小學(xué)奧數(shù)面積計(jì)算[綜合題型]

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1、 ...wd... 第十八周 面積計(jì)算〔一〕 專(zhuān)題簡(jiǎn)析： 計(jì)算平面圖形的面積時(shí)，有些問(wèn)題乍一看，在條件與所求問(wèn)題之間找不到任何聯(lián)系，會(huì)使你感到無(wú)從下手。這時(shí)，如果我們能認(rèn)真觀察圖形，分析、研究條件，并加以深化，再運(yùn)用我們已有的 根本幾何知識(shí)，適當(dāng)添加輔助線(xiàn)，搭一座連通條件與所求問(wèn)題的小“橋〞，就會(huì)使你順利到達(dá)目的。有些平面圖形的面積計(jì)算必須借助于圖形本身的特征，添加一些輔助線(xiàn)，運(yùn)用平移旋轉(zhuǎn)、剪拼組合等方法，對(duì)圖形進(jìn)展恰當(dāng)合理的變形，再經(jīng)過(guò)分析推導(dǎo)，方能尋求出解題的途徑。 圖形面積〕

2、 　簡(jiǎn)單的面積計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容.要會(huì)計(jì)算面積，首先要能識(shí)別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會(huì)計(jì)算這些圖形的面積.如果我們把這些圖形畫(huà)在方格紙上，不但容易識(shí)別，而且容易計(jì)算. 　　上面左圖是邊長(zhǎng)為 4的正方形，它的面積是 4×4＝ 16〔格〕；右圖是 3×5的長(zhǎng)方形，它的面積是 3×5＝ 15〔格〕. 　　上面左圖是一個(gè)銳角三角形，它的底是5，高是4，面積是 5×4÷2＝ 10〔格〕；右圖是一個(gè)鈍角三角形，底是4，高也是4，它的面積是4×4÷2＝8〔格〕.這里特別說(shuō)明，這兩個(gè)三角形的高線(xiàn)一樣長(zhǎng)，鈍角三角形的高線(xiàn)有可能在三角形的外面. 　　上面左圖是一個(gè)

3、平行四邊形，底是5，高是3，它的面積是 5× 3＝ 15〔格〕；右圖是一個(gè)梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面積是 　　〔4+7〕×4÷2＝22〔格〕. 　　上面面積計(jì)算的單位用“格〞，一格就是一個(gè)小正方形.如果小正方形邊長(zhǎng)是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形邊長(zhǎng)是1米，1格就是1平方米.也就是說(shuō)我們?cè)O(shè)定一個(gè)方格的邊長(zhǎng)是1個(gè)長(zhǎng)度單位，1格就是一個(gè)面積單位.在這一講中，我們直接用數(shù)表示長(zhǎng)度或面積，省略了相應(yīng)的長(zhǎng)度單位和面積單位. 一、三角形的面積 　　用直線(xiàn)組成的圖形，都可以劃分成假設(shè)干個(gè)三角形來(lái)計(jì)算面積.三角形面積的計(jì)算公式是： 　　三角形面積= 底×高÷2. 　　這個(gè)

4、公式是許多面積計(jì)算的根基.因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會(huì)靈活運(yùn)用. 　　例1 右圖中BD長(zhǎng)是4，DC長(zhǎng)是2，那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢 　　解：三角形ABD與三角形ADC的高一樣. 　　三角形ABD面積=4×高÷2. 　　三角形 ADC面積=2×高÷2. 　　因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個(gè)三角形都可看成有三個(gè)底，和相應(yīng)的三條高. 　　例2 右圖中，BD，DE，EC的長(zhǎng)分別是2，4，2.F是線(xiàn)段AE的中點(diǎn)，三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積. 　　解：

5、BC＝ 2＋ 4＋ 2＝ 8. 　　三角形 ABC面積= 8× 4÷2＝16. 　　我們把A和D連成線(xiàn)段，組成三角形ADE，它與三角形ABC的高一樣，而DE長(zhǎng)是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理，EF是AE的一半，三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半. 　　三角形 DFE面積= 16÷4＝4. 　　例3 右圖中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是20，寬是12，求它的內(nèi)部陰影局部面積. 　　解：ABEF也是一個(gè)長(zhǎng)方形，它內(nèi)部的三個(gè)三角形陰影局部高都與BE一樣長(zhǎng). 　　而三個(gè)三角形底邊的長(zhǎng)加起來(lái)，就是FE的長(zhǎng).因此這三個(gè)三角形的面積之和是 　　FE×BE÷2，

6、 　　它恰好是長(zhǎng)方形ABEF面積的一半. 　　同樣道理，F(xiàn)ECD也是長(zhǎng)方形，它內(nèi)部三個(gè)三角形〔陰影局部〕面積之和是它的面積的一半. 　　因此所有陰影的面積是長(zhǎng)方形ABCD面積的一半，也就是 　　20×12÷2＝120. 　　通過(guò)方格紙，我們還可以從另一個(gè)途徑來(lái)求解.當(dāng)我們畫(huà)出中間兩個(gè)三角形的高線(xiàn)，把每個(gè)三角形分成兩個(gè)直角三角形后，圖中每個(gè)直角三角形都是某個(gè)長(zhǎng)方形的一半，而長(zhǎng)方形ABCD是由這假設(shè)干個(gè)長(zhǎng)方形拼成.因此所有這些直角三角形〔陰影局部〕的面積之和是長(zhǎng)方形ABCD面積的的一半. 　　例4 右圖中，有四條線(xiàn)段的長(zhǎng)度已經(jīng)知道，還有兩個(gè)角是直角，那么四邊形ABCD〔陰影局部〕的面積是

7、多少 　　解：把A和C連成線(xiàn)段，四邊形ABCD就分成了兩個(gè)，三角形ABC和三角形ADC. 　　對(duì)三角形ABC來(lái)說(shuō)，AB是底邊，高是10，因此 　　面積=4×10÷2＝ 20. 　　對(duì)三角形 ADC來(lái)說(shuō)， DC是底邊，高是 8，因此 　　面積=7×8÷2＝28. 　　四邊形 ABCD面積= 20＋ 28＝ 48. 　　這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線(xiàn)有可能是在三角形的外面. 　　例5 在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)有一個(gè)三角形BEF，線(xiàn)段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF的面積. 　　解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個(gè)直角三角形的面積 　　三角形

8、ABE面積=3×6×2＝ 9. 　　三角形 BCF面積= 6×〔6-2〕÷2＝ 12. 　　三角形 DEF面積=2×〔6-3〕÷2＝ 3. 　　我們只要用正方形面積減去這三個(gè)直角三角形的面積就能算出： 　　三角形 BEF面積=6×6-9-12-3＝12. 　　例6 在右圖中，ABCD是長(zhǎng)方形，三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度如以以以下圖，M是線(xiàn)段DE的中點(diǎn)，求四邊形ABMD〔陰影局部〕的面積. 　　解：四邊形ABMD中，的太少，直接求它面積是不可能的，我們?cè)O(shè)法求出三角形DCE與三角形MBE的面積，然后用長(zhǎng)方形ABCD的面積減去它們，由此就可以求得四邊形ABMD的面積. 　　把M與C用線(xiàn)段連起來(lái)，將

9、三角形DCE分成兩個(gè)三角形.三角形 DCE的面積是 7×2÷2＝7. 　　因?yàn)镸是線(xiàn)段DE的中點(diǎn)，三角形DMC與三角形MCE面積相等，所以三角形MCE面積是 7÷2＝3.5. 　　因?yàn)?BE＝ 8是 CE＝ 2的 4倍，三角形 MBE與三角形MCE高一樣，因此三角形MBE面積是 　　3.5×4＝14. 　　長(zhǎng)方形 ABCD面積=7×〔8＋2〕=70. 　　四邊形 ABMD面積=70-7- 14＝ 49. 二、有關(guān)正方形的問(wèn)題 　　先從等腰直角三角形講起. 　　一個(gè)直角三角形，它的兩條直角邊一樣長(zhǎng)，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一個(gè)直角〔90度〕，還有兩個(gè)角都是45

10、度，通常在一副三角尺中.有一個(gè)就是等腰直角三角形. 　　兩個(gè)一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個(gè)正方形，如圖〔a〕.四個(gè)一樣的等腰直角三角形，也可以拼成一個(gè)正方形，如圖〔b〕. 　　一個(gè)等腰直角三角形，當(dāng)知道它的直角邊長(zhǎng)，從圖〔a〕知，它的面積是 　　直角邊長(zhǎng)的平方÷2. 　　當(dāng)知道它的斜邊長(zhǎng)，從圖〔b〕知，它的面積是 　　斜邊的平方÷4 　　例7 右圖由六個(gè)等腰直角三角形組成.第一個(gè)三角形兩條直角邊長(zhǎng)是8.后一個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng)，恰好是前一個(gè)斜邊長(zhǎng)的一半，求這個(gè)圖形的面積. 　　解：從前面的圖形上可以知道，前一個(gè)等腰直角三角形的兩個(gè)拼成的正方形，等于后一個(gè)等腰直角三角形四個(gè)拼成的

11、正方形.因此后一個(gè)三角形面積是前一個(gè)三角形面積的一半，第一個(gè)等腰直角三角形的面積是8×8÷2＝32. 　　這一個(gè)圖形的面積是 　　32＋16＋ 8＋ 4 ＋ 2＋1＝ 63. 　　例8 如右圖，兩個(gè)長(zhǎng)方形疊放在一起，小長(zhǎng)形的寬是2，A點(diǎn)是大長(zhǎng)方形一邊的中點(diǎn)，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么圖中陰影局部的總面積是多少 　　解：為了說(shuō)明的方便，在圖上標(biāo)上英文字母 D，E，F(xiàn)，G. 　　三角形ABC的面積=2×2÷2＝2. 　　三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形. 　　三角形ABC的斜邊，與三角形ADE的直角邊一樣長(zhǎng)，因此三角形 ADE面積=ABC面積×2＝4. 　

12、　三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長(zhǎng).因此三角形EFG面積=ABC面積÷2＝1. 　　陰影局部的總面積是 4＋1＝5. 　　例9 如右圖，一個(gè)四邊形ABCD的兩條邊的長(zhǎng)度AD＝7，BC＝3，三個(gè)角的度數(shù)：角 B和D是直角，角A是45°.求這個(gè)四邊形的面積. 　　解：這個(gè)圖形可以看作是一個(gè)等腰直角三角形ADE，切掉一個(gè)等腰直角三角形BCE. 　　因?yàn)? 　　A是45°，角D是90°，角E是 　　180°-45°-90°＝ 45°， 　　所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形. 　　四邊形ABCD的面積，是這兩個(gè)等腰直角三角形面積之差，即 　　7×7÷2-

13、3×3÷2＝20. 　　這是1994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題.原來(lái)試題圖上并沒(méi)有畫(huà)出虛線(xiàn)三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補(bǔ)全成為等腰直角三角形.因此做對(duì)這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué)，用直線(xiàn)AC把圖形分成兩個(gè)直角三角形，并認(rèn)為這兩個(gè)直角三角形是一樣的，這就大錯(cuò)特錯(cuò)了.這樣做，角 A是 45°，這一條件還用得上嗎圖形上線(xiàn)段相等，兩個(gè)三角形相等，是不能靠眼睛來(lái)測(cè)定的，必須從幾何學(xué)上找出根據(jù)，小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過(guò)幾何，千萬(wàn)不要隨便對(duì)圖形下結(jié)論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線(xiàn)索.有45°和直角，你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形. 　　現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問(wèn)題. 　　例10 在右圖 11×15

14、的長(zhǎng)方形內(nèi)，有四對(duì)正方形〔標(biāo)號(hào)一樣的兩個(gè)正方形為一對(duì)〕，每一對(duì)是一樣的正方形，那么中間這個(gè)小正方形〔陰影局部〕面積是多少 　　解：長(zhǎng)方形的寬，是“一〞與“二〞兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，是“一〞、“三〞與“二〞三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和. 　　長(zhǎng)-寬 =15-11＝4 　　是“三〞正方形的邊長(zhǎng). 　　寬又是兩個(gè)“三〞正方形與中間小正方形的邊長(zhǎng)之和，因此 　　中間小正方形邊長(zhǎng)=11-4×2＝3. 　　中間小正方形面積=3×3＝ 9. 　　如果把這一圖形，畫(huà)在方格紙上，就一目了然了. 　　例11 從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長(zhǎng)方形土地〔見(jiàn)圖〕，剩下的長(zhǎng)方形土地面積是15.

15、75平方米.求劃出的長(zhǎng)方形土地的面積. 　　解：剩下的長(zhǎng)方形土地，我們道 　　長(zhǎng)-寬=1〔米〕. 　　還知道它的面積是15.75平方米，那么能否從這一面積求出長(zhǎng)與寬之和呢 　　如果能求出，那么與上面“差〞的算式就形成和差問(wèn)題了. 　　我們把長(zhǎng)和寬拼在一起，如右圖. 　　從這個(gè)圖形還不能算出長(zhǎng)與寬之和，但是再拼上同樣的兩個(gè)正方形，如以以以下圖就拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和. 　　可是這個(gè)大正方形的中間還有一個(gè)空洞.它也是一個(gè)正方形，仔細(xì)觀察一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它的邊長(zhǎng)，恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差，等于1米. 　　現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積： 　　

16、15.75×4+1×1＝ 64〔平方米〕. 　　64是8×8，大正方形邊長(zhǎng)是 8米，也就是說(shuō)長(zhǎng)方形的 　　長(zhǎng)+寬=8〔米〕. 　　因此 　　長(zhǎng)=〔8＋1〕÷2＝ 4.5〔米〕. 　　寬=8-4.5＝3.5〔米〕. 　　那么劃出的長(zhǎng)方形面積是 　　4.5×1＝4. 5〔平方米〕. 　　例12 如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.小正方形EFGC的邊長(zhǎng)是6，求三角形AEG〔陰影局部〕的面積. 　　解：四邊形AECD是一個(gè)梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此 　　四邊形AECD面積=〔小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng)〕×大正方形邊長(zhǎng)÷2 　　三角形ADG是直

17、角三角形，它的一條直角邊長(zhǎng)DG=〔小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng)〕，因此 　　三角形ADG面積=〔小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng)〕×大正方形邊長(zhǎng)÷2. 　　四邊形 AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有，因此，三角形AEH與三角形HCG面積相等，都加上三角形EHG面積后，就有 　　陰影局部面積=三角形ECG面積 　　=小正方形面積的一半 　　= 6×6÷2＝18. 　　十分有趣的是，影陰局部面積，只與小正方形邊長(zhǎng)有關(guān)，而與大正方形邊長(zhǎng)卻沒(méi)有關(guān)系. 三、其他的面積 　　這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來(lái)不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請(qǐng)讀者仔

18、細(xì)體會(huì). 　　例13 畫(huà)在方格紙上的一個(gè)用粗線(xiàn)圍成的圖形〔如右圖〕，求它的面積. 　　解：直接計(jì)算粗線(xiàn)圍成的面積是困難的，我們通過(guò)扣除周?chē)叫魏椭苯侨切蝸?lái)計(jì)算. 　　周?chē)≌叫斡?個(gè)，面積為1的三角形有5個(gè)，面積為1.5的三角形有1個(gè)，因此圍成面積是 　　4×4-3-5-1.5＝6.5. 　　例6與此題在解題思路上是完全類(lèi)同的. 　　例14 以以以下圖中 ABCD是 6×8的長(zhǎng)方形，AF長(zhǎng)是4，求陰影局部三角形AEF的面積. 　　解：三角形AEF中，我們知道一邊AF，但是不知道它的高多長(zhǎng)，直接求它的面積是困難的.如果把它擴(kuò)大到三角形AEB，底邊AB，就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高是長(zhǎng)方

19、形的寬，即BC的長(zhǎng)，面積就可以求出.三角形AEB的面積是長(zhǎng)方形面積的一半，而擴(kuò)大的三角形AFB是直角三角形，它的兩條直角邊的長(zhǎng)是知道的，很容易算出它的面積.因此 　　三角形AEF面積＝〔三角形 AEB面積〕-〔三角形 AFB面積〕 　?。?×6÷2-4×8÷2 　　＝ 8. 　　　這一例題告訴我們，有時(shí)我們把難求的圖形擴(kuò)大成易求的圖形，當(dāng)然擴(kuò)大的局部也要容易求出，從而間接地解決了問(wèn)題.前面例9的解法，也是這種思路. 　　例15 下左圖是一塊長(zhǎng)方形草地，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是16，寬是10.中間有兩條道路，一條是長(zhǎng)方形，一條是平行四邊形，那么有草局部的面積〔陰影局部〕有多大 　　解：我們首先要

20、弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底×高.從圖上可以看出，底是2，高恰好是長(zhǎng)方形的寬度.因此這個(gè)平行四邊形的面積與 10×2的長(zhǎng)方形面積相等. 　　可以設(shè)想，把這個(gè)平行四邊形換成 10×2的長(zhǎng)方形，再把橫豎兩條都移至邊上〔如前頁(yè)右圖〕，草地局部面積〔陰影局部〕還是與原來(lái)一樣大小，因此 　　草地面積=〔16-2〕×〔10-2〕＝ 112. 　　例16 右圖是兩個(gè)一樣的直角三角形疊在一起，求陰影局部的面積. 　　解：實(shí)際上，陰影局部是一個(gè)梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來(lái)求它的面積. 　　陰影局部與三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， ABCD

21、也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面積與陰影局部面積一樣大.梯形ABCD的上底BC，是直角邊AD的長(zhǎng)減去3，高就是DC的長(zhǎng).因此陰影局部面積等于 　　梯形 ABCD面積=〔8＋8-3〕×5÷2＝ 32.5. 　　上面兩個(gè)例子都啟發(fā)我們，假設(shè)何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學(xué)上這叫等積變形.要想有這種“換〞的本領(lǐng)，首先要提高對(duì)圖形的觀察能力. 　　例17 以以以下圖是兩個(gè)直角三角形疊放在一起形成的圖形. AF，F(xiàn)E，EC都等于3， CB， BD都等于 4.求這個(gè)圖形的面積. 　　解：兩個(gè)直角三角形的面積是很容易求出的. 　　三角形ABC面

22、積=〔3＋3＋3〕×4÷2＝18. 　　三角形CDE面積=〔4＋4〕× 3÷2＝12. 　　這兩個(gè)直角三角形有一個(gè)重疊局部--四邊形BCEG，只要減去這個(gè)重疊局部，所求圖形的面積立即可以得出. 　　因?yàn)?AF＝ FE＝ EC＝3，所以 AGF， FGE， EGC是三個(gè)面積相等的三角形. 　　因?yàn)镃B＝BD＝4，所以CGB，BGD是兩個(gè)面積相等的三角形. 　　2×三角形DEC面積 　　= 2×2×〔三角形 GBC面積〕＋2×〔三角形 GCE面積〕. 　　三角形ABC面積 　　= 〔三角形 GBC面積〕＋3×〔三角形GCE面積〕. 　　四邊形BCEG面積 　　=〔三角形GBC面

23、積〕＋〔三角形GCE面積〕 　　=〔2×12＋18〕÷5 　　＝8.4. 　　所求圖形面積=12＋ 18- 8.4＝21.6. 　　例18 如下頁(yè)左圖，ABCG是4×7長(zhǎng)方形，DEFG是 2×10長(zhǎng)方形.求三角形 BCM與三角形 DEM面積之差. 　　解：三角形BCM與非陰影局部合起來(lái)是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影局部合起來(lái)是兩個(gè)長(zhǎng)方形的和. 　　〔三角形BCM面積〕-〔三角形DEM面積〕 　　=〔梯形ABEF面積〕-〔兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和 　　=〔7＋10〕×〔4＋2〕÷2-〔4×7 ＋ 2×10〕 　　=3. 　　例19 上右圖中，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫(huà)了一些直線(xiàn)，邊上有三塊

24、面積分別是13，35，49.那么圖中陰影局部的面積是多少 解：所求的影陰局部，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共局部，而面積為13，49，35這三塊是長(zhǎng)方形中沒(méi)有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的局部，因此 　　〔三角形 ABC面積〕+〔三角形CDE面積〕＋〔13＋49＋35〕 　?。健查L(zhǎng)方形面積〕＋〔陰影局部面積〕. 　　三角形ABC，底是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高是長(zhǎng)方形的寬；三角形CDE，底是長(zhǎng)方形的寬，高是長(zhǎng)方形的長(zhǎng).因此，三角形ABC面積，與三角形CDE面積，都是長(zhǎng)方形面積的一半，就有 　　陰影局部面積=13 ＋ 49＋ 35＝ 97. 例題1。 18－1 A B C

25、F E D A B C F E D 圖18－1中，三角形ABC的面積為8平方厘米，AE＝ED，BD=BC，求陰影局部的面積。 18－1 【思路導(dǎo)航】陰影局部為兩個(gè)三角形，但三角形AEF的面積無(wú)法直接計(jì)算。由于AE=ED,連接DF，可知S△AEF=S△EDF〔等底等高〕，采用移補(bǔ)的方法，將所求陰影局部轉(zhuǎn)化為求三角形BDF的面積。 因?yàn)锽D=BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因?yàn)锳E＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。 因此，S△ABC＝5S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6〔平方厘米〕，則陰

26、影局部的面積為1.6×2＝3.2〔平方厘米〕。 練習(xí)1 1、 如圖18－2所示，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求陰影局部的面積。 2、 如圖18－3所示，AE=ED，DC＝BD，S△ABC＝21平方厘米。求陰影局部的面積。 A A B C F E D A 3、 如圖18－4所示，DE＝AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。求三角形ABC的面積。 F F E E D B C C D B 18－4 18－3 18－2 例題2。 兩條對(duì)角線(xiàn)把梯形ABCD分割成四個(gè)三角形，如圖18－5所示，兩個(gè)三角形的面

27、積，求另兩個(gè)三角形的面積各是多少 B C D A O 6 12 18－5 【思路導(dǎo)航】S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；從S△ABD與S△ACD相等〔等底等高〕可知：S△ABO等于6，而△ABO與△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。所以△AOD的面積為6÷2＝3。 因?yàn)镾△ABD與S△ACD等底等高 所以S△ABO＝6 因?yàn)镾△BOC是S△DOC的2倍 所以△ABO是△AOD的2倍 所以△AOD＝6÷2＝3。 答：△AOD的面積是3。 練習(xí)2 1、 兩條

28、對(duì)角線(xiàn)把梯形ABCD分割成四個(gè)三角形，〔如圖18－6所示〕，兩個(gè)三角形的面積，求另兩個(gè)三角形的面積是多少 2、 AO＝OC，求梯形ABCD的面積〔如圖18－7所示〕。 B C D A O 3、 三角形AOB的面積為15平方厘米，線(xiàn)段OB的長(zhǎng)度為OD的3倍。求梯形ABCD的面積?！踩鐖D18－8所示〕。 B C D A O 4 B C D A O 8 4 8 18－8 18－7 18－6 例題3。 D 四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD被E、F兩點(diǎn)三等分，且四邊形AECF的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積〔如圖18－9

29、所示〕。 F A E 18－9 C B 【思路導(dǎo)航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它們的面積相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面積也相等。由此可知，三角形ABD的面積是三角形AEF面積的3倍，三角形BCD的面積是三角形CEF面積的3倍，從而得出四邊形ABCD的面積是四邊形AECF面積的3倍。 15×3＝45〔平方厘米〕 答：四邊形ABCD的面積為45平方厘米。 練習(xí)3 1、 四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD被E、F、G三點(diǎn)四

30、等分，且四邊形AECG的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積〔如圖18－10〕。 2、 四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)被E、F、G三點(diǎn)四等分，且陰影局部面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積〔如圖18－11所示〕。 3、 如圖18－12所示，求陰影局部的面積〔ABCD為正方形〕。 6 E A D A D D E G A 4 F · F G C B C B E C B 18－12 18－11 18－10 例題4。 B A D C O 如圖18－13所示，BO＝2DO，陰影局部的面積是4平方厘米。那么，梯

31、形ABCD的面積是多少平方厘米 E 18－13 【思路導(dǎo)航】因?yàn)锽O＝2DO，取BO中點(diǎn)E，連接AE。根據(jù)三角形等底等高面積相等的性質(zhì)，可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4，類(lèi)推可得每個(gè)三角形的面積。所以， S△CDO＝4÷2＝2〔平方厘米〕 S△DAB＝4×3＝12平方厘米 S梯形ABCD＝12+4+2＝18〔平方厘米〕 答：梯形ABCD的面積是18平方厘米。 練習(xí)4 1、 如圖18－14所示，陰影局部面積是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形面積。 2、 OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。求梯形的

32、面積〔如圖18－15所示〕。 D 3、 S△AOB＝6平方厘米。OC＝3AO，求梯形的面積〔如圖18－16所示〕。 O A D A B A D C O O 18－16 C B 18－15 18－14 C B 例題5。 如圖18－17所示，長(zhǎng)方形ADEF的面積是16，三角形ADB的面積是3，三角形ACF的面積是4，求三角形ABC的面積。 A F F A C C E D E D B 18－17 【思路導(dǎo)航】連接AE。仔細(xì)觀察添加輔助線(xiàn)AE后，使問(wèn)題可有如下解法。 由圖上看出：三角形ADE的面積等

33、于長(zhǎng)方形面積的一半〔16÷2〕＝8。用8減去3得到三角形ABE的面積為5。同理，用8減去4得到三角形AEC的面積也為4。因此可知三角形AEC與三角形ACF等底等高，C為EF的中點(diǎn)，而三角形ABE與三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面積為5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面積為16－3－4－2.5＝6.5。 練習(xí)5 1、 如圖18－18所示，長(zhǎng)方形ABCD的面積是20平方厘米，三角形ADF的面積為5平方厘米，三角形ABE的面積為7平方厘米，求三角形AEF的面積。 2、 如圖18－19所示，長(zhǎng)方形ABCD的面積為20平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AFD＝6平方

34、厘米，求三角形AEF的面積。 3、 如圖18－20所示，長(zhǎng)方形ABCD的面積為24平方厘米，三角形ABE、AFD的面積均為4平方厘米，求三角形AEF的面積。 A D D C B A F D A F F C C E B E 18－19 B E 18－20 18－18 答案： 練1 1、 30÷5×2＝12平方厘米 2、 21÷7×3＝9平方厘米 3、 5×3÷＝22平方厘米 練2 1、 4÷2＝2 8÷2＝4 2、 8×2＝16 16+8×2+4＝36 3、 15×3＝45 15+5+15+

35、45＝80 練3 1、 15×2＝30平方厘米 2、 15×4＝60平方厘米 3、 6×6÷2－6×4÷2＝6平方厘米 6×2÷4＝3平方厘米 〔6+3〕×6÷2＝27平方厘米 練4 1、 4×2＝8平方厘米 8×2＝16平方厘米 16+8+8+4＝36平方厘米 2、 14÷2＝7平方厘米 7÷2＝3.5平方厘米 14+7+7+3.5＝31.5平方厘米 3、 6×〔3+1〕＝24 6÷3＝2 24+6+2＝32 練5 1、 20÷2－7＝3 3×＝1.5 20－7－5－1.5＝6.5 2、 20÷2＝10 〔10－4〕×＝2 20－6－4－2＝7 3、 24÷2＝12平方厘米 〔12－4〕×〔1－〕＝5平方厘米 24－4－4－5＝10平方厘米