江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.2任意角的三角函數(shù)學(xué)案（無(wú)答案）蘇教版必修4

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1、1．2 任意角的三角函數(shù) 一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識(shí)、方法 要求 建議 任意角的三角函數(shù)值的定義 三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)、三角函數(shù)線 理解 在銳角三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上引出對(duì)任意角的三角函數(shù)值的定義，理解此定義關(guān)鍵把握有向線段及其數(shù)量的概念；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)中應(yīng)突出“同角”兩字，并深化對(duì)公式逆用、變用；理解誘導(dǎo)公式時(shí)應(yīng)抓住角的終邊的對(duì)稱性，借助于圖像看三角函數(shù)值的關(guān)系. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 奇變偶不變，符號(hào)看象限 二、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1． 預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定

2、義；掌握各三角函數(shù)在每一象限的符號(hào)； (2)能在單位圓中作出一個(gè)角的正弦線、余弦線、正切線； (3)掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并能靈活應(yīng)用于求值、化簡(jiǎn)三角函數(shù)式、證明三角恒等式． (4)能正確地運(yùn)用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和證明. 2． 預(yù)習(xí)提綱 (1)查閱初中教材(九年級(jí)下冊(cè))第7.1至7.4節(jié)，復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)——正弦、余弦、正切函數(shù)的定義及相關(guān)求值問(wèn)題； (2)理解任意三角函數(shù)值的定義，并與初中銳角三角函數(shù)的定義相比較，理解三角函數(shù)值與點(diǎn)P在終邊上的位置無(wú)關(guān)； (3)對(duì)三角函數(shù)線的理解，首先了解有向線段及其數(shù)量的概念，三角函數(shù)線是有向線段，在

3、用字母表示這些線段時(shí)，要注意他們的方向，分清起點(diǎn)和終點(diǎn)，書(shū)寫順序不能顛倒； (4)借助于三角函數(shù)值的定義推導(dǎo)同角三角函數(shù)關(guān)系，并體會(huì)公式的應(yīng)用：已知角的正弦、余弦、正切值中的一個(gè)，求出其余兩個(gè)；化簡(jiǎn)三角函數(shù)式；證明簡(jiǎn)單的三角恒等式； (5)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)突出了對(duì)稱思想，從圖形的角度來(lái)理解誘導(dǎo)公式，理解角α的任意性； (6)課本第16頁(yè)例1、例2題型是根據(jù)角的正弦、余弦、正切值中的一個(gè)求出其余兩個(gè)值(簡(jiǎn)稱“知一求二”)時(shí)，要注意這個(gè)角所在的象限.一般涉及開(kāi)方運(yùn)算時(shí)，要分類討論.課本第17頁(yè)例4由兩種解法體會(huì)證明恒等式常用方法：①?gòu)囊贿呴_(kāi)始，證明它等于另一邊；②證明左、右兩邊等于同一式子；③

4、分析法，尋找等式成立的充分條件.證明的指向一般“由繁到簡(jiǎn)”.例4中證法1使用的是作差法，它是上述方法的變形，其依據(jù)是①：. 3． 典型例題 例1 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，－4)(a < 0)，求角的正弦值、余弦值、正切值． 分析：利用三角函數(shù)的定義求解． 解：因?yàn)閤=3a，y= -4a，且a<0，所以， 所以；；． 點(diǎn)評(píng)：本題考查任意角三角函數(shù)定義，需要注意的是字母運(yùn)算中字母的符號(hào)．若去除a < 0的條件，那么本題又該如何解答？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉嚕? 例2 當(dāng)時(shí)，比較的大?。? 分析：在單位圓中根據(jù)三角函數(shù)線及弧長(zhǎng)公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較幾何線段的長(zhǎng)短． 解：如圖

5、，設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)P作PM⊥x 軸于點(diǎn)M，則有向線段MP＝sin．過(guò)點(diǎn)A(1，0)作單 位圓的切線，交角的終邊于點(diǎn)T，則有向線段 AT=tan．連結(jié)AP，由弧長(zhǎng)公式可得, 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有， 所以，即． 點(diǎn)評(píng)：本題巧用單位圓中的三角函數(shù)線及弧長(zhǎng)公式將抽象的問(wèn)題具體化，利用顯而易見(jiàn)的面積大小關(guān)系比較線段長(zhǎng)短，很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性． 例3 已知sin= -2cos，求的正弦值、余弦值及正切值． 分析：靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系求解． 解：由題可得cos≠0

6、，則<0，故為第二或第四象限角． 又，所以． 當(dāng)為第二象限角，則； 當(dāng)為第四象限角，則． 點(diǎn)評(píng)：根據(jù)條件要能靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系解題．如本題采用先求正切值，并利用其符號(hào)判斷象限的方法，回避了其他不必要的討論． 例4 已知，求下列各式的值． (1) ； (2) ． 分析：可以根據(jù)例4的方法，求解出sin、cos的值代入，也可以先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形，將所求式化成只含tan的式子再代入，此處采用后一種方法． 解：(1) ； (2) ． 點(diǎn)評(píng)：本題是關(guān)于、的齊次式的處理，將分子、分母同除以

7、，得到只含有的式子再代值計(jì)算是處理此類問(wèn)題的主要方法．值得一提的是對(duì)⑵式的變形，此處?kù)`活運(yùn)用了恒等式，從而將原式轉(zhuǎn)化為齊次式． 例5 已知； (2)． 分析：(1) 根據(jù)尋求與的整體關(guān)系；(2) 類比(1) 的方法求，進(jìn)而得，最后求出． 解：(1) 因?yàn)?，所以? 則； (2) 因?yàn)?，且，所以? 又，所以， 故，所以． 點(diǎn)評(píng)：本題圍繞恒等式考查了，及 之間的整體關(guān)系，其中對(duì)α角函數(shù)值符號(hào)的判斷也值得關(guān)注． 例6 設(shè)已知是方程的兩個(gè)根，求： (1) m的值； (2) 的值． 分析：(1) 利用

8、韋達(dá)定理及同角的平方關(guān)系得到關(guān)于m的方程求解；(2)先化簡(jiǎn)再代入． 解：(1)由已知，有 因?yàn)?，所? 得，經(jīng)檢驗(yàn)符合； (2) =． 點(diǎn)評(píng)：本題依然圍繞恒等式考查與的整體聯(lián)系，但以韋達(dá)定理為背景，因此還要注意對(duì)判別式的檢驗(yàn)；對(duì)于代數(shù)式求值問(wèn)題，一般都是采取先化簡(jiǎn)后求值的方法． 例7 求值 (1) ； (2) 分析：誘導(dǎo)公式的運(yùn)用． 解：(1) 原式= = = ==0； (2) 原式= =

9、 = ==4． 點(diǎn)評(píng)：本題屬于靈活使用誘導(dǎo)公式進(jìn)行計(jì)算，首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求0°～360°之間角的三角函數(shù)值，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求0°～90°之間角的三角函數(shù)值，體現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想． 例8 已知，且，求的值． 分析：結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角函數(shù)關(guān)系式加以解決． 解：由，有，所以， 即 ① 又因?yàn)?② 由①、②及同角三角函數(shù)關(guān)系可得： ， 所以 ． 點(diǎn)評(píng)：本題先考慮利用誘導(dǎo)公式對(duì)已知和所求進(jìn)行化簡(jiǎn)，再用同角三角函數(shù)關(guān)系來(lái)溝通已知與所求．對(duì)于此類三角函數(shù)求值問(wèn)題，也需要關(guān)注已知與所求之間的直接聯(lián)系，例如

10、“已知，求的值”． 例9 設(shè)，求值：． 分析：注意對(duì)角的整體處理． 解：原式= ==． 點(diǎn)評(píng)：化簡(jiǎn)時(shí)需要向已知條件看齊，運(yùn)用整體思想． 4． 自我檢測(cè) (1)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，－3)，則＝________________． (2)當(dāng)為第二象限角時(shí)，的值是__________________． (3)已知,,則的值是___________ ． (4)已知=_________________． (5)設(shè)，求的值． (6)求值： ① ； ② ； ③ ． (7)已知，則_____________． 三、 課后鞏固練習(xí) A

11、組 1．已知點(diǎn)P(3, y )在角的終邊上，且滿足y ＜ 0， = ，求． 2．若· < 0，則角是第________象限角． 3若tanx>0，且sinx＋cosx>0，則角x的終邊在第 象限 ？ 4．函數(shù)的值域是______________________． 5．已知角的終邊是OP，角的終邊是OQ，試在圖中 作出、的三角函數(shù)線，然后用不等號(hào)(＜，＞)填空： (1) ________； (2) ________； (3) ________． 6．已知，則的值等于______________ ． 7．化簡(jiǎn)的結(jié)果是_________________．

12、 8．已知：，求下列各式的值： (1) ； (2) ． 9．若，是方程2x2 – x – m = 0的兩個(gè)根，求m的值． 10．化簡(jiǎn)：(1) ； (2)； (3)． 11．化簡(jiǎn)：． 12．設(shè)α是第二象限角，且則是第______象限角． 13． 求的值； 14．化簡(jiǎn)：(1) (是第三象限角)； (2) 15．若，求值： ． 16．已知的值． 17．已知為第三象限角，求的值． B組 18．已知角α的終邊在直線y＝－x上，則2sinα＋cosα的值是__________． 19．角的終邊在直線上，且，若P (m，n)是角終邊上一點(diǎn)，且|PO|

13、=(O為原點(diǎn))，則_______________． 20．若角為第二或第四象限角，則的值等于______ 21．已知|| = －，|| = －，且，試判斷P(，)在第 象限． 22．利用單位圓寫出符合下列條件的角x： (1) 若 ＜－，則x∈ _____________； (2) 若＞，則x ∈ _____________. 23．∈(0，)且，是方程的兩根，求， ，的值． 24．若，化簡(jiǎn)：． 25．設(shè)f() = ，求的值． 26．已知的值． 27．若f() = ，則 f ()的值為_(kāi)____________． 28．設(shè)． C

14、組 29．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(sin，cos)，且0≤α<2π，求角α． 30．角α的終邊上有一點(diǎn)(a，－a)(a>0)，則使f(a)＝－的一個(gè)函數(shù)是_____________． 31．若f(n)＝sin，則f(1)·f(3)·f(5)·f(7)·f(9)·f(11)＝________． 32．已知tanα＋＝，則tan2α＋＋＝__________． 33．(1)若，則 _________． (2)已知，那么= ． 34．已知，求值：． 35．(1) 若f () = ，求f ()； (2) 若f() = ，求f ()． 3

15、6．化簡(jiǎn)：(1) (2)． 37．設(shè) 求的值 38．在三角形ABC中，若 　求△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的大小． 39. 已知， 求． 40. 若等式成立，求x的集合． 知識(shí)點(diǎn) 題號(hào) 注意點(diǎn) 任意角三角函數(shù)值的定義 注意分類討論的思想方法 三角函數(shù)值的符號(hào) 注意分類討論的思想方法 誘導(dǎo)公式 熟練運(yùn)用公式，體會(huì)化歸思想 三角函數(shù)線的應(yīng)用 注意三角函數(shù)線由方向確定數(shù)量的正負(fù) 同角三角函數(shù)關(guān)系 注意平方關(guān)系的靈活運(yùn)用 綜合題 靈活運(yùn)用同角關(guān)系和誘導(dǎo)公式 四、 學(xué)習(xí)心得 五、

16、拓展視野 三角學(xué)在我國(guó)的發(fā)展 我國(guó)對(duì)三角知識(shí)的研究淵源較早．西漢末東漢初(約一世紀(jì))，我國(guó)古老的數(shù)學(xué)書(shū)籍《周髀算經(jīng)》一書(shū)里，記載著公元前7，8世紀(jì)人們?nèi)绾斡?jì)算地面一點(diǎn)到太陽(yáng)距離的方法．當(dāng)時(shí)人在周城(周成李所建的都城洛邑，就是現(xiàn)在河南洛陽(yáng))，立8尺高的竿，如圖所示．某一天正午測(cè)得竿影長(zhǎng)是6尺，又在北方相距2000里的地方立同樣高的竿子，測(cè)得它的影長(zhǎng)為6尺2寸．他就用相似三角形的原理求得周城到日下地的距離是(里)，太陽(yáng)距離地面的高是(里)．然后根據(jù)勾股定理，求出測(cè)者到太陽(yáng)的距離是100000里． 據(jù)記載，周代的天文官員，利用“重差術(shù)”測(cè)得太陽(yáng)高遠(yuǎn)．三國(guó)時(shí)著名數(shù)學(xué)家劉徽，在古人“重差術(shù)

17、”的基礎(chǔ)上，編撰了《海島算經(jīng)》一書(shū)． 春秋時(shí)代的《考工說(shuō)》一書(shū)，對(duì)“角”已有初步認(rèn)識(shí)．用“倨句”表示角度的多少，其中直角叫做“矩”． 唐朝開(kāi)元六年(718年)，在司天監(jiān)任職的印度人瞿傳悉達(dá)編譯《開(kāi)元占經(jīng)》一百二十卷，講印度數(shù)學(xué)家阿利耶毗陀編制的三角函數(shù)表載于卷一零四《九執(zhí)歷》中，這是傳入我國(guó)的最早的三角函數(shù)表． 明朝初年，西洋三角學(xué)傳入我國(guó)．在《崇禎歷書(shū)》中載有《大測(cè)》、《測(cè)量全義》等有關(guān)三角學(xué)書(shū)籍，1631年，瑞士人鄧玉函(1576—1630)、德國(guó)人湯若望(1591－1666)與我國(guó)數(shù)學(xué)家徐光啟共同編譯《大測(cè)》二卷，鄧玉函在序言中說(shuō)： “大測(cè)者，測(cè)三角形之法也．”我國(guó)“三角學(xué)”一詞，

18、即由此而來(lái)．該書(shū)講了三角函數(shù)的造表方法和正、余弦的關(guān)系，倍、半角的公式，以及正弦定理、余弦定理與正切定理． 1631年，意大利人羅雅谷(1593－1638)撰寫了另一部有關(guān)三角學(xué)的著作《測(cè)量全義》十卷．卷七稱：“每弧、每角有8種線，曰正弦，曰余弦，曰正切線，曰正割線，曰正矢，曰余切，曰余割，曰余矢．”這是我國(guó)三角八線名稱的由來(lái)． 《測(cè)量全義》中所介紹的三角學(xué)內(nèi)容比《大測(cè)》豐富全面，除正、余弦定理和正切定理外，還有同角的三角函數(shù)公式與積化和差公式等． 此外，《崇禎歷書(shū)》中還記載有《割圓八線》六卷，是一個(gè)每隔1’的五位三角函數(shù)表．其中包括正弦、正切、正割、余弦、余切、余割，另外的三角函數(shù)中的正矢、余矢可有余弦、正弦推出． 1653年，我國(guó)明末清初數(shù)學(xué)家薛鳳柞著《三角算法》一書(shū)，是我國(guó)數(shù)學(xué)家自己撰寫的第一部三角學(xué)著作．書(shū)中所介紹的三角學(xué)知識(shí)，要比《大測(cè)》、《測(cè)量全義》的內(nèi)容更詳細(xì)、完備．其中平面三角學(xué)的許多定理(除余弦定理外)都首次用對(duì)數(shù)來(lái)計(jì)算． 清初著名數(shù)學(xué)家梅文鼎(1633－1721)研究三角多年，對(duì)所傳入的三角學(xué)知識(shí)進(jìn)行了通俗易懂的解釋，著有《平三角舉要》五卷．其內(nèi)容由淺入深，循序漸進(jìn)，條理清晰，是當(dāng)時(shí)及以后青年人學(xué)習(xí)三角學(xué)的主要教科書(shū)．