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1、九年級數學競賽輔導講座 第一講 走進追問求根公式
形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．
求根公式內涵豐富：它包含了初中階段已學過的全部代數運算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實根、實根的個數、何時有實根等基本問題；它展示了數學的簡潔美．
降次轉化是解方程的基本思想，有些條件中含有(或可轉化為)一元二次方程相關的問題，直接求解可能給解題帶來許多不便，往往不是去解這個二次方程，而是對方程進行適當的變形來代換，從而使問題易于解決．解題時常用到變形降次、整體代入、構造零值多項式
2、等技巧與方法．
【例題求解】
【例1】滿足的整數n有 個．
思路點撥 從指數運算律、±1的特征人手，將問題轉化為解方程．
【例2】設、是二次方程的兩個根，那么的值等于（ ）
A． 一4 B．8 C．6 D．0
思路點撥 求出、的值再代入計算，則計算繁難，解題的關鍵是利用根的定義及變形，使多項式降次，如，．
【例3】 解關于的方程．
思路點撥 因不知曉原方程的類型，故需分及兩種情況討論．
【例4】 設方程，求滿足該方程的所有根之和．
思路點撥 通過討論，脫去
3、絕對值符號，把絕對值方程轉化為一般的一元二次方程求解．
【例5】 已知實數、、、互不相等，且， 試求的值．
思路點撥 運用連等式，通過迭代把、、用的代數式表示，由解方程求得的值．
注： 一元二次方程常見的變形形式有：
(1)把方程（）直接作零值多項式代換；
(2)把方程（）變形為，代換后降次；
(3)把方程（）變形為或，代換后使之轉化關系或整體地消去．
解合字母系數方程時，在未指明方程類型時，應分及兩種情況討論；解
4、絕對值方程需脫去絕對值符號，并用到絕對值一些性質，如．
學歷訓練
1．已知、是實數，且，那么關于的方程的根為 ．
2．已知，那么代數式的值是 ．
3．若，，則的值為 ．
4．若兩個方程和只有一個公共根，則( )
A． B． C． D．
5．當分式有意義時，的取值范圍是( )
A．
5、B． C． D．且
6．方程的實根的個數是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
7．解下列關于的方程：
(1)；
(2)； (3)．
8．已知，求代數式的值．
9．是否存在某個實數m，使得方程和有且只有一個公共的實根?如果存在，求出這個實數m及兩方程的公共實根；如果不存在，請說明理由．
注： 解公共根問題的基本策略是：當方程的根有簡單形式表示時，利用公共根相等求解，當方程的根不便于
6、求出時，可設出公共根，設而不求，通過消去二次項尋找解題突破口．
10．若，則＝ ．
11．已知、是有理數，方程有一個根是，則的值為 ．
12．已知是方程的一個正根。則代數式的值為 ．
13．對于方程，如果方程實根的個數恰為3個，則m值等于( )
A．1 n．2 C． D．2．5
14．自然數滿足，這樣的的個數是( )
A．2 B．1 C．3 D．4
15．已知、
7、都是負實數，且，那么的值是( )
A． B． C． D．
16．已知，求的值．
17．已知m、n是一元二次方程的兩個根，求的值．
18．在一個面積為l的正方形中構造一個如下的小正方形：將正方形的各邊等分，然后將每個頂點和它相對頂點最近的分點連結起來，如圖所示，若小正方形面積為，求的值．
19．已知方程的兩根、也是方程的根，求、的值．
20．如圖，銳角△ABC中，PQRS是△ABC的內接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中為不小于3的自然數．求證：需為無理數．
參考答案
九年級數學競賽輔導講座 第一講 走進追問求根公式
