2020屆高考數學大二輪復習 層級二 專題七 系列4選考 第1講 坐標系與參數方程教學案（選修4-4）

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1、 第1講　選修4－4 坐標系與參數方程 [考情考向·高考導航] 高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程；參數方程與普通方程的互化，常見曲線的參數方程及參數方程的簡單應用．以極坐標、參數方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關系等解析幾何知識． [真題體驗] 1．(2018·全國Ⅰ卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐標方程； (2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程． 解：(1

2、)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓． 由題設知，C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點． 當l1與C2只有一個公共點時，A到l1 所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0.經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩

3、個公共點． 當l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝.經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝時，l2與C2沒有公共點． 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 2．(2019·全國Ⅰ卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為，(t為參數)．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0. (1)求C和l的直角坐標方程； (2)求C上的點到l距離的最小值． 解：(1)曲線C參數方程為 由①2＋2得 x2＋2＝1，又∵－1＜≤1， ∴曲線C的直角坐標方程為x2＋

4、＝1(x≠－1)． 由，得直線l的直角坐標方程為2x＋y＋11＝0. (2)C上的點(cos θ，2sin θ)到直線l的距離d＝＝ 當sin＝－1時，dmin＝. 即C上的點到l距離的最小值為. [主干整合] 1．直角坐標與極坐標的互化 把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸， 且在兩坐標系中取相同的長度單位．設M是平面內的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(ρ，θ)，則 2．直線的極坐標方程 若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾個特殊位置的直線的極坐標方程： (1)

5、直線過極點：θ＝α； (2)直線過點M(a,0)(a＞0)且垂直于極軸；ρcos θ＝a； (3)直線過M且平行于極軸：ρsin θ＝b. 3．圓的極坐標方程 幾個特殊位置的圓的極坐標方程： (1)當圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r； (2)當圓心位于M(r,0)，半徑為r：ρ＝2rcos θ； (3)當圓心位于M，半徑為r：ρ＝2rsin θ. 4．直線的參數方程 經過點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數方程為(t為參數)． 設P是直線上的任一點，則t表示有向線段的數量． 5．圓、橢圓的參數方程 (1)圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數方程為(θ為參數

6、，0≤θ≤2π)． (2)橢圓＋＝1的參數方程為(θ為參數)． 熱點一　極坐標方程及其應用 數學 運算 素養(yǎng) 數學運算——極坐標應用問題中的核心素養(yǎng) 數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程，在極坐標應用中加強運算求解能力和轉化與化歸思想. [例1]　(2019·全國Ⅲ卷) 如圖，在極坐標系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圓的圓心分別是(1,0)，，(1，π)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧. (1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標方程； (2)曲線M由M1，M2，M3構成，若點P在M上，且|OP|＝，求P

7、的極坐標． [審題指導]　(1)依據條件直接寫出圓的極坐標方程，因為是圓弧，所以要對極角θ進行范圍限制． (2)根據點P在三段圓弧上的不同情況分類討論，由|OP|＝分別求出極角，從而確定點P的極坐標． [解]　(1)由題設可得，弧所在圓的極坐標方程分別為ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ. 所以M1的極坐標方程為ρ＝2cos θ，M2的極坐標方程為ρ＝2sin θ，M3的極坐標方程為ρ＝－2cos θ. (2)設P(ρ，θ)，由題設及(1)知 若0≤θ≤，則2cos θ＝，解得θ＝； 若≤θ≤，則2sin θ＝，解得θ＝或θ＝； 若≤θ≤π，則－2cos θ

8、＝，解得θ＝. 綜上，P的極坐標為或或或. 極坐標方程問題的求解方法 有關曲線的極坐標方程的問題中，常見的有直線與圓的交點問題，圓心到直線的距離問題等．一般情況下，解決的方案是：化極坐標方程為平面直角坐標方程，然后用平面解析幾何的方法解決問題，必要時，還要把結果返回到極坐標系中． (2018·江蘇卷)在極坐標系中，直線l的方程為ρsin(－θ)＝2，曲線C的方程為ρ＝4cos θ，求直線l被曲線C截得的弦長． 解： 因為曲線C的極坐標方程為ρ＝4cos θ， 所以曲線C是圓心為(2,0)，直徑為4的圓． 因為直線l的極坐標方程為ρsin(－θ)＝2， 則直線l過A

9、(4,0)，傾斜角為， 所以A為直線l與圓C的一個交點． 設另一個交點為B，則∠OAB＝. 連結OB.因為OA為直徑，從而∠OBA＝， 所以AB＝OA·cos∠OAB＝4cos＝2. 因此，直線l被曲線C截得的弦長為2. 熱點二　參數方程及其應用 [例2]　(2018·全國Ⅱ卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)． (1)求C和l的直角坐標方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率． [審題指導]　(1)直接消去參數可得曲線的直角坐標方程，注意對相關系數的分類討論； (2)利用直線參數方程中參

10、數的幾何意義求解． [解析]　(1)曲線C的參數方程為(θ為參數)， ∴＋＝1. 直線l的參數方程為(t為參數) ∴＝tan α(α≠90°)，即tan α·x－y＋2－tan α＝0，當α＝90°時，x＝1. 綜上，l： (2)當α＝90°，點(1,2)不為中點，∴不成立． 當a≠90°，把l代入曲線C中得：4x2＋[tan α·(x－1)＋2]2＝16， 化簡得：(4＋tan2α)x2＋(4tan α－2tan2α)x＋tan2α－4tan α－12＝0， ∵點(1,2)為弦的中點，∴x1＋x2＝2，即＝2， ∴tan α＝－2，∴直線l的斜率k＝－2. 參數方程

11、與普通方程的互化及應用技巧 (1)將參數方程化為普通方程的過程就是消去參數的過程，常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等，往往需要對參數方程進行變形，為消去參數創(chuàng)造條件．但在消參時要注意參數范圍等價變形． (2)在與直線、圓、橢圓有關的題目中，參數方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數方程代入相關曲線的普通方程中，根據參數的取值條件求解． (2018·全國Ⅲ卷)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數方程為，(θ為參數)，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點P的軌跡的參數方程．

12、 解析：(1)⊙O的普通方程為x2＋y2＝1. 當α＝時，l與⊙O交于兩點． 當α≠時，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點且當且僅當＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數方程為(t為參數，＜α＜)． 設A，B，P對應的參數分別為tA，tB，tP，則tP＝， 且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點P的坐標(x，y)滿足 所以點P的軌跡的參數方程是(α為參數，＜α＜)． 熱點三　極坐標與參數方程的綜合應用 [例3]　(2020·廣東七校聯(lián)考)已

13、知橢圓C：(φ為參數)，A，B是橢圓C上的動點，且滿足OA⊥OB(O為坐標原點)．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點D的極坐標為. (1)求線段AD的中點M的軌跡E的普通方程． (2)利用橢圓C的極坐標方程證明＋為定值，并求△AOB面積的最大值． [審題指導]　(1)利用參數法求出軌跡E的參數方程，再化為普通方程即可；(2)求出橢圓C的極坐標方程，由題設條件設出A，B兩點的極坐標，代入橢圓C的極坐標方程即可證明＋為定值，利用極坐標建立關于△AOB面積的函數解析式，從而求出△AOB面積的函數解析式，從而法度出△AOB面積的最大值． [解析]　(1)點D的直角坐標為(2,2

14、)． 由題意可設點A的坐標為(2cos α，sin α)， 則AD的中點M的坐標為， 所以點M的軌跡E的參數方程為(α為參數)，消去α可得E的普通方程為(x－1)2＋4(y－)2＝1. (2)橢圓C的普通方程為＋y2＝1. 化為極坐標方程得ρ2＋3ρ2sin2θ＝4，變形得ρ＝. 由OA⊥OB，不妨設A(ρ1，θ)，B， 所以＋＝＋＝＋＝＝(定值)． 所以△AOB的面積S＝ρ1ρ2 ＝＝ ＝ 易知當sin 2θ＝0時，△AOB的面積取得最大值1. 1．涉及參數方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解．當然，還要結合題目本身特點，

15、確定選擇何種方程． 2．數形結合的應用，即充分利用參數方程中參數的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，能達到化繁為簡的解題目的． (2020·惠州質檢)已知曲線C的極坐標方程是ρ＝4cos θ.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是(t是參數)， (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)若直線l與曲線C相交于A、B兩點，且|AB|＝，求直線l的傾斜角α的值． 解析：(1)由ρ＝4cos θ得其直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4. (2)將代入圓C的方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，化簡

16、得t2－2tcos α－3＝0. 設A、B兩點對應的參數分別為t1、t2， 則 ∴|AB|＝|t1－t2|＝ ＝＝， ∴4cos2α＝2，故cos α＝±，即α＝或. 限時45分鐘　滿分50分 解答題(本大題共5小題，每小題10分，共50分) 1．(2020·惠州模擬)已知曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ＋2sin θ，直線l1：θ＝(ρ∈R)，直線l2：θ＝(ρ∈R)．以極點O為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系． (1)求直線l1，l2的直角坐標方程以及曲線C的參數方程； (2)若直線l1與曲線C交于O，A兩點，直線l2與曲線C交于O，B兩點，求△A

17、OB的面積． 解析：(1)依題意，直線l1的直角坐標方程為y＝x，直線l2的直角坐標方程為y＝x. 由ρ＝2cos θ＋2sin θ得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， 因為ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)， 所以(x－)2＋(y－1)2＝4， 所以曲線C的參數方程為(α為參數)． (2)聯(lián)立得所以|OA|＝4， 同理，|OB|＝2. 又∠AOB＝， 所以S△AOB＝·|OA|·|OB|·sin∠AOB＝×4×2×＝2， 即△AOB的面積為2. 2．(2019·全國Ⅱ卷)在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲線C：ρ＝4sin

18、θ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P. (1)當θ0＝時，求ρ0及l(fā)的極坐標方程； (2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程． 解：(1)因為M(ρ0，θ0)在C上，當θ0＝時，ρ0＝4sin ＝2.由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2. 設Q(ρ，θ)為l上除P的任意一點，在Rt△OPQ中，ρcos ＝|OP|＝2. 經檢驗，點P在曲線ρcos ＝2上． 所以，l的極坐標方程為ρcos ＝2. (2)設P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，則ρ＝4cos θ， 因為P在線段OM上，且AP⊥OM，故θ的

19、取值范圍是. 所以，P點軌跡的極坐標方程為ρ＝4cos θ， θ∈. 3．(2020·成都摸底)在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)．在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ2(1＋2cos2θ)＝3. (1)寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程； (2)設點M(1,1)，若直線l與曲線C相交于不同的兩點A，B，求|AM|＋|BM|的值． 解析：(1)由直線l的參數方程消去參數t，得x－1＝(y－1)， 化簡，得直線l的普通方程為x－y＋1－＝0. 曲線C的極坐標方程可化為ρ2＋2ρ2cos2θ＝3， ∴(x2＋y2)

20、＋2x2＝3， ∴曲線C的直角坐標方程為x2＋＝1. (2)由題易知，點M在直線l上． 將直線l的參數方程代入x2＋＝1，得2＋2＝1， 化簡，得t2＋2t＋＝0， 此時Δ＝＋＞0， 此方程的兩根為直線l與曲線C的交點A，B對應的參數t1，t2. 由根與系數的關系，得t1＋t2＝－，t1t2＝， ∴|AM|＋|BM|＝|t1|＋|t2|＝－t1－t2＝2＋. 4．(2020·南昌模擬)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(其中α為參數)，曲線C2：(x－1)2＋y2＝1，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標

21、方程． (2)若射線θ＝(ρ＞0)與曲線C1，C2分別交于A，B兩點，求|AB|. 解析：(1)因為曲線C1的參數方程為(其中α為參數)， 所以曲線C1的普通方程為x2＋(y－2)2＝4. 因為曲線C2：(x－1)2＋y2＝1， 所以把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－1)2＋y2＝1， 得到曲線C2的極坐標方程(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ)2＝1，化簡得ρ＝2cos θ. (2)依題意設A，B， 因為曲線C1的極坐標方程為ρ2－4ρsin θ－3＝0， 將θ＝(ρ＞0)代入曲線C1的極坐標方程， 得ρ2－2ρ－3＝0，解得ρ1＝3， 同理，將θ＝(ρ

22、＞0)代入曲線C2的極坐標方程， 得ρ2＝，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝3－. 5．(2020·長春模擬)已知曲線C1的參數方程為(θ為參數)，以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin2θ＝4cos θ. (1)求C1的普通方程和C2的直角坐標方程； (2)若過點F(1,0)的直線l與C1交于A，B兩點，與C2交于M，N兩點，求的取值范圍． 解析：(1)曲線C1的普通方程為＋y2＝1， 曲線C2的直角坐標方程為y2＝4x. (2)設直線l的參數方程為(t為參數)， 因為直線l與曲線C2：y2＝4x有兩個交點，因此sin α≠0. 聯(lián)立直線l與曲線C1：＋y2＝1， 可得(1＋sin2α)t2＋2tcos α－1＝0， 則|FA|·|FB|＝|t1t2|＝， 聯(lián)立直線l與曲線C2：y2＝4x， 可得t2sin2α－4tcos α－4＝0， 則|FM|·|FN|＝|t3t4|＝， 所以＝＝· ＝·∈. - 11 -