2022年高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1《雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)》word導(dǎo)學(xué)案

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1、2022年高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1《雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)》word導(dǎo)學(xué)案 1.了解雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),并能利用這些簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程. 2.進(jìn)一步掌握待定系數(shù)法的解題方法. 3.進(jìn)一步理解并掌握代數(shù)知識(shí)在解析幾何運(yùn)算中的作用,提高解方程組和計(jì)算的能力,能利用雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),解決與雙曲線有關(guān)的實(shí)際問題,提高分析問題與解決問題的能力. 如圖,某工廠有一雙曲線型自然通風(fēng)塔,其外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面,已知該塔最小半徑為12米,下口半徑為25米,下口半徑到最小圓面距離為45米,整個(gè)通風(fēng)塔高為55米,問在建造過程中,上口半徑應(yīng)該建多

2、少米? 問題1:通過閱讀教材,完成下表 標(biāo)準(zhǔn)方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 圖形 范圍 　　　　　　　? 　　　　　　　? 焦點(diǎn) 　　　　　　　? 　　　　　　　? 頂點(diǎn) 　　　　　　　? 　　　　　　　? 焦距 |F1F2|=2c(a2+b2=c2) 軸長 實(shí)軸長|A1A2|=2a,虛軸長|B1B2|=2b 對(duì)稱性 　　　　　　　　　　　　　? 漸近線 　　　　? 　　　　? 離心率 　　　　? 　　問題2:試比較橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)的異同 ①橢圓與雙曲線的離心率都為　　　　　.橢圓的離心率e∈

3、　　　　　,雙曲線的離心率e∈　　　　;? ②橢圓中長軸長大于短軸長,即　　　　　;雙曲線中,虛軸長2b和實(shí)軸長2a大小關(guān)系　　　　　;? ③焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸,中心為原點(diǎn)時(shí),橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)形式一致,即　　　　　或　　　　　.在橢圓中,c2=a2-b2,在雙曲線中,c2=a2+b2;? ④雙曲線　　　　漸近線,橢圓　　　　漸近線.? 問題3:雙曲線的離心率對(duì)雙曲線形狀的影響 ①用a,b表示雙曲線的離心率為e=　　　　　　　　　　　　　　　　　.? ②雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個(gè)重要數(shù)據(jù).由于=　　　　　　,當(dāng)e的值逐漸　　　　時(shí),的值就逐漸增大,這時(shí)雙曲線的形狀就

4、從“扁狹”逐漸變得“開闊”,也就說雙曲線的“張口”逐漸增大.? 問題4:實(shí)軸和虛軸長相等的雙曲線叫作　　　　雙曲線,它的漸近線方程為y=　　　　,離心率e=　　　　.? 1.雙曲線2x2-y2=8的實(shí)軸長是(　　). A.2　　　　 B.2　　　 C.4　　　　 D.4 2.雙曲線的漸近線為y=±x,則雙曲線的離心率是(　　). A. B.2 C.或 D.或 3.雙曲線-=1的離心率為　　　　.? 4.雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,焦距為2c,左頂點(diǎn)為A,虛軸的上端點(diǎn)為B(0,b),若·=3ac,求該雙曲線的離心率. 雙曲線的簡(jiǎn)單性

5、質(zhì) 求雙曲線9y2-4x2=-36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程. 根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求雙曲線方程 根據(jù)下列條件,求雙曲線方程: (1)與雙曲線-=1有共同的漸近線,且過點(diǎn)(-3,2); (2)與雙曲線-=1有公共焦點(diǎn),且過點(diǎn)(3,2). 利用直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)的值 已知雙曲線方程x2-=1,過點(diǎn)P(1,1)的斜率為k的直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),求k的值. 求雙曲線9y2-4x2=36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程.

6、 根據(jù)下列條件,分別求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)焦距為10,漸近線方程為y=±x; (2)過點(diǎn)P(3,-),離心率為. 當(dāng)k取什么值時(shí),直線y=kx-1與雙曲線4x2-9y2=36僅有一個(gè)公共點(diǎn). 1.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的實(shí)軸長為2,焦距為4,則該雙曲線的漸近線方程是(　　). A.y=±3x　 B.y=±x　 C.y=±x　 D.y=±2x 2.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的實(shí)軸長、虛軸長、焦距成等差數(shù)列,則雙曲線的離心率e為(　　). A.2 B.3 C. D. 3.若雙曲

7、線的漸近線方程為y=±3x,它的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是　　　　.? 4.求雙曲線x2-=1的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)半軸長、虛半軸長與漸近線方程. (xx年·湖北卷)已知0<θ<,則雙曲線C1:-=1與C2:-=1的(　　). A.實(shí)軸長相等 B.虛軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等 　　考題變式(我來改編): 第8課時(shí)　雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 知識(shí)體系梳理 問題1:|x|≥a,y∈R　|y|≥a,x∈R　F1(-c,0)、F2(c,0)　F1(0,-c)、F

8、2(0,c)　A1(-a,0)、A2(a,0)　A1(0,-a)、A2(0,a)　關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱　±=0　±=0　e=>1 問題2:①e=　(0,1)　(1,+∞)?、?a>2b　不確定 ③(±c,0)　(0,±c)?、苡小o 問題3:①==?、凇≡龃? 問題4:等軸　±x　 基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流 1.C　雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,故實(shí)軸長為4. 2.C　①焦點(diǎn)在x軸上:=,e==. ②焦點(diǎn)在y軸上:=,e==. 3.　∵實(shí)半軸長a=4,虛半軸長b=3,則半焦距c===5,∴離心率e==. 4.解:由條件知F(c,0),A(-a,0), ∴=(-a,-b)

9、,=(c,-b), ∵·=3ac,∴-ac+b2=3ac, 又b2=c2-a2,∴c2-a2-4ac=0, ∵e>1,∴e==2+. 重點(diǎn)難點(diǎn)探究 探究一:【解析】將原方程轉(zhuǎn)化為-=1,所以a=3,b=2,c=, 因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(-3,0),A2(3,0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-,0),F2(,0),實(shí)軸長是2a=6,虛軸長是2b=4,離心率e==,漸近線方程為y=±x. 【小結(jié)】該方程并非標(biāo)準(zhǔn)形式,首先化成標(biāo)準(zhǔn)形式后,再研究解決問題.已知雙曲線的方程求其幾何性質(zhì)時(shí),若不是標(biāo)準(zhǔn)形式的先化為標(biāo)準(zhǔn)方程,確定方程中a,b的對(duì)應(yīng)值,利用c2=a2+b2得到c,然后確定雙曲線的焦點(diǎn)位置,從

10、而寫出雙曲線的幾何性質(zhì). 　　探究二:【解析】(1)(法一)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1, 由題意,得 解得a2=,b2=4,所以雙曲線的方程為-=1. (法二)設(shè)所求雙曲線方程為-=λ(λ≠0), 將點(diǎn)(-3,2)代入得λ=, 故所求雙曲線方程為-=. (2)(法一)設(shè)所求雙曲線方程為-=1,由題意易求c=2. ∵雙曲線過點(diǎn)(3,2), ∴-=1, 又∵a2+b2=(2)2,∴a2=12,b2=8, 故所求雙曲線方程為-=1. (法二)設(shè)所求雙曲線方程為-=1,將點(diǎn)(3,2)代入得k=4, 故所求雙曲線方程為-=1. 【小結(jié)】若已知雙曲線的漸近線方程為ax±by=0

11、,可設(shè)雙曲線方程為a2x2-b2y2=λ. 　　探究三:【解析】設(shè)l的方程:y=k(x-1)+1代入雙曲線方程得:(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0, ∵Δ=0,∴k=. [問題]上述解法考慮全面嗎?是不是忽視了直線與雙曲線的特殊位置關(guān)系? [結(jié)論]上述解法不全面,忽視了當(dāng)4-k2=0,即k=±2時(shí),l與雙曲線漸近線平行,l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn). 于是,正確解答為: 把y=k(x-1)+1代入雙曲線方程得:(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0, 當(dāng)4-k2=0,即k=±2時(shí),l與雙曲線的漸近線平行,l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn); 當(dāng)4-k2≠

12、0,k≠±2時(shí),由Δ=0,得k=. 綜合上述,k=或k=±2. 【小結(jié)】本題以雙曲線為載體,主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.突出考查了雙曲線的幾何性質(zhì).在判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系時(shí),把直線和雙曲線方程聯(lián)立得到關(guān)于x的方程后,注意考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為0(為0時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn),重合時(shí)無交點(diǎn)). 思維拓展應(yīng)用 應(yīng)用一:把方程9y2-4x2=36化為標(biāo)準(zhǔn)形式-=1, ∴a=2,b=3,c=, ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),(0,2),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-),(0,), 實(shí)軸長是2a=4,虛軸長是2b=6,離心率e==, 漸近線方程y=±x. 　　應(yīng)

13、用二:(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1 (a>0,b>0),由漸近線方程為y=±x, 得=. 又∵2c=10,∴c=5,∴a2+b2=c2=25, ∴a2=20,b2=5,故所求雙曲線的方程為-=1. 同理可求得焦點(diǎn)在y軸上時(shí)雙曲線的方程為-=1. 綜上,所求雙曲線的方程為-=1或-=1. (2)依題意,雙曲線的焦點(diǎn)可能在x軸上,也可能在y軸上,分別討論如下: 若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,可設(shè)雙曲線的方程為 -=1(a>0,b>0), 由e=,得==.?、? 由點(diǎn)P(3,-)在雙曲線上,得-=1.　 ② 由①②得a2=1,b2=,所以雙曲線方程為x2-=1

14、; 若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,可設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0), 同理有=,-=1,a2+b2=c2, 解之得b2=-(不合題意,舍去),故雙曲線的焦點(diǎn)只能在x軸上,所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1. 　　應(yīng)用三:將y=kx-1代入4x2-9y2=36,整理得 (4-9k2)x2+18kx-45=0. 當(dāng)4-9k2=0,即k=±時(shí),直線與雙曲線的漸近線平行,只有一個(gè)公共點(diǎn). 當(dāng)4-9k2≠0,即k≠±時(shí),Δ=(18k)2-4(4-9k2)·(-45)=0,即k=±,直線與雙曲線相切,只有一個(gè)公共點(diǎn). 綜上所述,當(dāng)k=±或k=±時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn). 基礎(chǔ)智能

15、檢測(cè) 1.C　由題意知2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,所以b==.又雙曲線的漸近線方程是y=±x,即y=±x,選C. 2.D　根據(jù)題意,得2a+2c=2×2b,所以a2+2ac+c2=4(c2-a2),即3c2-2ac-5a2=0.所以3e2-2e-5=0,解得e=或e=-1(舍). 3.x2-=1　焦點(diǎn)為(,0),漸近線方程為y=±3x, ∴解得 ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,即x2-=1. 4.解:把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,由此可知實(shí)半軸長a=1,虛半軸長b=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0),(1,0),c===,焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-,0),(,0),漸近線方程為±=0,即y=±2x. 全新視角拓展 D　由0<θ<,得cos θ>0,sin θ>0. 在雙曲線C1中,長半軸a=sin θ,短半軸b=cos θ,半焦距c=1,離心率為e==; 在雙曲線C2中,長半軸a'=cos θ,短半軸b'=sin θ,半焦距c'=1,離心率為e'==.故雙曲線C1與C2的焦距相等. 思維導(dǎo)圖構(gòu)建 |x|≥a,y∈R　(-a,0)、(a,0)　關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱　e=>1　有兩條,其方程為y=±x