江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.1任意角、弧度學(xué)案（無答案）蘇教版必修4

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1、1．1 任意角、弧度 一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 建議 任意角的概念 終邊相同的角的表示 理解 正角、負(fù)角的引入可類比正、負(fù)數(shù)；用集合和符號語言正確表示終邊相同的角；弄清1弧度的角的含義；了解角的集合與實數(shù)集R之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系.學(xué)會在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來討論任意角. 判斷角所在的象限 弧度的意義 弧度與角度的換算 特殊角的弧度數(shù) 弧度制下的弧長公式 二、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1． 預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)理解正角、負(fù)角、零角等概念；掌握象限角的概念及判定方法． (2)會寫出終邊相同的角的集合、某個區(qū)間上角的集合、終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合

2、以及象限角的集合． (3)準(zhǔn)確地掌握1弧度的角的定義以及弧度制引進(jìn)的意義；能根據(jù)弧長與半徑的關(guān)系，用弧度制確定角的大?。? (4)能熟練地進(jìn)行弧度制和角度制這兩種量角制之間的換算，并能熟記特殊角的弧度數(shù)． (5)掌握弧度制下弧長和扇形的面積公式，并能運用其解決簡單的實際問題． (6)理解用弧度制度量角，使角的集合與實數(shù)集R之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系． 2． 預(yù)習(xí)提綱 (1)查閱小學(xué)教材，復(fù)習(xí)角的概念，并與高中教材中角的概念進(jìn)行對比；查閱初中教材(九年級上冊)“弧長及扇形的面積”，復(fù)習(xí)角度制下的弧長公式、扇形面積公式，并嘗試與高中弧度制下公式的互化． (2)對任意角的概念可從實際生活中尋

3、找實例，請舉例并與同學(xué)交流辨析． (3)從具體實例中觀察終邊相同的角的關(guān)系并歸納小結(jié)，學(xué)會用集合和符號語言正確地表示出來． (4)理解1弧度的角的含義，體會弧度制引入的意義掌握“弧度數(shù)”與“角度數(shù)”換算的關(guān)鍵． (5)教材第6頁例2求解中蘊含著分類討論的思想，為什么要對k分奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行分類，思考其中的緣由． (6)上網(wǎng)查閱弧度制的歷史和有關(guān)歐拉的資料． (7)上網(wǎng)查閱了解軍事上用密位制度量角，了解密位制與角度值的關(guān)系． 3． 典型例題 例1 判斷下列說法是否正確． (1) 終邊相同的角一定相等； (2) 銳角都是第一象限角； (3) 第一象限的角都是銳角； (4) 小于

4、90°的角都是銳角． 分析：根據(jù)各類角的定義、范圍加以辨別． 解：(1) 不正確．如角與角的終邊相同，但不相等． (2) 正確．因為銳角是指大于小于的角，其終邊落在第一象限． (3) 不正確．如角的終邊在第一象限，但它不是銳角． (4) 不正確．如負(fù)角都是小于90°的角，但都不是銳角． 點評：本題考查了關(guān)于各類角的定義及范圍，要求學(xué)生概念清晰，并善于用舉反例的方法進(jìn)行概念辨析． 例2 試寫出終邊在直線上的所有角的集合，并指出上述集合中介于和之間的角． 分析：先找出終邊在直線上且在內(nèi)的角，再寫出與其終邊相同的角的集合，最后再考慮形式上的合并，然后給k賦值得出介于和之間的角 解：

5、終邊在直線上且在內(nèi)的角為和，所以終邊與其相同的角的集合為，即 ． ?。剑?和0，得和介于和之間． 點評：本題考查了終邊相同的角的集合表示，并要求在具體范圍內(nèi)找出與之終邊相同的角．本題終邊是一條直線，解題時需要先從射線入手，最后再進(jìn)行合并，有一定難度． 例3 如圖，用弧度制寫出頂點在原點，始邊重合于x軸正半軸，終邊落在陰影部分的角的集合(包括邊界)． 分析：先確定角的終邊OA、OB的角，再依照逆時針方向旋轉(zhuǎn)規(guī)則，用終邊相同的角的寫法表示出符合條件的范圍． 解：(1) 圖中以O(shè)B為終邊的角看成，以O(shè)A為終邊的角看成，再根據(jù)終邊相同的 角的表示方法，得到陰影部分的角

6、的集合為． (2) 圖中以O(shè)A為終邊的角看成，以O(shè)B為終邊的角看成，所以得到陰影部 分的角的集合為． (3) 把圖中陰影部分看成是由AB逆時針旋轉(zhuǎn)至x軸得到，所以陰影部分的角的集 合為． 點評：此類問題需要注意的是陰影部分的邊界所表示的角是互相聯(lián)系的．按逆時針方向選定前者為區(qū)域的起始邊界，后者為終止邊界，若起始邊所表示的角為，由起始邊旋轉(zhuǎn)至終止邊所旋轉(zhuǎn)的最小正角為，則終止邊所表示的角．本題還需要注意兩點，一是弧度制的正確使用；二是旋轉(zhuǎn)邊為直線的表示方法． 例4 一扇形AOB的面積是1cm2，它的周長是4cm，求扇形的半徑及圓心角

7、∠AOB． 分析：根據(jù)弧長及扇形面積計算公式列出方程組求解即可． 解：設(shè)扇形的半徑為r cm，圓心角∠AOB為rad， 則解之得 答：扇形的半徑為1cm，圓心角∠AOB的弧度數(shù)為2rad． 點評：本題考查了弧長及扇形面積計算公式及方程(組)的思想方法，需要注意的是公式中的圓心角應(yīng)采用弧度制，盡量避免初中所學(xué)的角度制下的計算公式． 4． 自我檢測 (1)在0°～360°之間， ①與終邊相同的角是_________； ②與-990°終邊相同的角是_____________． (2)若是第四象限角，則是第_________象限角． (3)寫出與

8、角15°終邊相同角的集合，并把該集合中適合不等式-1080°≤β＜ -360°的元素β求出來． (4)_________度；-72°=_____________rad． (5)在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C = 3∶5∶7，則∠A=________rad，∠B=_________rad． (6)半徑為2的圓中， ①大小為的圓周角所對的弧長是_________； ②長為2的弧所對應(yīng)的圓心角為_____________rad． 三、 課后鞏固練習(xí) A組 1．若將時鐘撥慢5分鐘，則分針轉(zhuǎn)了_________度，時針轉(zhuǎn)了_________度． 2．與120°角終邊相同的角的

9、集合是_______________________． 3．把下列各角寫成的形式，并指出它們所在的象限或終邊位置． (1) – 135° (2) —540° (3) 1110° (4) 765° 4．與-1778°角終邊相同且絕對值最小的角是_________________． 5．(1)將315°化為弧度是_________；(2)將化為角度是__________． 6．把-885°化成的形式是____________________________． 7．已知四邊形的四個內(nèi)角之比是1∶3∶5∶6，分別用角度和弧度

10、將這些內(nèi)角的大小表示出來． 8．第四象限角的集合可以表示為________________________． 9．若2弧度的圓心角所對的弧長為4cm，求這個圓心角所夾的扇形的面積． B組 10．是第________象限的角． 11．寫出角的終邊在下圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合（包括邊界）． （1） （2） （3） 12．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫出角的終邊． 13．若角的終邊經(jīng)過點P(-1，-)，試寫出角的集合A，并求出A中絕對值最小的角． 14．若，且與的角的終邊垂直，求． 15．若是

11、第三象限角，問是第幾象限角？ 2的終邊在哪里？ 16．在直徑為10cm的輪子上有一長為6cm的弦，P是該弦的中點，輪子以每秒5弧度的角速度旋轉(zhuǎn)，則經(jīng)過5秒鐘后點P轉(zhuǎn)過的弧長是多少？ 17．已知扇形周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角為多大時它有最大面積？ C組 18．終邊經(jīng)過點(a，a)(a≠0)的角的集合是______________________． 19.若α的終邊落在x＋y＝0上，求出在[－360°，360°]之間的所有角α.． 20．試寫出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合． 21．若角的終邊與216°角的終邊相同，求在0°～360°內(nèi)終邊與的終邊重合的角． 22．(1)設(shè)集合A =

12、 {}，B ={}， 試判斷集合A與集合B之間的關(guān)系 ． (2) 集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝，則M與N間的關(guān)系為 ． 23．已知A = {}，B = {}，則 A∩B＝ ． 24．(1)若角α與角β的終邊重合，則α與β的關(guān)系是____________； (2) 若角α與角β的終邊互為反向延長線，則α與β的關(guān)系是____________； (3) 若角α與角β的終邊在同一條直線上，則α與β的關(guān)系是___________． 25．一個扇形的面積為4 cm2，周長為8 cm，則扇形的圓心角及相應(yīng)的弦長分

13、別是__________． 26．若α是第三象限的角，則π－α是第 象限角． 知識點 題號 注意點 任意角的概念 注意角的正負(fù) 終邊相同的角的表示 注意的區(qū)別 區(qū)間角的表示 注意邊界能否取到 弧長與扇形面積 熟知弧度制下的弧長與扇形面積公式 綜合題 體會弧度制表示的角與實數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系；在數(shù)軸或在單位圓中看兩角的集合的關(guān)系. 四、 學(xué)習(xí)心得 五、 拓展視野 歐拉與弧度制 　　18世紀(jì)以前，人們一直是用線段的長來定義三角函數(shù)的．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhardo Eulero，1707年～1783年)

14、，在他于1748年出版的一部劃時代的著作《無窮小分析概論》中，提出三角函數(shù)是對應(yīng)的三角函數(shù)線與圓半徑的比值，并令圓的半徑為1，使得對三角函數(shù)的研究大為簡化．這是歐拉在數(shù)學(xué)史上的重要功績之一． 其次，歐拉在上述著作的第八章中提出了弧度制的思想．他認(rèn)為，如果把半徑作為1個單位長度，那么半圓的長就是，所對圓心角的正弦是0，即sinπ＝0．同理，圓的的長是，所對圓心角的正弦是1，可記作．這一思想將線段與弧的度量單位統(tǒng)一起來，大大簡化了某些三角公式及計算． 1873年6月5日，數(shù)學(xué)教師湯姆生(James Thom－son)在北愛爾蘭首府貝爾法斯特(Belfast)女王學(xué)院的數(shù)學(xué)考試題目中創(chuàng)造性地首先

15、使用了“弧度”一詞．當(dāng)時，他將“半徑”(radius)的前四個字母與“角”(angle)的前兩個字母合在一起，構(gòu)成radian，并被人們廣泛接受和引用．我國學(xué)者曾把radian譯成“弳”(由“弧”與“徑”兩字的一部分拼成)．建國以來，中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中都把radian譯作“弧度”． 1881年，學(xué)者哈爾斯特(G．B．Halsted)等用希臘字母表示弧度的單位，例如用表示弧度．1907年，學(xué)者包爾(G．N．Bauer)用r表示；1909年，學(xué)者霍爾(A．G．Hall)等又用R來表示．現(xiàn)在人們習(xí)慣把弧度的單位省略． 值得指出的是，1735年，歐拉右眼失明，《無窮小分析概論》這部著作出版于他這一不

16、幸之后．他的著作，在樣式、范圍和記號方面堪稱典范，因此被許多大學(xué)作為教科書采用．1766年，他回到圣彼得堡研究院后不久，又轉(zhuǎn)成雙目失明．他以驚人的毅力，在圣彼得堡又用口述由別人記錄的方式工作了近17年，直到1783年76歲時突然去世．他一生發(fā)表過530部(篇)著作和論文；還留下大量手稿，讓圣彼得堡科學(xué)院編輯出版的會報在歐拉去世后利用了47年．1909年，瑞士自然科學(xué)學(xué)會開始出版歐拉全集，其中將包含他的886部(篇)著作和論文，預(yù)計會超過100卷(大四開本)． 歐拉的一生，是為數(shù)學(xué)發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出的智慧，頑強(qiáng)的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學(xué)道德，永遠(yuǎn)是值得我們學(xué)習(xí)的．歐拉在數(shù)學(xué)

17、上的建樹很多，對著名的哥尼斯堡七橋問題的解答開創(chuàng)了圖論的研究．歐拉還發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，其頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間總有這個關(guān)系．被稱為歐拉示性數(shù)，成為拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)概念．在數(shù)論中，歐拉首先引進(jìn)了重要的歐拉函數(shù)，用多種方法證明了費馬小定理．以歐拉的名字命名的數(shù)學(xué)公式、定理等在數(shù)學(xué)書籍中隨處可見，其中歐拉公式的一個特殊公式，將數(shù)學(xué)上的5個常數(shù)聯(lián)在一起．與此同時，他還在物理、天文、建筑以至音樂、哲學(xué)等方面取得了輝煌的成就． 歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號，例如(1736年)，i(1777年)，e(1748年)，sin和cos(1748年)，tg(1753年)，(1755年)，，(1734年)等．