13、 .
(2)內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的邊長為 .
(3)一根長為了12cm的細鐵絲,將其圍成一個正四棱柱框架,當正四棱柱框架的容積最大時,底邊長為 .
s
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①
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②
③
④
(4)汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車,若把這一過程中汽車的行駛路程看S作時間t的函數(shù),其圖像可能是 .
三、課后鞏固練習
A組
1.將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形,再沿線折起,做成一個無蓋的正六棱柱容器,當這個正六棱柱窗口的底面邊長為
14、 時,其容積最大.
2.經(jīng)過長期觀測得到:在交通繁忙的時段內(nèi),某公路段汽車的車流量(千輛/小時)與汽車的平均速度(千米/小時)之間的函數(shù)關(guān)系為:.
若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時,則汽車的平均速度應(yīng)在的范圍是______________.
3.某公司一年購買某種貨物400噸,每次都購買噸,運費為4萬元/次,一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則______噸.
4. 把一個周長為12cm的長方形圍成一個圓柱,當圓柱的體積最大時,該圓柱的底面周長與高的比為 .
5.要做一個圓錐形的漏斗,其母線長為20cm,要使其體積為
15、最大,則高為 .
6.某種圓柱形飲料罐的容積V一定,若使它的用料最省,則它的高與底半徑分別為 .
7.將長為l的鐵絲剪成兩段,各圍成長與寬之比為2:1及3:2的矩形,那么這兩個矩形面積和的最小值為 .
8. 斜邊為定長的直角三角形,繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐.問:這個圓錐的體積最大時的半徑.
9. 某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進一批商品,若該商品零售價定為p元,則銷售量Q(單位:件)與零售價p(單元:元)有如下關(guān)系:Q=8300-170p-p2.問該零售價定為多少時毛利潤L最大?并求最大毛利潤.(毛利潤=銷售收入-進貨支出).
B組
16、
10.將邊長為1m正三角形薄片,沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記,則S的最小值是___________________.
11.半徑為r的圓的面積S(r)=r2,周長C(r)=2r,若將r看作(0,+∞)上的變量,則(r2)`=2r ①,①式可以用語言敘述為:圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù).對于半徑為R的球,若將R看作(0,+∞)上的變量,請你寫出類似于①的式子: ②,②式可以用語言敘述為:________________________________.
12. 如圖,某單位用木料制作如圖所示的框架,框架的下部是邊長分別為(單位:米)的矩形,
17、上部是斜邊長為的等腰直角三角形,要求框架圍成的總面積為8平方米.
(1)求的關(guān)系式,并求的取值范圍; (2)問分別為多少時用料最省?
13. 2020年奧運會在中國召開,某商場預計2020年從1月起前x個月,顧客對某種奧運商品的需求總量p(x)件與月份x的近似關(guān)系是
該商品的進價q(x)元與月份x的近似關(guān)系是.
(1)寫出今年第x月的需求量f(x)件與月份x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該商品每件的售價為185元,若不計其他費用且每月都能滿足市場需求,則此商場今年銷售該商品的月利潤預計最大是多少元?
14.有甲、乙兩城,甲城位于一直線形河
18、岸,乙城離岸40千米,乙城到岸的垂足與甲城相距50千米,兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水,從水廠到甲城和乙城的水管費用分別為每千米500元和700元,問水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處,才能使水管費用最省?
15.已知一木材的橫截面是直徑為d的圓,要把它加工成為最堅固的橫截面是矩形的橫梁應(yīng)如何設(shè)計?(矩形橫梁抗彎強度與其斷面長的平方和寬的積成正比).
16. 用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架,要求長方體的長與寬之比為2:1,問該長方體的長、寬、高各為多少時,其體積最大?最大體積是多少?
C組
17.如圖,在等腰梯形ABCD中,底CD=40,腰AD=40,問AB為多少時,梯形ABCD的面
19、積最大?并求出最大面積.
18.如圖,有一塊半橢圓形鋼板,其長半軸長為,短半軸長為,計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀,下底是半橢圓的短軸,上底的端點在橢圓上,記,梯形面積為.
(I)求面積以為自變量的函數(shù)式,并寫出其定義域;
(II)求面積的最大值.
19.煙囪向周圍地區(qū)散落煙塵而造成環(huán)境污染.已知A,B兩座煙囪相距3km,其中A煙囪噴出的煙塵量是B煙囪的8倍,經(jīng)環(huán)境檢測表明:落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離的平方成反比,而與煙囪噴出的煙塵量成正比(比例系數(shù)為k, k>0).若C處在連接兩煙囪的線段AB上(不包括端點),若C處距A煙囪xkm,C處的煙塵濃
20、度為y.
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)是否存在這樣的C處,使該處的煙塵濃度最低?若存在,求出C處到A煙囪的距離;若不存在,請說明理由.
O1
20.請您設(shè)計一個帳篷.它下部的形狀是高為1m的正六棱 柱,上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示).試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時,帳篷的體積最大?
21.請你設(shè)計一個包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點,設(shè)AE=FB=
21、xcm
(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值?
(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值。
22.某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD 的頂點A,B 及CD的中點P 處,已知AB=20km,CB =10km,為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上(含邊界),且A,B 與等距離的一點O 處建造一個污水處理廠,并鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP ,
設(shè)排污管道的總長為km.
(1)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式:
①設(shè)∠BAO=(rad),將表示成的函數(shù)關(guān)系式;
②設(shè)OP (km) ,將表示成
22、的函數(shù)關(guān)系式.
(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系式,確定污水處理廠的位置,使三條排污管道總長度最短.
23.某園林公司計劃在一塊為圓心,(為常數(shù))為半徑的半圓形(如圖)地上種植花草樹木,其中弓形區(qū)域用于觀賞樣板地,區(qū)域用于種植花木出售,其余區(qū)域用于種植草皮出售.已知觀賞樣板地的成本是每平方米2元,花木的利潤是每平方米8元,草皮的利潤是每平方米3元.
花木地
(1) 設(shè),,分別用,表示弓形的面積;
觀賞樣板地
(2) 園林公司應(yīng)該怎樣規(guī)劃這塊土地,才能使總利潤最大?
(參考公式:扇形面積公式)
草皮地
草皮地
知識點
題號
注意點
導數(shù)在實際問題
23、中的應(yīng)用
1~22
建立函數(shù)模型是關(guān)鍵,應(yīng)該在具體問題中,理清各個量的關(guān)系,建立適當?shù)暮瘮?shù)模型.
四、學習心得
五、拓展視野
在一定條件下,“利潤最大”“用料最省”“面積最大”“效率最高”“強度最大”等問題,在生產(chǎn)、生活中經(jīng)常用到,在數(shù)學上這類問題往往歸結(jié)為求函數(shù)的最值問題.除了常見的求最值的方法外,還可用求導法求函數(shù)的最值.但無論采取何種方法都必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進行.
有一塊邊長為4的正方形鋼板,現(xiàn)對其進行切割, 焊接成一個長方形無蓋容器(切、焊損耗忽略不計),有人應(yīng)用數(shù)學知識作了如下設(shè)計,如圖1(1),在鋼板的四個角處各切一個小方形,剩余部分圍成一個長
24、方體,該長方體的高為小正方形邊長,如圖1(2).
(1)請你求出這種切割、焊接而成的長方體的最大容積;
(2)由于上述設(shè)計存在缺陷(材料有的浪費),請你重新設(shè)計切焊方法,使材料浪費最少,而且所得長方體容器的容積.
分析 (1)是利用題中給出的方案,利用導數(shù)求容器的最大值.(2)主要考查動手實踐能力.
解 (1)設(shè)切去的正方形邊長為x,則焊接成的長方體的底面邊長為4-2x,高為x,所以
=(4-2x)2x=4(x3-4x2+4x),(00;當時,<0;
所以當時,最得最大值.
(2)重新設(shè)計方案如下:
如圖2①,在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形;如圖2②,將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間;如圖2③,將圖2②焊成長方體容器.
新焊成的長方體容器底面是一長方形,長為3,寬為2,高為1,此長方體的容積為
=6,顯然. 故第二種方案符合要求.
評注 問題(1)主要考查了導數(shù)的應(yīng)用,而問題(2)情景新穎,很好地考查了創(chuàng)新意識.