2020版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第九節(jié) 函數(shù)模型及其應用學案 文（含解析）新人教A版

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1、第九節(jié)　函數(shù)模型及其應用 2019考綱考題考情 1．三種函數(shù)模型性質比較 2.幾種常見的函數(shù)模型 函數(shù)模型 函數(shù)解析式 一次函數(shù)模型 f (x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0) 二次函數(shù)模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0) 與指數(shù)函數(shù)相關模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0) 與對數(shù)函數(shù)相關模型 f (x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0) 與冪函數(shù)相關模型 f (x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0) 　 “直線上升”是勻速增長，其增長量固

2、定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長速度緩慢。 一、走進教材 　　　　　　　　　　　 1．(必修1P107A組T1改編)在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 則對x，y最適合的擬合函數(shù)是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析　根據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計算，可以排除A；根據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計算，可以排除B，

3、C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意。故選D。 答案　D 二、走近高考 2．(2018·浙江高考)我國古代數(shù)學著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何。”設雞翁、雞母、雞雛個數(shù)分別為x，y，z，則當z＝81時，x＝________，y＝________。 解析　因為z＝81，所以解得 答案　8　11 3．(2017·北京高考)根據(jù)有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數(shù)N約為1080。下列各數(shù)中與最接近的是(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48)(　　)

4、 A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 解析　因為＝>0，所以lg＝lg＝lg3361－lg1080＝361lg3－80≈93.28。所以≈1093。故選D。 答案　D 三、走出誤區(qū) 微提醒：①對三種函數(shù)增長速度的理解不深致錯；②建立函數(shù)模型出錯；③計算出錯。 4．已知f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，對三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列選項中正確的是(　　) A．f (x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f (x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f (x) D．f (x)>h(x)>g(x) 解析　由

5、圖象知，當x∈(4，＋∞)時，增長速度由大到小依次為g(x)>f (x)>h(x)。故選B。 答案　B 5．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)。1萬件售價是20萬元，為獲取最大利潤，該企業(yè)一個月應生產(chǎn)該商品數(shù)量為(　　) A．36萬件 B．18萬件 C．22萬件 D．9萬件 解析　利潤L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，當x＝18萬件時，L(x)有最大值。故選B。 答案　B 6．一個容器裝有細砂a cm3，細砂從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細砂量為y

6、＝ae－bt cm3，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的細砂，則再經(jīng)過________min，容器中的細砂只有開始時的八分之一。 解析　當t＝0時，y＝a，當t＝8時，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝，容器中的細砂只有開始時的八分之一時，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，則t＝24，所以再經(jīng)過16 min容器中的細砂只有開始時的八分之一。 答案　16 考點一用函數(shù)圖象的變化刻畫變化過程　　　 【例1】　(2017·全國卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)

7、據(jù)，繪制了下面的折線圖。 根據(jù)該折線圖，下列結論錯誤的是(　　) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) 解析　通過題圖可知A不正確，并不是逐月增加，但是每一年是遞增的，所以B正確。從圖觀察C是正確的，D也正確，1月至6月比較平穩(wěn)，7月至12月波動比較大。故選A。 答案　A 當根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案。 【變

8、式訓練】　汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1 L汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況。下列敘述中正確的是(　　) A．消耗1 L汽油，乙車最多可行駛5 km B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多 C．甲車以80 km/h的速度行駛1 h，消耗10 L汽油 D．某城市機動車最高限速80 km/h，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油 解析　對于A選項：由題圖可知，當乙車速度大于40 km/h時，乙車每消耗1 L汽油，行駛里程都超過5 km，則A錯誤。對于B選項：由題意可知，以相同速度行駛相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三輛車

9、中甲車耗油最少，則B錯誤。對于C選項：甲車以80 km/h的速度行駛時，燃油效率為10 km/L，則行駛1 h，消耗了汽油80×1÷10＝8(L)，則C錯誤。對于選項D：速度在80 km/h 以下時，丙車比乙車燃油效率更高，所以更省油，故D對。 答案　D 考點二已知函數(shù)模型的實際問題 【例2】　某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2，其中3

10、銷售該商品所獲得的利潤最大。 解　(1)因為x＝5時，y＝11， 所以＋10＝11，a＝2。 (2)由(1)可知，該商品每日的銷售量 y＝＋10(x－6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤 f (x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3

11、＝4時，函數(shù)f (x)取得最大值，且最大值等于42。 即當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。 求解已給函數(shù)模型解決實際問題的關注點 1．認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)。 2．根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)。 3．利用該模型求解實際問題。 【變式訓練】　某食品的保鮮時間y(單位：h)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))。若該食品在0 ℃的保鮮時間是192 h，在22 ℃的保鮮時間是48 h，則該食品在33 ℃的保鮮時間是______h。 解析　依題意有192＝eb

12、,48＝e22k＋b＝e22k·eb，所以e22k＝＝＝，所以e11k＝或－(舍去)，于是該食品在33 ℃的保鮮時間是e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3×192＝24(h)。 答案　24 考點三構建函數(shù)模型的實際問題微點小專題 方向1：構建二次函數(shù)模型 【例3】　某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是(　　) A．10.5萬元 B．11萬元 C．43萬元 D．43.025萬元

13、 解析　設公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛，所以可得利潤y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－)2＋0.1×＋32。因為x∈[0,16]，且x∈N，所以當x＝10或11時，總利潤取得最大值43萬元。故選C。 答案　C 方向2：構建分段函數(shù)模型 【例4】　“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點。研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù)。當x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當4

14、x的一次函數(shù)，當x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年。 (1)當0

15、＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f (x)max＝f (10)＝12.5。 所以當0

16、54萬億元增加到82.7萬億元，年均增長7.1%，占世界經(jīng)濟比重從11.4%提高到15%左右，對世界經(jīng)濟增長貢獻率超過30%,2018年發(fā)展的預期目標是國內(nèi)生產(chǎn)總值增長6.5%左右。如果從2018年開始，以后每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按6.5%的增長率增長，那么2020年的國內(nèi)生產(chǎn)總值約為(提示：1.0653≈1.208)(　　) A．93.8萬億元 B．99.9萬億元 C．97萬億元 D．106.39萬億元 解析　(1)設每年人口平均增長率為x，則(1＋x)40＝2，兩邊取以10為底的對數(shù)，則40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%。故選C。 (2)由題意可知，2020年我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為：82.7×(1＋6.5%)3≈99.9(萬億元)。故選B。 答案　(1)C　(2)B 解函數(shù)模型的實際應用題，首先應考慮該題考查的是何種函數(shù)，然后根據(jù)題意列出函數(shù)關系式(注意定義域)，并進行相關求解，最后結合實際意義作答。以上過程可簡潔表述為： ―→―→―→ 7