安徽省合肥市第一六八中學2020學年高二數學上學期期中試卷 理（宏志班）

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1、合肥一六八中學2020學年第一學期期中考試 高二數學試題（宏志班） 一、選擇題（共60題，每題5分。每題僅有一個正確選項。） 1．已知a、b是兩條平行直線，且a∥平面β，則b與β的位置關系是（　?。? A．平行 B．相交 C．b在平面β內 D．平行或b在平面β內 2．在下列命題中，不是公理的是（　?。? A．平行于同一條直線的兩條直線互相平行 B．如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內 C．空間中，如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩角相等或互補 D．如果兩個不重合的平面有一個公共

2、點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 3．如果ac＞0，bc＞0，那么直線ax+by+c=0不通過（　?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．直線（a2+1）x﹣y+1=0（其中a∈R）的傾斜角的取值范圍是（　　） A．[0，] B．[，） C．（，] D．[，π） 5．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（　　） A．12π B．24π C． D．72π 6．半徑為5的球內有一個高為8的內接正四棱錐，則這個球與該內接正四棱錐的體積之比為（　?。? A． B． C． D

3、． 7．三棱柱ABC﹣A'B'C′的所有棱長都等于2，并且AA'⊥平面ABC，M是側棱BB′的中點，則直線MC′與A′B所成的角的余弦值是（　?。? A． B． C． D． 8．直線l過點P（1，0），且與以A（2，1），為端點的線段總有公共點，則直線l斜率的取值范圍是（　　） A． B． C． D．[1，+∞） 9．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，F(xiàn)是四邊形BCC1B1內的動點，且A1F∥平面D1AE，下列說法正確的個數是（　　） ①點F的軌跡是一條線段 ②A1F與D1E不可能平行 ③A1F與BE是異面直線 ④當F與C1

4、不重合時，平面A1FC1不可能與平面AED1平行 A．1 B．2 C．3 D．4 10．在平面直角坐標系中，記d為點P（cosθ，sinθ）到直線x﹣my﹣2=0的距離．當θ、m變化時，d的最大值為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 11．生于瑞士的數學巨星歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心距離之半．”這就是著名的歐拉線定理．設△ABC中，設O、H、G分別是外心、垂心和重心，下列四個選項錯誤的是（　　） A．HG=2OG B．++= C．設BC邊中點為D，則有AH=3OD

5、 D．S△ABG=S△BCG=S△ACG 12．如圖1，直線EF將矩形紙ABCD分為兩個直角梯形ABFE和CDEF，將梯形CDEF沿邊EF翻折，如圖2，在翻折的過程中（平面ABFE和平面CDEF不重合）下面說法正確的是（　　） A．存在某一位置，使得CD∥平面ABFE B．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE C．在翻折的過程中，BF∥平面ADE恒成立 D．在翻折的過程中，BF⊥平面CDEF恒成立 二、填空題（共20分，每題5分） 13、已知直線與平行，則實數的取值是________ 14．球的半徑為5cm，被兩個相互平行的平面所截得圓的直徑分別為6cm和8cm，則這兩

6、個平面之間的距離是　 　cm． 15. 我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是________寸．(注：① 平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；② 一尺等于十寸) 16．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱AB上一點，且AE=1，BE=3，以E為球心，線段EC的長為半徑的球與棱A1D1，DD1分別交于F，G兩點，則△AFG的面積為________ 三、解答題（共70分，每題必需要有必要的解答過程） 17.（10分） 設直線l的

7、方程為(＋1)x＋y＋2－＝0 (∈R)． (1)若l在兩坐標軸上截距相等，求直線l的方程； (2)若l不經過第二象限，求實數的取值范圍． 18.（12分）在平面直角坐標系中，的邊所在的直線方程是， （1）如果一束光線從原點射出，經直線反射后，經過點，求反射后光線所在直線的方程； （2）如果在中，為直角，求面積的最小值． 19.（12分）如圖是一個以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求： (Ⅰ)該幾何體的體積； (Ⅱ)截面

8、ABC的面積． 20（12分）.如圖，已知正三棱錐P﹣ABC的側面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內的正投影為點D，D在平面PAB內的正投影為點E，連接PE并延長交AB于點G． （Ⅰ）證明：G是AB的中點； （Ⅱ）在圖中作出點E在平面PAC內的正投影F，并求四面體PDEF的體積． 21.（12分）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）證明：平面ACD⊥平面ABC； （2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

9、 22.（12分）如圖，在三棱錐中，是正三角形，為其中心.面面，，，是的中點，. （1）證明：面； （2）求與面所成角的正弦值. 合肥一六八中學2020學年第一學期期中考試 高二數學試題（宏志班）參考答案 一． 選擇題 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B C B A B C C C C 二、 填空題 13. －1 14. 1或7 15. 3 16.

10、 4 三、 解答題 17.（1）3x＋y＝0或x＋y＋2＝0；（2）a≤－1. 18（1）設點關于直線的對稱點為，由題意應有，解得，所以點．因為反射后光線經過點和點，所以反射后光線所在直線的方程為． （2）設為的一條高，則，設，可得 ，所以的面積 ，當且僅當時，等號成立． 所以，面積的最小值是． 19.（Ⅰ）過C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分別于點A2，B2. 由直三棱柱性質及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2， 則該幾何體的體積V＝ ＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6， （Ⅱ）在△ABC中，AB＝＝， BC＝＝，

11、AC＝＝2. 則S△ABC＝×2×＝ 20.（Ⅰ）證明：∵P﹣ABC為正三棱錐，且D為頂點P在平面ABC內的正投影， ∴PD⊥平面ABC，則PD⊥AB， 又E為D在平面PAB內的正投影， ∴DE⊥面PAB，則DE⊥AB， ∵PD∩DE=D， ∴AB⊥平面PDE，連接PE并延長交AB于點G， 則AB⊥PG， 又PA=PB， ∴G是AB的中點； （Ⅱ）在平面PAB內，過點E作PB的平行線交PA于點F，F(xiàn)即為E在平面PAC內的正投影． ∵正三棱錐P﹣ABC的側面是直角三角形， ∴PB⊥PA，PB⊥PC， 又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，

12、即點F為E在平面PAC內的正投影． 連結CG，因為P在平面ABC內的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心． 由（Ⅰ）知，G是AB的中點，所以D在CG上，故CD=CG． 由題設可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC． 由已知，正三棱錐的側面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2． 在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2． 所以四面體PDEF的體積V=×DE×S△PEF=×2××2×2=． 21.（1）證明：如圖所示，取AC的中點O，連接BO，OD． ∵△ABC是等邊三角形，∴OB⊥AC． △ABD與△CBD

13、中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD， ∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD． ∵△ACD是直角三角形， ∴AC是斜邊，∴∠ADC=90°． ∴DO=AC． ∴DO2+BO2=AB2=BD2． ∴∠BOD=90°． ∴OB⊥OD． 又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD． 又OB?平面ABC， ∴平面ACD⊥平面ABC． （2）解：設點D，B到平面ACE的距離分別為hD，hE．則=． ∵平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分， ∴===1． ∴點E是BD的中點． 建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨取AB=2． 則O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣

14、1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E． =（﹣1，0，1），=，=（﹣2，0，0）． 設平面ADE的法向量為=（x，y，z），則，即，取=． 同理可得：平面ACE的法向量為=（0，1，）． ∴cos===﹣． ∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值為． 22.（1）連結，因為是正三角形的中心，所以在上且，又，所以在中有， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）解法一：作交的延長線于，作交的延長線于， 由面面知面，所以，又，所以 所以面,所以面面，作，則面 連結，則為與面所成角， ∴，即所求角的正弦值為. 解法二：以中點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系. ∵， ∴，，，， ∴，，，. 設面的法向量為，則 取， ∴，即所求角的正弦值為.