微專題：構造函數法解選填壓軸題

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微專題：構造函數法解選填壓軸題 高考中要取得高分，關鍵在于選準選好的解題方法，才能省時省力又有效果。近幾年各地高考數學試卷中，許多方面尤其涉及函數題目，采用構造函數法解答是一個不錯的選擇。所謂構造函數法是指通過一定方式，設計并構造一個與有待解答問題相關函數，并對其進行觀察分析，借助函數本身性質如單調性或利用運算結果，解決原問題方法，簡而言之就是構造函數解答問題。怎樣合理的構造函數就是問題的關鍵，這里我們來一起探討一下這方面問題。 幾種導數的常見構造： 1．對于，構造 若遇到，則可構 2．對于，構造 3．對于，構造 4．對于 [或]，構造 5．對于，構造 6．對于，構造 一、構造函數法比較大小 例1．已知函數的圖象關于y軸對稱,且當成立，，，,則的大小關系是 ( ) 【解析】因為函數關于軸對稱,所以函數為奇函數.因為, 所以當時,,函數單調遞減, 當時,函數單調遞減. 因為,,,所以,所以,選D. 變式: 已知定義域為的奇函數的導函數為，當時，， 若，則下列關于的大小關系正確的是（ D ） 例2．已知為上的可導函數，且，均有，則有 A．， B．， C．， D．， 【解析】構造函數則， 因為均有并且，所以，故函數在R上單調遞減， 所以，即 也就是，故選D． 變式: 已知函數為定義在上的可導函數，且對于任意恒成立，為自然對數的底數，則（ C ） 例3．在數列中，．則數列中的最大項為( )． A．　　　 B． C． 　 D．不存在 【解析】由已知，，， 易得. 猜想當時，是遞減數列 又由知，令， 則 當時，，則，即 在內為單調遞減函數， 時，是遞減數列，即是遞減數列 又，數列中的最大項為 故選B． 練習1．已知函數對任意的滿足,則（ ）A． B. C. D. 提示：構造函數，選D． 二、構造函數法解恒成立問題 例1．若函數y=在R上可導且滿足不等式恒成立，對任意正數、，若，則必有（ ） A．　　　 B． C． 　 D． 【解析】由已知 ∴構造函數 ， 則， 從而在R上為增函數。 ∴ 即，故選C。 例2．已知是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足≤0，對任意正數、，若，則必有（ ） A．　　　 B． C． 　 D． 【解析】，，故在（0，+∞）上是減函數， 由，有，即 。故選A。 變式1.設是上的可導函數，分別為的導函數，且滿足，則當時，有（ C ） 變式2. 設函數 時，有（ C ） A． B． C． D． 例3．設函數在R上的導函數為，且，下面不等式恒成立的是（ ） A．　　　 B． C． 　 D． 【解析】由已知，首先令得，排除B，D． 令，則， ①　當時，有， 所以函數單調遞增，所以當時， ，從而． ②　當時，有， 所以函數單調遞減，所以當時， ，從而． 綜上．故選A． 例4． 如果，那么下面的不等式恒成立的是（ ） A． 　　　 B． C． 　 D． 【解析】構造函數，易證在R上是奇函數且單調遞增 + ==lg1 = 0 即： 又是增函數 即。故選B． 練習1. 已知，則實數的關系是（ D ） A. B. C. D. 【解析】構造函數，是增函數，又，，故選D． 練習2. 已知函數是R上的可導函數，當時，有,則函數的零點個數是( B ) A.0 B.1 C. 2 D.3 【解析】由，得，構造函數， 則 ，∵當時，有,∴當時， 即當時，，此時函數單調遞增，此時， 當時，，此時函數單調遞減，此時， 作出函數和函數的圖象，（直線只代表單調性和取值范圍），由圖象可知函數的零點個數為1個．故選B． 三、構造函數法解不等式 例1.函數f(x)的定義域為R，f(－1)＝2，對任意x∈R，，則f(x)＞2x＋4的解集為(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 【解析】構造函數G(x)＝f(x)－2x－4，所以，由于對任意x∈R，， 所以>0恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函數， 又由于G(－1)＝f(－1)－2(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－4>0， 即f(x)>2x＋4的解集為(－1，＋∞)，故選B. 變式1. 已知函數滿足，且，則的解集為（ ） A. B. C. D. 【解析】構造新函數, 則， ，對任意，有，即函數在R上單調遞減， 所以的解集為，即的解集為，選D. 變式2.定義在上的函數，其導函數滿足，且，則關于的不等式的解集為 變式3.已知函數為定義在上的可導函數，且對于任意恒成立，且，則的解集為 變式4.函數的定義域是，，對任意，，則不等式的解集為（ A ） A. B. C. D. 例2 設是定義在R上的奇函數，且，當時，有恒成立，則不等式的解集是 解：因為當x＞0時，有恒成立，即[]′＜0恒成立， 所以在內單調遞減． 因為，所以在（0，2）內恒有；在內恒有． 又因為是定義在R上的奇函數， 所以在內恒有；在內恒有． 又不等式的解集，即不等式的解集．所以答案為∪（0，2）． 變式1. 已知定義在上的可導函數，其導函數為，且有，則不等式 的解集為（ C ） A B. C. D. 變式2.函數的定義域為R，，對任意x∈R，都有成立，則不等式的解集為（ C ） A. B. C. D. 變式3. 設是定義在上的函數，其導函數為，若，,則不等式的解集為（ D ） A. B. C. D. 變式4.函數是定義在上的偶函數,,且時,,則不等式的解集是__________（提示：構造的為奇函數，） 例4設是上的可導函數，，，則不等式的解集為 變式1．設分別是定義在上的奇函數、偶函數，當時，，，則不等式的解集為 . 變式2．已知上的函數滿足，且，若，則關于的不等式的解集為 . 變式3. 設奇函數定義在上，其導函數為，且，當時，，則關于的不等式的解集為_. （提示：構造的為偶函數） 四、構造函數法求值 例1．設是上的可導函數，且，，.則的值為 . 提示：由得，所以，即， 設函數，則此時有， 故， 變式．已知的導函數為，當時，，且，若存在，使，則的值為 1 .（提示：構造） 例2．已知定義在上的函數滿足，且， ，若有窮數列的前項和等于，則等于 5 . 解：∵ ，∴， 即函數單調遞減，∴0＜a＜1．又， 即 ∴解得或a=2（舍去）． ∴，即， 數列是首項為，公比的等比數列， ∴，由，解得n=5。 變式1． 已知,都是定義在R上的函數，，，且 （，且）。，若數列的前項和大于62，則的最小值為（ A ） A 8 B 7 C 6 D 5 變式2．已知、都是定義在R上的函數，，，．在區(qū)間上隨機取一個數， 的值介于4到8之間的概率是（　?。? 　 A． B． C． D． 解：由題意，，∴[ ]＜0， ∴函數在R上是減函數，∵，∴0＜a＜1 ∵． ∴∴ ∵的值介于4到8，∴ ∴在區(qū)間上隨機取一個數x，的值介于4到8之間的概率是，故選A． 【模型總結】 關系式為“加”型 （1） 構造 （2） 構造 （3） 構造 （注意對的符號進行討論） 關系式為“減”型 （1） 構造 （2） 構造 （3） 構造 （注意對的符號進行討論） 構造函數法是在求解某些數學問題時，根據問題的條件或目標，構想組合一種新的函數關系，使問題在新函數下轉化并利用函數的有關性質解決原問題是一種行之有效的解題手段。構造函數法解題是一種創(chuàng)造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性。在運用過程中，應有目的、有意識地進行構造，始終“盯住”要解決的目標。 9