2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第4節(jié) 垂直關(guān)系教學(xué)案 理（含解析）北師大版

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1、第四節(jié)　垂直關(guān)系 [考綱傳真]　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題． 1．直線與平面垂直 (1)定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直． (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判 定 定 理 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 ?l⊥α 性 質(zhì) 定 理 垂直于同一個平面的兩條直線平行 ?a∥b 2.二面角的有關(guān)概念 (1)二面角：從一條直線

2、出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角． (3)范圍：[0，π]． 3．平面與平面垂直 (1)定義：如果兩個平面所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直． (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判 定 定 理 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直 ?α⊥β 性 質(zhì) 定 理 如果兩個平面互相垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面 ?l⊥α 1．直線與平

3、面垂直的五個結(jié)論 (1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線. (2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面． (3)垂直于同一條直線的兩個平面平行． (4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直． (5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面． 2．三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α. (　　) (2)垂直于同一個平面的兩平面平行． (　　)

4、(3)直線a⊥α，b⊥α，則a∥ B． (　　) (4)若α⊥β，a⊥β?a∥α. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．設(shè)l，m，n均為直線，其中m，n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[l⊥α?l⊥m，l⊥n；反之，不一定成立，因為m，n不一定相交，故選A.] 3．(教材改編)下列命題中不正確的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面β B．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β C．如果

5、平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ A　[A錯誤，l與β可能平行或相交，其余選項均正確．] 4．(教材改編)如圖所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角 三角形的個數(shù)為________． 4　[∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 則△PAB，△PAC為直角三角形． 由BC⊥AC，且AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC. 因此△ABC，△PBC也是直角三角形．] 5．(教材改編)在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.

6、 (1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心． (1)外　(2)垂　[(1)如圖，∵PO⊥平面ABC，連接OA，OB，OC，在Rt△POA中，OA2＝PA2－PO2， 同理OB2＝PB2－PO2， OC2＝PC2－PO2. 又PA＝PB＝PC，故OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心． (2)由PA⊥PB，PA⊥PC可知PA⊥平面PBC， ∴PA⊥BC， 又PO⊥BC， ∴BC⊥平面PAO， ∴AO⊥BC， 同理BO⊥AC，CO⊥AB． 故O是△ABC的垂心．]

7、 直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 【例1】　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點． 證明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. [證明]　(1)在四棱錐P-ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD， ∴PA⊥CD． 又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， PA，AC平面PAC， ∴CD⊥平面PAC. 而AE平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中點，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩

8、CD＝C， PC，CD平面PCD， ∴AE⊥平面PCD， 而PD平面PCD，∴AE⊥PD． ∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD， ∴PA⊥AB． 又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD， ∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A， AB，AE平面ABE， ∴PD⊥平面ABE. [規(guī)律方法]　證明直線和平面垂直的常用方法 (1)利用判定定理． (2)利用判定定理的推論(a∥b，a⊥α?b⊥α)． (3)利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)． (4)利用面面垂直的性質(zhì)． 當(dāng)兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂

9、直于另一個平面． (5)重視平面幾何知識，特別是勾股定理的應(yīng)用． 如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且AD＝DB，點C為圓O上一點，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB． 求證：PA⊥CD． [證明]　因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥CB，在Rt△ACB中，由AC＝BC，得∠ABC＝30°. 設(shè)AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3， 所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB． 因為PD⊥平面ABC，CD平面ABC， 所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D，得CD⊥平面PAB，又

10、PA平面PAB，所以PA⊥CD． 平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 【例2】　(2018·北京高考節(jié)選) 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E是AD的中點．求證： (1)PE⊥BC； (2)平面PAB⊥平面PCD． [證明]　(1)∵PA＝PD，E是AD的中點， ∴PE⊥AD． 又ABCD為矩形，∴AD∥BC， ∴PE⊥BC. (2)因為ABCD為矩形，所以AB⊥AD． 又平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面PAD， 所以AB⊥PD． 又PA⊥PD，所以PD⊥平面PA B． 又PD平面PCD，

11、 所以平面PAB⊥平面PCD． [規(guī)律方法]　1.判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定義； (2)面面垂直的判定定理(a⊥β，aα?α⊥β)． 2．在已知平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化．在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直． (2015·全國卷Ⅰ) 如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD． (1)證明：平面AEC⊥平面BED； (2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積． [解]　(1)證明：因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD． 因為BE⊥平面ABCD，所

12、以AC⊥BE. 故AC⊥平面BED． 又AC平面AEC， 所以平面AEC⊥平面BED． (2)設(shè)AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝. 因為AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x. 由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE＝x. 由已知得，三棱錐E-ACD的體積VE-ACD＝×AC·GD·BE＝x3＝，故x＝2. 從而可得AE＝EC＝ED＝. 所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為. 故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3＋2. 平行與垂直的綜合問題 【例3】　如圖1，在直角梯形ABC

13、D中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB，沿DE將△AED折起到△A1ED的位置，連接A1B，A1C，M，N分別為A1C，BE的中點，如圖2. 　　　　　　　 圖1　　　　　　　　圖2 (1)求證：DE⊥A1B； (2)求證：MN∥平面A1ED； (3)在棱A1B上是否存在一點G，使得EG⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，說明理由． [解]　(1)證明：∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB， 沿DE將△AED折起到△A1ED的位置，∴DE⊥A1E，DE⊥BE， ∵A1E∩BE＝E，∴DE⊥平面A1BE，

14、 ∵A1B平面A1BE，∴DE⊥A1 B． (2)證明：取CD中點F，連接NF，MF， ∵M，N分別為A1C，BE的中點， ∴MF∥A1D，NF∥DE， 又DE∩A1D＝D，NF∩MF＝F，DE平面A1DE，A1D平面A1DE，NF平面MNF，MF平面MNF. ∴平面A1DE∥平面MNF， ∴MN∥平面A1ED． (3)取A1B的中點G，連接EG， ∵A1E＝BE， ∴EG⊥A1B， 由(1)知DE⊥平面A1BE， ∵DE∥BC， ∴BC⊥平面A1BE， ∴EG⊥BC， 又A1B∩BC＝B， ∴EG⊥平面A1BC. 故棱A1B上存在中點G，使得EG⊥

15、平面A1BC，此時＝1. [規(guī)律方法]　證明折疊問題中的平行與垂直，關(guān)鍵是分清折疊前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，折疊前位于“折痕”同側(cè)的點、線間的位置和數(shù)量關(guān)系折疊后不變，而折疊前位于“折痕”兩側(cè)的點、線間的位置關(guān)系折疊后會發(fā)生變化．對于不變的關(guān)系可在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決． 如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC的中點，AE⊥BD于點E(不同于點D)，延長AE交BC于點F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A1-BCD，如圖2所示． V 圖1　　　　　　　　　　　圖2 (1)若M是FC的中點，求證：直線DM∥平面A1E

16、F； (2)求證：BD⊥A1F； (3)若平面A1BD⊥平面BCD，試判斷直線A1B與直線CD能否垂直？請說明理由． [解]　(1)證明：因為D，M分別為AC，F(xiàn)C的中點，所以DM∥EF. 又EF平面A1EF，DM平面A1EF， 所以DM∥平面A1EF. (2)證明：因為A1E⊥BD，EF⊥BD，且A1E∩EF＝E， 所以BD⊥平面A1EF. 又A1F平面A1EF， 故BD⊥A1F. (3)A1B與CD不能垂直． 因為平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF平面BCD， ∴EF⊥平面A1BD． ∴EF⊥A1B，又EF∥DM，∴A

17、1B⊥DM. 若A1B⊥CD，則A1B⊥平面BC D． 所以A1B⊥BD，這與∠A1BD為銳角矛盾． 所以A1B與CD不能垂直． 1.(2016·全國卷Ⅱ)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，mα，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號) ②③④　[根據(jù)相關(guān)知識，對四個命題逐個判斷． 對于①，α，β可以平行，可以相交也可以垂直，故錯誤． 對于②，由線面平行的

18、性質(zhì)定理知存在直線lα，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正確． 對于③，因為α∥β，所以α，β沒有公共點．又mα，所以m，β沒有公共點，由線面平行的定義可知m∥β，故正確． 對于④，因為m∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等．因為α∥β，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等，故正確．] 2.(2018·全國卷Ⅲ)如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點． (1)證明：平面AMD⊥平面BMC； (2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值． [解]

19、　(1)證明：由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD． 因為BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM. 因為M為上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM. 又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC. 而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC. (2)以D為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz. 當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時，M為的中點． 由題設(shè)得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)， ＝(－2,1,1)，＝(0,2,0)，＝(2,0,0)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，則即 可取n＝(1,0,2)． 是平面MCD的法向量， 因此cos〈n，〉＝＝， sin〈n，〉＝. 所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是. - 10 -