九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十講 直線與圓

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1、九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十講 直線與圓 直線與圓的位置有相交、相切、相離三種情形，既可從直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判定，也可以從圓心到直線的距離與圓的半徑的大小比較來(lái)考察． 討論直線與圓的位置關(guān)系的重點(diǎn)是直線與圓相切，直線與圓相切涉及切線的性質(zhì)和判定、切線長(zhǎng)定理、弦切角的概念和性質(zhì)、切割線定理等豐富的知識(shí)，這些豐富的知識(shí)對(duì)應(yīng)著以下基本圖形、基本結(jié)論： 注： 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系的確定有共同的精確判定方法，即量化的方法(距離與半徑的比較)，我們稱“由數(shù)定形”，勾股定理的逆定理也具有這一特點(diǎn)． 【例題求解】 【例1】 如圖，AB是半圓O的直徑，CB切⊙O于B，C

2、D切⊙O于D，交BA的延長(zhǎng)線于E，若EA=1，ED=2，則BC的長(zhǎng)為 ． 思路點(diǎn)撥 從C點(diǎn)看，可用切線長(zhǎng)定理，從E點(diǎn)看，可用切割線定理，而連OD，則OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半徑． 注：連結(jié)圓心與切點(diǎn)是一條常用的輔助線，利用切線的性質(zhì)可構(gòu)造出直角三角形，在圓的證明與計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用． 【例2】 如圖，AB、AC與⊙O相切于B、C，∠A=50°，點(diǎn)P是圓上異于B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是( ) A．65° B．115° C．60°和115° D．130°和50°

3、 思路點(diǎn)撥 略 【例3】 如圖，以等腰△ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過(guò)D作DE⊥AC于E，可得結(jié)論：DE是⊙O的切線． 問(wèn)：(1)若點(diǎn)O在AB上向點(diǎn)B移動(dòng)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓的交BC于D，DE⊥AC的條件不變，那么上述結(jié)論是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圓心O在AB的什么位置時(shí)，⊙O與AC相切? 思路點(diǎn)撥 (1)是結(jié)論探索題，(2)是條件探索題，從切線的判定方法和性質(zhì)入手，分別畫(huà)圖，方

4、能求解． 【例4】 如圖，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合)，Q是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合)． (1)當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點(diǎn)時(shí)，求線段PC的長(zhǎng)； (2)當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，△CPQ可能為直角三角形嗎?若有可能，求出線段CQ的長(zhǎng)的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 思路點(diǎn)撥 對(duì)于(2)，易發(fā)現(xiàn)只有點(diǎn)P能作為直角頂點(diǎn)，建立一個(gè)研究的模型——以CQ為直徑的圓與線段AB的交點(diǎn)就是符合要求的點(diǎn)P，從直線與圓相切特殊位置入手，

5、以此確定CQ的取值范圍． 注：判定一直線為圓的切線是平面幾何中一種常見(jiàn)問(wèn)題，判定的基本方法有： (1)從直線與圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)入手； (2)利用角證明，即證明半徑和直線垂直； (3)運(yùn)用線段證明，即證明圓心到直線的距離等于半徑． 一個(gè)圓的問(wèn)題，從不同的條件出發(fā)，可有不同的添輔助線方式，進(jìn)而可得不同的證法，對(duì)于分層次設(shè)問(wèn)的問(wèn)題，需整體考慮； 【例5】如圖，在正方形ABCD中，AB=1，是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧，點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過(guò)E作所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)． （1）當(dāng)∠

6、DEF=45°時(shí)，求證點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)； （2）設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域； （3）將△DEF沿直線EF翻折后得△D1EF，如圖，當(dāng)EF=時(shí)，討論△AD1D與△ED1F是否相似，如果相似，請(qǐng)加以證明；如果不相似，只要求寫(xiě)出結(jié)論，不要求寫(xiě)出理由． 思路點(diǎn)撥 圖中有多條⊙B的切線，由切線長(zhǎng)定理可得多對(duì)等長(zhǎng)線段，這是解(1)、(2)問(wèn)的基礎(chǔ)，對(duì)于(3)，由(2)求出的值，確定E點(diǎn)位置，這是解題的關(guān)鍵． 注：

7、本例將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，綜合了圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等豐富的知識(shí)，并結(jié)合了待定系數(shù)法、數(shù)形互 助等思想方法，具有較強(qiáng)的選拔功能． 學(xué)力訓(xùn)練 1．如圖，AB為⊙O的直徑，P點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線上，PM切⊙O于M點(diǎn)，若OA=， FM=，那么△PMB的周長(zhǎng)為 ． 2．PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78°，點(diǎn)C是⊙O上異于A、B的任意一點(diǎn)，則 ∠ACB= ． 3．如圖，EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠F=46°，∠DCF=3

8、2°，則∠A的度數(shù)是 ． 4．如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O交BC于D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于E，要使DE⊥AC，則△ABC的邊必須滿足的條件是 ． 5．、表示直線，給出下列四個(gè)論斷：①∥；②切⊙O于點(diǎn)A；③切⊙O于點(diǎn)B；④AB是⊙O的直徑．若以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，可以構(gòu)造出一些命題，在這些命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為( ) 1 B

9、．2 C．3 D．4 6．如圖，圓心O在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD的對(duì)角線BD上，⊙O過(guò)B點(diǎn)且與AD、DC邊均相切，則⊙O的半徑是( ) A． B． C． D． 7．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC

10、個(gè) C．只有兩個(gè) D．有無(wú)數(shù)個(gè) ⌒ ⌒ 8．如圖，圓內(nèi)接△ABC的外角∠ACH的平分線與圓交于D點(diǎn)，DP⊥AC于P，DH⊥BH于H，下列結(jié)論：①CH=CP；②A D=DB；③AP＝BH；④DH為圓的切線，其中一定成立的是( ) A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③

11、 9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半徑為1， (1)求弦AC、AB的長(zhǎng)； (2)若P為CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，試確定P點(diǎn)的位置，使PA與⊙O相切，并證明你的結(jié)論． 10．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，弦CD⊥AB于E，且PC2=PE·PO． (1)求證：PC是⊙O的切線； (2)若OE：EA=1：2，且PA＝6，求⊙O的半徑； (3)求sin∠PCA的值． 11．(1)如圖a，已知直線AB過(guò)圓心O，交⊙O于A、B，直線A

12、F交⊙O于F(不與B重合)，直線交⊙O于C、D，交AB于E且與AF垂直，垂足為G，連AC、 AD，求證：①∠BAD=∠CAG；②AC·AD=AE·AF． (2)在問(wèn)題(1)中，當(dāng)直線向上平行移動(dòng)與⊙O相切時(shí)，其他條件不變． ①請(qǐng)你在圖b中畫(huà)出變化后的圖形，并對(duì)照?qǐng)Da標(biāo)記字母； ②問(wèn)題(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否成立?如果成立，請(qǐng)給出證明；如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． 12．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O分別與AB、AC相切于點(diǎn)E、F，圓心O在BC上，若AB=a，AC=b，則⊙O的半徑等于 ． 13．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)M是半徑OA

13、的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)M重合)，點(diǎn)Q在半圓O上運(yùn)動(dòng)，且總保持PQ=PO，過(guò)點(diǎn)Q作⊙O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C． (1)當(dāng)∠QPA=60°時(shí)，請(qǐng)你對(duì)△QCP的形狀做出猜想，并給予證明． (2)當(dāng)QP⊥AB時(shí)，△QCP的形狀是 三角形． (3)由(1)、(2)得出的結(jié)論，請(qǐng)進(jìn)一步猜想當(dāng)點(diǎn)P在線段AM上運(yùn)動(dòng)到任何位置時(shí)，△QCP一定是 三角形． 14．如圖，已知AB為⊙O的直徑，CB切⊙O于B ，CD切⊙O于D，交BA的延長(zhǎng)線于E，若AB=3，

14、ED=2，則BC的長(zhǎng)為( ) A．2 B．3 C．3．5 D．4 ⌒ ⌒ 15．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B切點(diǎn)，直線OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF為⊙O的直徑，下列結(jié)論：(1)∠APB=∠AOP；(2)BC=DF；(3)PC·PD=PE·PO，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有( ) A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè) 16．如圖，已知△ABC，過(guò)點(diǎn)A作外接圓的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，，點(diǎn)D在AC上，且，延長(zhǎng)PD交AB于點(diǎn)E，則的值為(

15、 ) A． B． C． D． ⌒ ⌒ 17．如圖，已知AB為半圓O的直徑，AP為過(guò)點(diǎn)A的半圓的切線． 在AB上任取一點(diǎn)C(點(diǎn)C與A、B不重合)，過(guò)點(diǎn)C作半圓的切線CD交AP于點(diǎn)D；過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．連結(jié)BD，交CE于點(diǎn)F． (1)當(dāng)點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)時(shí)(如圖1)，求證：CF＝EF；

16、 (2)當(dāng)點(diǎn)C不是AB的中點(diǎn)時(shí)(如圖2)，試判斷CF與EF的相等關(guān)系是否保持不變，并證明你的結(jié)論． 18．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，點(diǎn)D在AC邊上，以D為圓心的⊙D與AB切于點(diǎn)E． (1)求證：△ADE∽△ABC； (2)設(shè)⊙D與BC交于點(diǎn)F，當(dāng)CF=2時(shí)，求CD的長(zhǎng)； (3)設(shè)CD=，試給出一個(gè)值，使⊙D與BC沒(méi)有公共點(diǎn)，并說(shuō)明你給出的值符合的要求．

17、 19．如圖，PA、PB與⊙O切于A、B兩點(diǎn)，PC是任意一條割線，且交⊙O于點(diǎn)E、C，交AB于點(diǎn)D．求證： 20．如圖，⊙Oˊ與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，圓心Oˊ的坐標(biāo)是(1，一1)，半徑是， (1)求A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的切線的解析式； (3)問(wèn)過(guò)點(diǎn)A的切線與過(guò)點(diǎn)D的切線是否垂直?若垂直，請(qǐng)寫(xiě)出 證明過(guò)程；若不垂直，試說(shuō)明理由． 21．當(dāng)你進(jìn)入博物館的展覽廳時(shí)，你知道站在何處觀賞最理想? 如圖，設(shè)墻壁上的展品最高處點(diǎn)P距離地面a米，最低處點(diǎn)Q距離地面b米，觀賞者的眼睛點(diǎn)E距離地面m米，當(dāng)過(guò) P、Q、E三點(diǎn)的圓與過(guò)點(diǎn)E的水平線相切于點(diǎn)E時(shí)，視角∠PEQ最大，站在此處觀賞最理想． (1)設(shè)點(diǎn)E到墻壁的距離為x米，求a、b、m，x的關(guān)系式； (2)當(dāng)a=2.5，b=2，m=1.6時(shí)，求： (a)點(diǎn)E和墻壁距離x米；(b)最大視角∠PER的度數(shù)(精確到1度)． 參考答案