2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1 周期現(xiàn)象 2 角的概念的推廣學(xué)案 北師大版必修4

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1、 1 周期現(xiàn)象 2 角的概念的推廣 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解現(xiàn)實(shí)生活中的周期現(xiàn)象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握終邊相同的角的含義及其表示． 知識(shí)點(diǎn)一　周期現(xiàn)象 思考　“鐘表上的時(shí)針每經(jīng)過12小時(shí)運(yùn)行一周，分針每經(jīng)過1小時(shí)運(yùn)行一周，秒針每經(jīng)過1分鐘運(yùn)行一周．”這樣的現(xiàn)象，具有怎樣的屬性？ 梳理　(1)以相同間隔重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象叫作周期現(xiàn)象． (2)要判斷一種現(xiàn)象是否為周期現(xiàn)象，關(guān)鍵是看每隔一段時(shí)間這種現(xiàn)象是否會(huì)________出現(xiàn)，若出現(xiàn)，則為周期現(xiàn)象；否則，不是周期現(xiàn)象． 知識(shí)點(diǎn)二　角的相關(guān)概念 思考1　將射線OA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB位置，有幾種旋轉(zhuǎn)方向？

2、 思考2　如果一個(gè)角的始邊與終邊重合，那么這個(gè)角一定是零角嗎？ 梳理　(1)角的概念：角可以看成平面內(nèi)____________繞著________從一個(gè)位置________到另一個(gè)位置所形成的圖形． (2)角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類： 類型 定義 圖示 正角 按________________形成的角 負(fù)角 按____________________形成的角 零角 一條射線____________________，稱它形成了一個(gè)零角 知識(shí)點(diǎn)三　象限角 思考　把角的頂點(diǎn)放在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，旋轉(zhuǎn)該角，則

3、其終邊(除端點(diǎn)外)可能落在什么位置？ 梳理　在直角坐標(biāo)系內(nèi)，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合． 象限角：________在第幾象限就是第幾象限角； 軸線角：________落在坐標(biāo)軸上的角． 知識(shí)點(diǎn)四　終邊相同的角 思考1　假設(shè)60°的終邊是OB，那么－660°，420°的終邊與60°的終邊有什么關(guān)系，它們與60°分別相差多少？ 思考2　如何表示與60°終邊相同的角？ 梳理　終邊相同角的表示 一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}， 即任何一個(gè)與角α終邊相同的角，都可以

4、表示成角α與________的整數(shù)倍的和． 類型一　周期現(xiàn)象的應(yīng)用 例1　水車上裝有16個(gè)盛水槽，每個(gè)盛水槽最多盛水10升，假設(shè)水車5分鐘轉(zhuǎn)一圈，計(jì)算1小時(shí)內(nèi)最多盛水多少升？ 反思與感悟　(1)應(yīng)用周期現(xiàn)象中“周而復(fù)始”的規(guī)律性可以達(dá)到“化繁為簡(jiǎn)”、“化無(wú)限為有限”的目的． (2)只要確定好周期現(xiàn)象中重復(fù)出現(xiàn)的“基本單位”就可以把問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)周期內(nèi)來(lái)解決． 跟蹤訓(xùn)練1　利用例1中的水車盛800升的水，至少需要多少時(shí)間？ 類型二　象限角的判定 例2　在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角． (1)－150°；(2)65

5、0°；(3)－950°15′. 反思與感悟　判斷象限角的步驟 (1)當(dāng)0°≤α<360°時(shí)，直接寫出結(jié)果． (2)當(dāng)α<0°或α≥360°時(shí)，將α化為k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，轉(zhuǎn)化為判斷角β所屬的象限． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)判斷下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范圍內(nèi)終邊相同的角． ①549°；②－60°；③－503°36′. (2)若α是第二象限角，試確定2α、是第幾象限角． 類型三　終邊相同的角 命題角度1　求與已知角終邊相同的角 例3　在與角10 030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角． (1)最大的負(fù)角

6、；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角． 反思與感悟　求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值． 跟蹤訓(xùn)練3　寫出與α＝－1 910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來(lái)． 命題角度2　求終邊在給定直線上的角的集合 例4　寫出終邊在直線y＝－x上的角的集合． 反思與感悟　求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類討論的思想，即分x≥0和x<0兩種情況討論，最后再進(jìn)行合并． 跟蹤訓(xùn)練4　寫出終邊在直線y＝x上的角的集合．

7、 1．下列是周期現(xiàn)象的為(　　) ①閏年每四年一次； ②某交通路口的紅綠燈每30秒轉(zhuǎn)換一次； ③某超市每天的營(yíng)業(yè)額； ④某地每年6月份的平均降雨量． A．①②④ B．②④ C．①② D．①②③ 2．與－457°角終邊相同的角的集合是(　　) A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z} C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z} D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z} 3．2 017°是第________象限角． 4．一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，在平衡位置O點(diǎn)附近振動(dòng)，如果不考慮阻力，可將此振動(dòng)看作周期運(yùn)動(dòng)，從O點(diǎn)

8、開始計(jì)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)第一次到達(dá)M點(diǎn)用了0.3 s，又經(jīng)過0.2 s第二次通過M點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)第三次通過M點(diǎn)，還要經(jīng)過的時(shí)間是________s. 5．已知，如圖所示． (1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合； (2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合． 1．判斷是否為周期現(xiàn)象，關(guān)鍵是看在相同的間隔內(nèi)，圖像是否重復(fù)出現(xiàn)． 2．由于角的概念推廣了，那么終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，這無(wú)數(shù)個(gè)終邊相同的角構(gòu)成一個(gè)集合．與α角終邊相同的角可表示為{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要領(lǐng)會(huì)好k∈Z的含義． 3．熟記終邊在坐標(biāo)軸上的各角的度數(shù)，才能正確快速地用不等式表示各象

9、限角，注意不等式表示的角的終邊隨整數(shù)k的改變而改變時(shí)，要對(duì)k分類討論． 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考　周而復(fù)始，重復(fù)出現(xiàn)． 梳理　(2)重復(fù) 知識(shí)點(diǎn)二 思考1　有順時(shí)針和逆時(shí)針兩種旋轉(zhuǎn)方向． 思考2　不一定，若角的終邊未作旋轉(zhuǎn)，則這個(gè)角是零角．若角的終邊作了旋轉(zhuǎn)，則這個(gè)角就不是零角． 梳理　(1)一條射線　端點(diǎn)　旋轉(zhuǎn) (2)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)　順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)　沒有作任何旋轉(zhuǎn) 知識(shí)點(diǎn)三 思考　終邊可能落在坐標(biāo)軸上或四個(gè)象限內(nèi)． 梳理　終邊　終邊 知識(shí)點(diǎn)四 思考1　它們的終邊相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它們與60°分別相隔了

10、2個(gè)周角的和及1個(gè)周角． 思考2　60°＋k·360°(k∈Z)． 梳理　周角 題型探究 例1　解　因?yàn)?小時(shí)＝60分鐘＝12×5分鐘，且水車5分鐘轉(zhuǎn)一圈， 所以1小時(shí)內(nèi)水車轉(zhuǎn)12圈． 又因?yàn)樗嚿涎b有16個(gè)盛水槽，每個(gè)盛水槽最多盛水10升， 所以每轉(zhuǎn)一圈，最多盛水16×10＝160(升)， 所以水車1小時(shí)內(nèi)最多盛水160×12＝1 920(升)． 跟蹤訓(xùn)練1　解　設(shè)x分鐘后盛水y升，由例1知每轉(zhuǎn)一圈，水車最多盛水16×10＝160(升)， 所以y＝·160＝32x，為使水車盛800升的水， 則有32x≥800，所以x≥25， 即水車盛800升的水至少需要25分鐘．

11、例2　解　(1)因?yàn)椋?50°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－150°角終邊相同的角是210°角，它是第三象限角． (2)因?yàn)?50°＝360°＋290°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與650°角終邊相同的角是290°角，它是第四象限角． (3)因?yàn)椋?50°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－950°15′角終邊相同的角是129°45′角，它是第二象限角． 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角為第三象限的角，與189°角終邊相同． ②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角為第四象限的角，

12、與300°角終邊相同． ③∵－503°36′＝216°24′－2×360°， ∴－503°36′角為第三象限的角，與216°24′角終邊相同． (2)由題意得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，① 所以180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)． 故2α是第三或第四象限角或終邊落在y軸非正半軸上的角． 由①得45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)， 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k＝2n(n∈Z)， 得45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，故是第一象限角． 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k＝2n＋1(n∈Z)，得45°＋1

13、80°＋n·360°<<90°＋180°＋n·360°(n∈Z)， 即225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)， 故為第三象限角． 綜上可知，為第一或第三象限角． 例3　解　與10 030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)． (1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大負(fù)角為β＝－50°. (2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°， 得－10 030°＜k·360°＜－9 670°， 解得k＝－27， 故所求的最小正角為β

14、＝310°. (3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°， 得－9 670°≤k·360°＜－9 310°， 解得k＝－26，故所求的角為β＝670°. 跟蹤訓(xùn)練3　解　由終邊相同的角的表示知，與角α＝－1 910°終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}． ∵－720°≤β＜360°， 即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)， ∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6. 當(dāng)k＝4時(shí)，β＝4×360°－1 910°＝－470°； 當(dāng)k＝5時(shí)，β＝5×360°－1 910°＝－110°； 當(dāng)k＝6時(shí)，β＝6×36

15、0°－1 910°＝250°. 例4　解　終邊在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}； 終邊在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}． 因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}， 即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}． 故終邊在直線y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，

16、n∈Z}． 跟蹤訓(xùn)練4　解　終邊在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}； 終邊在y＝x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}． 因此，終邊在直線y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}， 即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}． 故終邊在直線y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．C　2.C　3.三　4.1.4 5．解　(1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}． 終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}． (2)終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}． 8