2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和教學(xué)案 理（含解析）北師大版

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1、第二節(jié)　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 [考綱傳真]　1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系． 1．等差數(shù)列 (1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列．用符號(hào)表示為an＋1－an＝d(n∈N＋，d為常數(shù))． (2)等差中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫作a與b的等差中項(xiàng)，即A＝. (3)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d，可推廣為an＝am＋(n－

2、m) d． (4)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝＝na1＋d． 2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 (1)an＝a1＋(n－1)d可化為an＝dn＋a1－d的形式．當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)；當(dāng)d＞0時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列． (2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且公差不為0?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))． 　等差數(shù)列的性質(zhì) (1)項(xiàng)的性質(zhì)：①在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d?＝d(m≠n)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差． ②若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m

3、，n∈N＋)，則ak＋al＝am＋an. (2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)． ②S2n－1＝(2n－1)an. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列． (　　) (2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2. (　　) (3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)． (　　) (4)等差數(shù)列的前n

4、項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．等差數(shù)列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，則公差d等于(　　) A.　　 　 B．　　 　C．2　　 　D．－ A　[∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5， 又a10＝6，∴公差d＝＝＝.故選A.] 3．(教材改編)設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8等于(　　) A．31 B．32 C．33 D．34 B　[設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 法一：由S5＝5a3＝30得a3＝6， 又a6＝2，∴S8＝＝＝＝32. 法二：由得

5、 ∴S8＝8a1＋d＝8×－28×＝32.] 4．在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為________． 　[由題意可知即解得－1＜d＜－.] 5．(教材改編)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________. 180　[∵{an}為等差數(shù)列， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90， ∴a2＋a8＝2a5＝180.] 等差數(shù)列基本量的運(yùn)算 1．若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5＝25，且a2＝3，則a7＝(　　) A．12　　 　B．

6、13　　 　C．14　　 　D．15 B　[由題意得S5＝＝5a3＝25，a3＝5，公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13.故選B．] 2．已知在等差數(shù)列{an}中，a1＝20，an＝54，Sn＝3 700，則數(shù)列的公差d，項(xiàng)數(shù)n分別為(　　) A．d＝0.34，n＝100 B．d＝0.34，n＝99 C．d＝，n＝100 D．d＝，n＝99 C　[由 得解得故選C.] 3．(2018·寧德二模)已知等差數(shù)列{an}滿足a3＋a5＝14，a2a6＝33，則a1a7＝(　　) A．33 B．16 C．13 D．12 C　[由得 解得或 當(dāng)a

7、1＝1，d＝2時(shí)，a7＝1＋6×2＝13，∴a1a7＝13； 當(dāng)a1＝13，d＝－2時(shí)，a7＝13＋6×(－2)＝1，∴a1a7＝13. 綜上可知a1a7＝13.故選C.] 4．(2018·西寧一模)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·均輸》中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問(wèn)各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問(wèn)五人各得多少錢？”(“錢”是古代一種重量單位)．這個(gè)問(wèn)題中，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為(　　) A．－n＋(n∈N*，n≤5) B．n＋(n∈N*，n≤5)

8、 C.n＋(n∈N*，n≤5) D．－n＋(n∈N*，n≤5) D　[由題意可設(shè)五人所得依次對(duì)應(yīng)等差數(shù)列中的a1，a2，a3，a4，a5，公差為d，則 ∴ ∴ ∴通項(xiàng)公式為an＝＋(n－1)×＝－n(n∈N*，n≤5)，故選 D．] [規(guī)律方法]　解決等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的思想方法 (1)方程思想：等差數(shù)列的基本量為首項(xiàng)a1和公差d，通常利用已知條件及通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式列方程(組)求解，等差數(shù)列中包含a1，d，n，an，Sn五個(gè)量，可“知三求二”． (2)整體思想：當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí)，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯(lián)系，整體代換即可求解． (3)利用性質(zhì)：運(yùn)用

9、等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)、優(yōu)化解題過(guò)程． 等差數(shù)列的判定與證明 【例1】　數(shù)列{an}滿足an＋1＝，a1＝1. (1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，并證明＋＋…＋＞. [解]　(1)證明：∵an＋1＝， ∴＝，化簡(jiǎn)得＝2＋，即－＝2， 故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)知＝2n－1， 所以Sn＝＝n2. 證明：＋＋…＋＝＋＋…＋＞＋＋…＋ ＝＋＋…＋＝1－＝. [規(guī)律方法]　等差數(shù)列的四個(gè)判定方法 (1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個(gè)常數(shù)． (2)等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an＋1＝

10、an＋an＋2. (3)通項(xiàng)公式法：得出an＝pn＋q后，再根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列． (4)前n項(xiàng)和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n. (1)求a2，a3； (2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式． [解]　(1)由已知，得a2－2a1＝4， 則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6. 由2a3－3a2＝12， 得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15. (2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)， 得＝2，即－＝2，

11、 所以數(shù)列是首項(xiàng)＝1，公差d＝2的等差數(shù)列． 則＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n. 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 【例2】　(1)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等于(　　) A．0　　　B．37　　　C．100　　　D．－37 (2)(2019·商洛模擬)等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10的值是(　　) A．20 B．22 C．24 D．8 (3)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．45

12、 C．36 D．27 (1)C　(2)C　(3)B　[(1)設(shè){an}，{bn}的公差分別為d1，d2，則(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}為等差數(shù)列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}為常數(shù)列，所以a37＋b37＝100. (2)因?yàn)閍1＋3a8＋a15＝5a8＝120， 所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24. (3)由{an}是等差數(shù)列，得S3，S6－S3，S9－S6為等差數(shù)列． 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 得到S9－S6＝2S6－3

13、S3＝45.] [規(guī)律方法]　等差數(shù)列的常用性質(zhì)和結(jié)論 (1)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ak. (2)在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列． (1)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－a－1＝0，S2m－1＝39，則m等于(　　) A．39 B．20 C．19 D．10 (2)設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意的n∈N*，都有＝，則＋的值為(　　) A. B． C. D． (1)B　(2)C

14、　[(1)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則am－1＋am＋1＝2am，則am－1＋am＋1－a－1＝0可化為2am－a－1＝0，解得am＝1.又S2m－1＝(2m－1)am＝39，則m＝20.故選B． (2)由題意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8， ∴＋＝＝＝＝＝＝.故選C.] 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題 【例3】　在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值． [解]　∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋d＝15×20＋d， ∴d＝－. 法一：由an＝20＋(n－1)×＝－

15、n＋， 得a13＝0. 即當(dāng)n≤12時(shí)，an＞0， 當(dāng)n≥14時(shí)，an＜0. ∴當(dāng)n＝12或n＝13時(shí)，Sn取得最大值， 且最大值為S12＝S13＝12×20＋×＝130. 法二：Sn＝20n＋·＝－n2＋n ＝－2＋. ∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或n＝13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130. 法三：由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴當(dāng)n＝12或n＝13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130. [規(guī)律方法]　求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法 (1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)

16、和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過(guò)配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解． (2)鄰項(xiàng)變號(hào)法． ①當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm； ②當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm. 易錯(cuò)警示：易忽視n∈N＋. (1)設(shè)數(shù)列{an}是公差d＜0的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S6＝5a1＋10d，則Sn取最大值時(shí)，n的值為(　　) A．5 B．6 C．5或6 D．11 (2)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝20，公差d＝－2，則前n項(xiàng)和Sn的最大值為________． (1)C　(2)110　[(1)由題意得S6＝6a1＋15

17、d＝5a1＋10d，化簡(jiǎn)得a1＝－5d，所以a6＝0，故當(dāng)n＝5或6時(shí)，Sn最大． (2)因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝20，公差d＝－2， Sn＝na1＋d＝20n－×2 ＝－n2＋21n＝－2＋2， 又因?yàn)閚∈N*，所以n＝10或n＝11時(shí)，Sn取得最大值，最大值為110.] 1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝(　　) A．－12　　　B．－10　　　C．10　　　D．12 B　[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵3S3＝S2＋S4，∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1，∵a1＝2，∴d＝－3，

18、 ∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故選B．] 2．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項(xiàng)的和為(　　) A．－24 B．－3 C．3 D．8 A　[由已知條件可得a1＝1，d≠0， 由a＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2. 所以S6＝6×1＋＝－24. 故選A.] 3．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A．100 B．99 C．98 D．97 C　[∵{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d， ∴S9＝9a5＝27，∴a5＝3. 又∵a10＝8，∴∴ ∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故選C.] 4．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． [解]　(1)設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16. 所以當(dāng)n＝4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為－16. - 8 -