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1、2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理凌志班
一、選擇題:本大題共12個(gè)小題,每小題5分，共60分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.有一段“三段論”，推理是這樣的：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，如果，那么是函數(shù)的極值點(diǎn)，因?yàn)樵谔幍膶?dǎo)數(shù)值，所以是函數(shù)的極值點(diǎn).以上推理中（ ）
A. 大前提錯(cuò)誤 B. 小前提錯(cuò)誤 C. 推理形式錯(cuò)誤 D. 結(jié)論正確
3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A. （-
2、1,1） B. （0,1） C. (1,+∞) D. (0,+∞)
4.由曲線,直線及軸所圍成的平面圖形的面積為( )
A. 6 B. 4 C. D.
5. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，從“”變到“””時(shí)，左邊應(yīng)増乘的因式是 ( )
A. B. C. D.
6. 給出一個(gè)命題 ：若 ，，，且 ，則 ，，， 中至少有一個(gè)小于零．在用反證法證明 時(shí)，應(yīng)該假設(shè) ( )
A. ，，， 中至少有一個(gè)正數(shù) B. ，，， 全為正數(shù)
C. ，，， 全都大于或等于 D. ，，， 中
3、至多有一個(gè)負(fù)數(shù)
7. 三角形的面積為，（為三角形的邊長(zhǎng)，為三角形的內(nèi)切圓的半徑）利用類比推理，可以得出四面體的體積為 ( )
A. （為底面邊長(zhǎng)）
B. （分別為四面體四個(gè)面的面積，為四面體內(nèi)切球的半徑）
C. （為底面面積，為四面體的高）
D. （為底面邊長(zhǎng)，為四面體的高）
8.已知函數(shù)，則（ ）
A. 在單調(diào)遞增 B. 在單調(diào)遞減
C. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
9.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
10.設(shè),，，則（ ）
4、
A. B. C. D.
11.已知函數(shù)圖象上任一點(diǎn)處的切線方程為
，那么函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（ ）
12.關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 是的最小值點(diǎn)
B. 函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)
C. 存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立
D. 對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，若，則
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,滿分20分.
13. 已知，則的值為 ?．
14. 已知既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則的形狀是_______.
15. 設(shè)為實(shí)數(shù)，若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍
是 ?．
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5、. 若函數(shù)與函數(shù)有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍
是 ?．
三、解答題:共6大題，寫出必要的解答過(guò)程.滿分70分.
17.（本小題10分）已知復(fù)數(shù)．
（Ⅰ）若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）若在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，求實(shí)數(shù)的值．
18. （本小題12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，并滿足.
（1）求；（2）證明：數(shù)列為等差數(shù)列.
19. （本小題12分）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)與直線有三個(gè)不同交點(diǎn)，求的取值范圍.
20. （本小題12分）（Ⅰ）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，且不共線，
求證：；
6、（Ⅱ）設(shè)均為正數(shù)，且.證明：.
21. （本小題12分）已知函數(shù)在處有極值.
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
22. （本小題12分）已知函數(shù).
討論函數(shù)的單調(diào)性；
設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)是，，求證：.
參考答案
1-12 D A B D D C B C D A D C
13-16 等邊三角形
17.解：Ⅰ若z為純虛數(shù)，則，且，解得實(shí)數(shù)a的值為2；
Ⅱ在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，
在直線上，則，解得．
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7、.解：（1）
（2）猜測(cè)：，并用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）
，結(jié)論成立。
或：
19. 解:（1），
當(dāng)或x>3時(shí)，，所以f(x)在和單調(diào)遞增
當(dāng)-10, 令，得-2
8、x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-￥，-2）和（0，+￥），單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，0）。
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，f(x)= ，
f(-2)=為函數(shù)f(x)極大值，f(0)=b為極小值。
∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,3]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
∴或或或或 ，
即 ，∴，即b的取值范圍是。
22．解： 函數(shù)的定義域?yàn)椋?
，
①當(dāng)時(shí)，，，則在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
首先易知，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
不妨設(shè)，
，
構(gòu)造，
又
∴，∴，∴在上單調(diào)遞增，
∴，即，
又，是函數(shù)的零點(diǎn)且，∴
而，均大于，所以，所以，得證.
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