高考數(shù)學新一輪復習 詳細分類題庫 考點55 不等式選講（文、理）（含詳解13高考題）

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1、高考數(shù)學新一輪復習 詳細分類題庫 考點55 不等式選講（文、理）（含詳解，13高考題） 一、選擇題 1.（xx·安徽高考理科·Ｔ4）“a≤0”“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的 （ ） A. 充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解題指南】 畫出函數(shù)的簡圖，數(shù)形結(jié)合判斷。 【解析】選C.由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增可得其圖象如圖所示，,由圖象可知選項C正確。 二、填空題 2. （xx·陜西高考理科·Ｔ15）已知a, b, m, n均為正數(shù), 且a＋b＝1, mn＝2, 則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為 .

2、 【解題指南】利用柯西不等式求解. 【解析】,且僅當 時取最小值 2. 【答案】 2. 3. （xx·陜西高考文科·Ｔ15）設(shè)a, b∈R, |a－b|>2, 則關(guān)于實數(shù)x的不等式的解集是 . 【解題指南】利用絕對值不等式的基本知識表示數(shù)軸上某點到a，b的距離之和即可得解. 【解析】函數(shù)的值域為： . 所以，不等式的解集為R。 【答案】 R. 4.（xx·江西高考理科·Ｔ15）在實數(shù)范圍內(nèi)，不等式的解集為___________. 【解題指南】根據(jù)絕對值的意義去絕對值符號求解. 【解析】由絕對值的意義，等價于，即 ，即. 【答案】. 5. （xx·重慶高考

3、理科·Ｔ16）若關(guān)于實數(shù)的不等式無解，則實數(shù)的取值范圍是 【解題指南】 利用絕對值不等式的性質(zhì)進行求解. 【解析】不等式無解，即 因為,所以 【答案】 . 6. （xx·湖北高考理科·Ｔ13）設(shè)x，y，z∈R，且滿足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,則x+y+z= 【解題指南】根據(jù)柯西不等式等號成立的條件，求出相應(yīng)的x，y，z的值。 【解析】由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32），當且僅當時取等號，此時y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=，所以，，，x+y+z= 【答案】 . 7. （

4、xx·湖南高考理科·Ｔ10）已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,則a2+4b2+9c2的最小值為　　　　. 【解題指南】本題是利用柯西不等式求最值 【解析】因為，所以 【答案】 12. 三、解答題 8.（xx·遼寧高考文科·Ｔ24）與（xx·遼寧高考理科·Ｔ24）相同 已知函數(shù) 當時，求不等式的解集； 已知關(guān)于的不等式的解集為，求的值。 【解題指南】利用絕對值的意義，去掉絕對值號，轉(zhuǎn)化為整式不等式問題，是常用的化歸方法. 【解析】當時， 當時，由； 當時，由，不成立； 當時，由； 綜上， 所以，當時，不等式的解集為 記 則 由得， 即 由已知不等

5、式的解集為 亦即的解集為 所以解得24. 9.（xx·新課標Ⅰ高考文科·Ｔ24）與（xx·新課標Ⅰ高考理科·Ｔ24）相同 已知函數(shù), （Ⅰ）當時，求不等式的解集； （Ⅱ）設(shè),且當)時，,求的取值范圍. 【解析】當時，不等式化為. 設(shè)函數(shù)，則 其圖象如圖所示， 從圖象可知，當且僅當時，.所以原不等式的解集是. （Ⅱ）當時，. 不等式化為. 所以對都成立，故，即. 從而的取值范圍為 10. （xx·湖南高考理科·Ｔ20）在平面直角坐標系xOy中,將從點M出發(fā)沿縱、橫方向到達點N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”.如圖所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N

6、都是M到N的“L路徑”.某地有三個新建的居民區(qū),分別位于平面xOy內(nèi)三點A(3,20),B(-10,0),C(14,0)處.現(xiàn)計劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點P處修建一個文化中心. (1)寫出點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達式(不要求證明). (2)若以原點O為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)部是保護區(qū),“L路徑”不能進入保護區(qū),請確定點P的位置,使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度值和最小. 【解題指南】(1)本題必須根據(jù)題目中圖的提示弄清“L路徑”是由直線段構(gòu)成,所以只能用絕對值來表示. (2)先寫出點P到三個居民區(qū)的“L路徑”,則點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度值和的最小

7、值為三個“L路徑”的最小值之和,再利用絕對值知識去處理. 【解析】設(shè)點P的坐標為(x,y), (1)點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值為|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞). (2)由題意知,點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和的最小值為點P分別到三個居民區(qū)的“L路徑”長度最小值之和(記為d)的最小值. ①當y≥1時,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|, 因為d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,　(*) 當且僅當x=3時,不等式(*)中的等號成立, 又因為|x+10|+|x-14|≥24

8、.　(**) 當且僅當x∈[-10,14]時,不等式(**)中的等號成立. 所以d1(x)≥24,當且僅當x=3時,等號成立, d2(y)=2y+|y-20|≥21,當且僅當y=1時,等號成立.故點P的坐標為(3,1)時,P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小,且最小值為45. ②當0≤y≤1時,由于“L路徑”不能進入保護區(qū),所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|. 此時,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21. 由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d

9、2(y)≥45,當且僅當x=3,y=1時等號成立. 綜上所述,在點P(3,1)處修建文化中心,可使該文化中心到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小. 11.（xx·安徽高考理科·Ｔ20） 設(shè)函數(shù)，證明： （1）對每個，存在唯一的，滿足； （2）對任意，由（1）中構(gòu)成的數(shù)列滿足。 【解題指南】 （1）利用導數(shù)證明在內(nèi)單調(diào)遞增，證明在內(nèi)有零點；（2）利用（1）得的遞減函數(shù)，聯(lián)立與得的關(guān)系式，適當放縮證明。 【解析】（1）對每個，當x>0時，內(nèi)單調(diào)遞增，由于，當， 又 =，所以存在唯一的滿足。 （2） 當x>0時，，故 由內(nèi)單調(diào)遞增知，為單調(diào)遞減數(shù)列，從而對任意，，對任意，由于

10、 ① ② ①式減去②式并移項，利用得 ， 因此，對任意，都有。 12.（xx·福建高考理科·Ｔ21）設(shè)不等式的解集為A,且 （Ⅰ）求的值 （Ⅱ）求函數(shù)的最小值 【解析】（Ⅰ）因為，且，所以，且 解得，又因為，所以 （Ⅱ）因為 當且僅當(x+1)(x-2)≤0即-1≤x≤2時取到等號,所以f(x)的最小值為3. 13.. （xx·新課標全國Ⅱ高考文科·Ｔ24）與（xx·新課標全國Ⅱ高考理科·Ｔ24）相同 設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明： （1） （2） 【解題指南】(1)將兩邊平方，化簡整理，借助不等式的性質(zhì)，即得結(jié)論. (2) 證，也即證 可分別證然后相加即得. 【解析】（1）由得 由題設(shè)得即 所以，即當且僅當“ ”時等號成立。 （2）因為 當且僅當“”時等號成立. 故，即 所以.