(1)主要考查了導數(shù)的應(yīng)用,而問題(2)情景新穎,很好地考查了創(chuàng)新意識.

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