2018-2019學年高中物理 第五章 曲線運動 第7節(jié) 生活中的圓周運動學案 新人教版必修2

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1、第7節(jié)　生活中的圓周運動 核心素養(yǎng)關鍵詞 知識體系 1.火車轉彎處，外軌略高于內軌，使得火車所受支持力和重力的合力提供向心力.當火車以合適的速率通過彎道時，可以避免火車輪緣對內、外軌的擠壓磨損. 2.汽車過拱形橋時，在凸形橋的橋頂上，汽車對橋的壓力小于汽車重力，汽車在橋頂的安全行駛速度小于；汽車在凹形橋的最低點處，汽車對橋的壓力大于汽車的重力. 3.繞地球做勻速圓周運動的航天器中，宇航員具有指向地心的向心加速度，處于完全失重狀態(tài). 4.做圓周運動的物體，當合外力突然消失或不足以提供向心力時，物體將做離心運動；當合外力突然大于所需向心力時，物體將做近心運動. 一、鐵路的

2、彎道 火車轉彎時做圓周運動，轉彎處外軌高于內軌，重力和支持力的合力提供向心力. 二、拱形橋 1.汽車過拱形橋時做圓周運動，重力和橋面支持力的合力提供向心力. 2.汽車運動到拱形橋的最高點時處于失重狀態(tài)，運動到凹形橋的最低點時處于超重狀態(tài). 三、航天器中的失重現象 1.航天器中的物體隨航天器一起做勻速圓周運動，自身重力和航天器的支持力的合力提供向心力. 2.當支持力等于零時，物體處于完全失重狀態(tài). 四、離心運動 1.定義：做勻速圓周運動的物體，在所受合力突然消失或者不足以提供做圓周運動所需的向心力情況下，就做逐漸遠離圓心的運動，這種運動叫離心運動. 2.本質：離心現象是物體慣

3、性的表現. 一、合作探究找規(guī)律 考點一　車輛轉彎問題 火車在鐵軌上轉彎可以看成是勻速圓周運動，如圖所示，請思考下列問題： 1.火車轉彎處的鐵軌有什么特點？ 2.火車轉彎時速度過大或過小，會對哪側軌道有側壓力？ 答：1.火車轉彎處，外軌高于內軌. 2.火車轉彎時速度過大會對軌道外側有壓力，速度過小會對軌道內側有壓力. 考點二　汽車過橋問題 如圖所示，過山車的質量為m，軌道半徑為r，過山車經過軌道最高點時的速度為v. 1.過山車能通過軌道最高點的臨界速度是多少？ 2.當過山車通過軌道最高點的速度大于臨界速度時，過山車對軌道的壓力怎樣計算？ 答：1.臨界條件為mg

4、＝，故臨界速度v＝. 2.根據FN＋mg＝，可得FN＝－mg. 考點三　圓周運動中的失重及離心現象 鏈球比賽中，高速旋轉的鏈球被放手后會飛出.汽車高速轉彎時，若摩擦力不足，汽車會滑出路面. 1.鏈球飛出、汽車滑出路面的原因是因為受到了離心力嗎？ 2.物體做離心運動的條件是什么？ 答：1.鏈球飛出、汽車滑出路面的原因是物體慣性的表現，不是因為受到了什么離心力，離心力是不存在的. 2.物體做離心運動的條件是：做圓周運動的物體，提供向心力的外力突然消失或者外力不能提供足夠大的向心力. 二、理解概念做判斷 1.做圓周運動的物體所受合外力突然消失，物體將沿圓周切線方向做勻速直線運動

5、.(√) 2.摩托車轉彎時，如果超過一定速度，摩托車將發(fā)生滑動，這是因為摩托車收到沿半徑方向向外的離心力作用.(×) 3.汽車過拱橋時，汽車對橋面的壓力可以大于自身重力，也可以小于自身重力.(×) 4.火車轉彎時，具有速度的限制.(√) 5.汽車過凸形橋或者凹形橋時，向心加速度的方向都是向上的.(×) 6.做圓周運動的物體只有突然失去向心力時才做離心運動.(×) 要點1|車輛轉彎問題分析 1.火車車輪的結構特點 火車的車輪有凸出的輪緣，且火車在軌道上運行時，有凸出輪緣的一邊在兩軌道內側，這種結構特點，主要是有助于固定火車運動的軌跡(如圖所示). 2.火車轉彎時的受力分

6、析 在火車轉彎處，讓外軌高于內軌，如圖所示，若行駛速度合適，轉彎時所需的向心力可僅由重力和支持力的合力提供. (1)推證：設車軌間距為L，兩軌高度差為h，轉彎半徑為R，火車的質量為M，保證無側向壓力時的行駛速度為v0. 根據直角三角形邊角關系知，sinα＝， 由火車的受力情況： tanα＝ 因為α角很小，可近似取sinα＝tanα， 即＝，所以向心力F合＝Mg. 又因為F合＝M，所以車速v0＝ . 由于鐵軌建成后，h、L、R各量是確定的，故火車在該處轉彎時滿足上述條件的車速v0應是一個定值. (2)結論：①當火車行駛速率v＝v0時，火車對內外軌均無側向壓力. ②當火車

7、行駛速率v＞v0時，外軌道對輪緣有側向壓力. ③當火車行駛速率v＜v0時，內軌道對輪緣有側向壓力. 典例1　一段鐵路轉彎處，內、外軌高度差為h＝10 cm，彎道半徑為r＝625 m，軌道斜面長l＝1 435 mm，求這段彎道的設計速度v0是多大？并討論當火車速度大于和小于v0時對內、外軌的側壓力.(g取10 m/s2) 【思路點撥】　當火車在傾斜軌道上轉彎時，其臨界速度為，tanθ＝h/l.當火車的速度大于臨界速度時，火車對外軌有擠壓力，如果小于臨界速度，則火車對內軌有擠壓力，對火車畫出受力示意圖，建立直角坐標系，把力統(tǒng)一成指向圓心方向的和背離圓心方向的，根據圓周運動的向心力方程求解.

8、 【解析】　 當火車以設計速度v0運行時，其受力如圖所示，其中G與FN的合力F＝mgtanθ提供火車轉彎時的向心力，又F＝m，所以mgtanθ＝m.當θ很小時，取sinθ＝tanθ＝，代入上式有 v0＝ ＝ m/s≈20.87 m/s≈75 km/h. 討論：當v＞v0時，外軌對外輪邊緣產生沿路面向內的彈力(側壓力)，此時火車受力如圖所示，設火車的質量為m，根據牛頓第二定律有FNsinθ＋F外cosθ＝m， FNcosθ＝F外sinθ＋mg. 聯立上述兩式解得：F外＝mcosθ－mgsinθ. 由此看出，火車的速度v越大，F外越大，鐵軌越容易損壞，若F外過大，會造成鐵軌的

9、側向移動，損壞鐵軌，造成火車出軌. 當v＜v0時，內軌對內輪邊緣產生沿路面向外的側壓力. 同理有FNsinθ－F內cosθ＝m， FNcosθ＋F內sinθ＝mg. 聯立解得F內＝mgsinθ－mcosθ. 可以看出，v越小，F內越大，內軌的磨損也越大，因此在有彎道限速標志的地方一定要遵守規(guī)定. 【答案】　見解析 　山城重慶的輕軌交通頗有山城特色，由于地域限制，彎道半徑很小，在某些彎道上行駛時列車的車身嚴重傾斜.每到這樣的彎道乘客都有一種坐過山車的感覺，很是驚險刺激.假設某彎道鐵軌是圓弧的一部分，轉彎半徑為R，重力加速度為g，列車轉彎過程中傾角(車身與水平面夾角)為θ，則列車在這

10、樣的軌道上轉彎行駛的安全速度(軌道不受側向擠壓)為(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 解析：列車在這樣的軌道上轉彎安全行駛，此時列車受到的支持力和重力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律得： mgtanθ＝m 解得：v＝ 故選C． 答案：C 處理火車轉彎問題的步驟： (1)正確地受力分析； (2)把各力正交分解求解向心力； (3)根據物體做圓周運動的平面及圓心確定半徑； (4)利用牛頓第二定律列方程求解. 名師點易錯 汽車、摩托車賽道拐彎處和高速公路轉彎處設計成外高內低，也是盡量使車受到的重力和支持力的合力提供向心力，以減小車輪受到地面施加的側向

11、擠壓作用. 要點2|拱形橋、凹形橋問題分析 1.汽車過拱橋時 (1)向心力分析：汽車在橋上運動經過最高點時，汽車所受重力mg及橋對其支持力FN的合力提供向心力，如圖所示. (2)動力學關系：mg－FN＝m，所以FN＝mg－. (3)結論：汽車對橋的壓力與橋對汽車的支持力是一對作用力與反作用力，故汽車對橋的壓力小于其重力. (4)速度對壓力的影響：汽車的速度不斷增大時，由上面表達式FN＝mg－可以看出，v越大，FN越小.當FN＝0時，由mg＝m可得v＝.當速度大于時，汽車所需的向心力會大于重力，這時汽車將“飛”離橋面.我們看摩托車越野賽時，常有摩托車飛起來的現象，就是這個原因.

12、 2.汽車過凹橋時 (1)向心力分析：如圖所示，汽車經過凹橋最低點時，受豎直向下的重力和豎直向上的支持力，其合力充當向心力. (2)動力學關系：FN－mg＝m，所以FN＝mg＋m. (3)結論：由牛頓第三定律知，車對橋的壓力FN′＝mg＋m，大于車的重力. (4)速度對壓力的影響：由FN′＝mg＋m可以看出，v越大，車對橋的壓力越大. 典例2　如圖所示，質量m＝2.0×104 kg的汽車以不變的速率先后駛過凹形橋面和凸形橋面，兩橋面的圓弧半徑均為20 m.如果橋面承受的壓力不得超過 3.0×105 N，則： (1)汽車允許的最大速度是多少？ (2)若以所求速度行駛，汽車對

13、橋面的最小壓力是多少？(g取10 m/s2) 【思路點撥】　汽車在圖示最低點時：支持力減去重力提供向心力，而在最高點時：重力減去支持力提供向心力. 【解析】　(1)汽車在凹形橋底部時，由牛頓第二定律得：FN－mg＝m 代入數據解得v＝10 m/s. (2)汽車在凸形橋頂部時， 由牛頓第二定律得：mg－FN′＝ 代入數據解得FN′＝105 N 由牛頓第三定律知最小壓力為105 N. 【答案】　(1)10 m/s　(2)105 N 變式訓練2－1　如圖所示，質量為m的小汽車駛上半徑為R的拱橋的過程，說法正確的是(　　) A．若汽車到橋頂的壓力為，汽車的速度大小為 B．若拱

14、橋的半徑一定，汽車行駛到橋頂的速度越大越安全 C．在汽車到橋頂的速度相同的情況下，拱橋的半徑越大，汽車越安全 D．若拱橋的半徑增大到與地球半徑相同，汽車速度多大都不可能騰空飛起來 解析：汽車的壓力為時，汽車所受合力為，根據合力提供向心力有＝m，汽車的速度：v＝，故A錯誤；當汽車在橋頂的速度大于，汽車將做離心運動而離開地面發(fā)生危險，故汽車在橋頂的速度不是越大越安全，故B錯誤；汽車離開橋頂做離心運動的臨界條件是速度大于，可知半徑越大時，臨界速度越大，故汽車在行駛速度相同的情況下，半徑越大汽車離臨界速度越遠，汽車行駛越安全，故C正確；汽車做離心運動離開橋頂時的臨界速度為，汽車要離開橋面騰空，則

15、速度必達到這里的R為地球的半徑，故D錯誤，所以C正確，A、B錯誤. 答案：C (1)汽車過拱橋時一般做變速圓周運動，受力較復雜，但汽車在橋的最高端或最低端時，豎直方向上的合力提供向心力，利用F合＝可在受力分析的基礎上求速度，也可在已知過橋速度時，根據受力分析求某個力. (2)汽車過凸形橋，當v＝時，車對橋的壓力為零；當0≤v＜時，0＜F≤mg；當v＞時，車將脫離橋面. 名師點易錯 上述兩種拱形橋問題中支持力的方向均為豎直向上的，依據圓心位置的差異而出現了大于重力或小于重力的現象.分析時先要找到圓心的位置，再分析. 要點3|圓周運動中的失重現象 1.航天器中完全失重的原因

16、 繞地球做勻速圓周運動的航天器，其中的物體做圓周運動所需的向心力由物體所受重力提供，因此航天器中的物體處于完全失重狀態(tài)，即航天器對航天員及艙內物體的支持力為零.物體在航天器中處于失重狀態(tài)，并不是說物體不受重力，只是重力提供了做圓周運動所需的向心力，而支持力為零. 2.在繞地球做勻速圓周運動的航天器中，涉及重力的一切現象不再發(fā)生.例如：無法用彈簧秤測物體所受的重力；無法用天平測物體的質量等等. 典例3　在下面所介紹的各種情況中，哪種情況將出現超重現象(　　) ①蕩秋千經過最低點的小孩?、谄囘^凸形橋?、燮囘^凹形橋?、茉诶@地球做勻速圓周運動的飛船中的儀器 A．①②　　 B．①③　　　

17、C．①④　　 D．③④ 【思路點撥】　超重時加速度方向向上，失重時加速度方向向下；繞地球勻速圓周運動的衛(wèi)星及里面的物體都是處于完全失重狀態(tài). 【解析】　物體在豎直平面內做圓周運動，受重力和拉力(或支持力)的作用，物體運動至最高點時向心加速度向下，則mg－FN＝m，有FN＜mg，物體處于失重狀態(tài)，若mg＝m，則FN＝0，物體處于完全失重狀態(tài).物體運動至最低點時，向心加速度向上，則FN－mg＝m，有FN＞mg，物體處于超重狀態(tài).由以上分析知①③將出現超重現象. 【答案】　B 變式訓練3－1　我國已成功發(fā)射了載人航天飛船，飛船中的宇航員需要在航天之前進行多種訓練.如圖所示是離心試驗器的原

18、理圖.可以用離心試驗器來研究過荷對人體的影響，測試人的抗荷能力.離心試驗器轉動時，被測者做勻速圓周運動，現觀察到圖中的直線AB(即垂直于座位的直線)與水平桿成30°角，被測者所受座位的壓力是他所受重力的多少倍？ 解析：被測者做勻速圓周運動所需要的向心力由他所受重力和座位對他的支持力的合力提供，如圖所示： 在豎直方向受力平衡， FNsin30°＝mg，① 在水平方向，由牛頓第二定律得 FNcos30°＝mrω2，② 由①式可得FN＝＝2mg. 即被測試者所受座位的壓力是其重力的2倍. 答案：2倍 在圓周運動中分析超、失重現象時，要抓住加速度方向這個關鍵，若物體的加速

19、度向上，則物體處于超重狀態(tài)；若物體的加速度向下，則物體處于失重狀態(tài)；若物體向下的加速度恰為g，則物體處于完全失重狀態(tài)(此時依靠重力工作的儀器不能使用). 名師點易錯 物體在航天器中處于完全失重狀態(tài)，并不是說物體不受重力，只是重力全部用于提供物體做圓周運動所需的向心力，使得支持力為0. 要點4|離心運動 1.物體做離心運動的條件 做圓周運動的物體，一旦提供向心力的外力突然消失，或者外力不能提供足夠大的向心力時，物體做遠離圓心的運動，即離心運動. 2.合外力與向心力的關系(如圖) (1)若F合＝mrω2或F合＝，物體做勻速圓周運動，即“提供”滿足“需要”. (2)若F合＞m

20、rω2或F合＞，物體做半徑變小的近心運動，即“提供過度”，也就是“提供”大于“需要”. (3)若F合＜mrω2或F合＜，則外力不足以將物體拉回到原軌道上，而做離心運動，即“需要”大于“提供”或“提供不足”. (4)若F合＝0，則物體做直線運動. 3.常見的幾種離心運動 項目 實驗圖 原理圖 現象及結論 洗衣機脫水筒 當水滴跟衣物的附著力F不足以提供向心力時，即F＜mω2r，水滴做離心運動而離開衣物 汽車在水平路 面上轉彎 當最大靜摩擦力不足以提供向心力時，即Fmax＜m，汽車做離心運動 用離心機把體溫計的水銀甩入玻璃泡中 當離心機快速旋轉時，

21、縮口處對水銀柱的阻力不足以提供向心力時，水銀柱做離心運動，進入玻璃泡內 典例4　 有一種叫做“魔盤”的娛樂設施，如圖所示.當“魔盤”轉動得很慢時，盤上的人都可以隨“魔盤”一起轉動而不至于被甩開.當“魔盤”的轉速增大時，盤上的人逐漸向邊緣滑去，離轉動中心越遠的人，這種滑動的趨勢越厲害.設“魔盤”轉速為6 r/min，一個體重為30 kg的小孩坐在距離軸心1 m處(盤半徑大于1 m)隨“魔盤”一起轉動(沒有滑動).問： (1)小孩需要的向心力是由什么提供的？這個向心力是多少？ (2)假設人與“魔盤”間的動摩擦因數μ＝0.2，要使離軸心1 m處的小孩不發(fā)生滑動，求“魔盤”轉動的最大角速度

22、(取人與“魔盤”間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力). 【思路點撥】　人隨“魔盤”轉動時需要的向心力F＝mω2r，人離轉動中心越遠F越大.當F大于最大靜摩擦力時，人就被甩出去，所以離中心越遠越容易被甩出. 【解析】　(1)小孩隨“魔盤”一起做圓周運動時，小孩受到重力、支持力和靜摩擦力作用，小孩做圓周運動所需的向心力是由小孩與“魔盤”之間的靜摩擦力提供的.“魔盤”轉動時的角速度為ω＝＝0.2π rad/s，由牛頓第二定律可得F＝mrω2≈11.8 N. (2)小孩受到的最大靜摩擦力為Fmax＝μmg① 由牛頓第二定律可得Fmax＝mrω② 由①②可得ωmax≈1.4rad/s. 【答案】

23、　(1)靜摩擦力　11.8 N　(2)1.4 rad/s 變式訓練4－1　如圖所示，在室內自行車比賽中，運動員以速度v在傾角為θ的賽道上做勻速圓周運動.已知運動員的質量為m，做圓周運動的半徑為R，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　) A．將運動員和自行車看作一個整體，整體受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用 B．運動員受到的合力為m，是一個恒力 C．若運動員加速，則可能沿斜面上滑 D．若運動員減速，則一定加速沿斜面下滑 解析：向心力是按照效果命名的力，進行受力分析時，不能分析向心力，將運動員和自行車看作一個整體，受到重力、支持力、摩擦力作用，A選項錯誤；運動員騎自行車在傾

24、斜賽道上做勻速圓周運動，合力提供向心力，大小為m，方向指向圓心，時刻在改變，B選項錯誤；若運動員加速，有離心的趨勢，可能沿斜面上滑，C選項正確；若運動員減速，有近心運動的趨勢，可能沿斜面下滑或有向下運動的趨勢，D選項錯誤. 答案：C 離心現象是由于外界所能提供的合力F供小于物體做圓周運動所需的向心力F需＝m而造成的，即離心現象產生的條件是F供＜F需. 名師點易錯 離心力和向心力都是根據作用效果命名的力，不是物體實際受到的力，受力分析時不要憑空添加力. 對點訓練一　車輛轉彎問題 1.火車通過彎道時，為了保證安全，要求火車在按規(guī)定速度v行駛時，內外側軌道均不向車施加側向

25、力(　　) A．當火車以速度v通過此彎處時，所受到的鐵軌對火車的支持力充當了轉彎的向心力 B．當火車以速度v通過此彎道，受到重力、鐵軌的支持力和轉彎的向心力作用 C．當火車以大于v的速度通過此轉彎處時，車輪輪緣會擠壓外軌 D．當火車以大于v的速度通過此轉彎處時，車輪輪緣會擠壓內軌 解析：火車在按規(guī)定速度行駛時內外軌道均不向車輪施加側向壓力，受重力和支持力，合力提供向心力，A錯誤，B錯誤；當火車以大于v的速度通過此轉彎處時，有離心趨勢，擠壓外軌，即車輪輪緣會擠壓外軌，C正確，D錯誤.故選C． 答案：C 對點訓練二　汽車過橋問題 2. 如圖所示，汽車車廂頂部懸掛一輕質彈簧，彈

26、簧下拴一個質量為m的小球，當汽車在水平路面上勻速行駛時，彈簧長度為L1，當汽車以同一速度通過一個凸形橋的最高點時彈簧長度為L2，下列關系中正確的是(　　) A．L1＝L2 B．L1＞L2 C．L1＜L2 D．前三種情況均有可能 解析：小球與汽車一起做圓周運動，小球的向心力由小球所受力的合力提供.因此，小球的重力應大于彈簧對小球的拉力.即由題意知k(L1－L0)＝mg，k(L2－L0)＜mg，由此可得L1＞L2，故選B． 答案：B 對點訓練三　圓周運動中的失重現象 3.(2018·密云模擬)應用物理知識分析生活中的常見現象，可以使物理學習更加有趣和深入.例如你用手掌平托一蘋果

27、，保持這樣的姿勢在豎直平面內按順時針方向做勻速圓周運動.關于蘋果從最高點c到最右側點d運動的過程，下列說法中正確的是(　　) A．手掌對蘋果的摩擦力越來越大 B．蘋果先處于超重狀態(tài)后處于失重狀態(tài) C．手掌對蘋果的支持力越來越小 D．蘋果所受的合外力越來越大 解析：蘋果做勻速圓周運動，從c到d的過程中，加速度始終指向圓心，大小不變，在水平方向上的分加速度逐漸增大，根據牛頓第二定律知，摩擦力越來越大，A選項正確；從c到d的過程中，豎直方向的加速度向下，故蘋果處于失重狀態(tài)，B選項錯誤；從c到d的過程中，豎直向下的加速度逐漸減小，即重力和支持力的合力逐漸減小，支持力越來越大，C選項錯誤；蘋果

28、做勻速圓周運動，合外力大小不變，D選項錯誤. 答案：A 對點訓練四　離心運動 4.如圖一輛質量為500 kg的汽車靜止在一座半徑為50 m的圓弧形拱橋頂部.(取g＝10 m/s2) (1)此時汽車對圓弧形拱橋的壓力是多大？ (2)如果汽車以6 m/s的速度經過拱橋的頂部，則汽車對圓弧形拱橋的壓力是多大？ (3)汽車以多大速度通過拱橋的頂部時，汽車對圓弧形拱橋的壓力恰好為零？ 解析：(1)汽車靜止于拱橋頂部，重力和支持力二力平衡，mg＝F＝5 000 N，根據牛頓第三定律可知，汽車對圓弧形拱橋的壓力是5 000 N. (2)汽車以6 m/s的速度經過拱橋的頂部時，重力和支持力

29、的合力提供向心力，mg－F＝m，代入數據解得F＝4 640 N，根據牛頓第三定律得汽車對拱橋的壓力為4 640 N. (3)汽車對圓弧形拱橋的壓力恰好為零時，重力提供向心力，mg＝m，解得v＝＝10 m/s. 答案：(1)5 000 N　(2)4 640 N　(3)10 m/s 【強化基礎】 1. 如圖所示，質量相等的A、B兩物塊放在勻速轉動的水平圓盤上，隨圓盤一起做勻速圓周運動，則下列關系中正確的是(　　) A．它們所受的摩擦力fA＞fB B．它們的線速度vA＜vB C．它們的運動周期TA

30、摩擦力，故由靜摩擦力提供向心力，則f＝mω2r，由于A、B在同一轉盤上無相對運動，因此它們的角速度相等，又因為RA>RB，故fA>fB，故A正確；由v＝ωr，ωA＝ωB，RA>RB，可知vA>vB，故B錯誤；根據T＝，ωA＝ωB，可知TA＝TB，C錯誤；由于A、B在同一轉盤上無相對運動，因此它們的角速度相等，故D錯誤. 答案：A 2.(多選)(2018·贛州期中)洗衣機的脫水筒采用電機帶動衣物旋轉的方式脫水，下列說法中正確的是(　　) A．在人看來水會從桶中甩出是因為水滴受到離心力很大的緣故 B．脫水過程中，大部分衣物緊貼筒壁 C．加快脫水筒轉動角速度，脫水效果會更好 D．靠近中心

31、的衣物脫水效果不如四周的衣物脫水效果好 解析：水滴不會受到離心力作用，水會從桶中甩出是因為水滴受到合外力不足以提供向心力，A選項錯誤；脫水過程中，大部分衣物做離心運動而緊貼筒壁，B選項正確；根據向心力公式可知，F＝mω2R，ω增大會使向心力F增大，衣服中的水容易發(fā)生離心運動，會使更多水滴被甩出去，脫水效果更好，C選項正確；F＝mω2R，半徑越大，需要的向心力越大，所以靠近中心的衣物脫水效果不如四周的衣物脫水效果好，D選項正確. 答案：BCD 3.(2018·溫州模擬)下列對教材中的四幅圖分析正確的是(　　) A．圖甲：被推出的冰壺能繼續(xù)前進，是因為一直受到手的推力作用 B．圖乙：

32、電梯在加速上升時，電梯里的人處于失重狀態(tài) C．圖丙：汽車過凹形橋最低點時，速度越大，對橋面的壓力越大 D．圖?。浩囋谒铰访孓D彎時，受到重力、支持力、摩擦力、向心力四個力的作用 解析：被推出的冰壺由于慣性，能繼續(xù)前進，并不是受到手的推力作用，A選項錯誤；電梯在加速上升時，加速度向上，電梯里的人處于超重狀態(tài)，B選項錯誤；汽車過凹形橋最低點時，向心加速度向上，支持力與重力的合力提供向心力，速度越大，需要的向心力越大，支持力越大，汽車對橋面的壓力越大，C選項正確；汽車在水平路面轉彎時，受到重力、支持力、摩擦力三個力的作用，合力提供向心力，D選項錯誤. 答案：C 4.(多選) 如圖所

33、示，可視為質點的、質量為m的小球，在半徑為R的豎直放置的光滑圓形管道內做圓周運動，下列有關說法中正確的是(　　) A．小球能夠通過最高點時的最小速度為0 B．小球能夠通過最高點時的最小速度為 C．如果小球在最高點時的速度大小為2，則此時小球對管道的外壁有作用力 D．如果小球在最低點時的速度大小為，則小球對管道的作用力為5mg 解析：圓形管道內壁能支撐小球，小球能夠通過最高點時的最小速度為0，故A正確，B錯誤；設管道對小球的彈力大小為F，方向豎直向下.由牛頓第二定律得mg＋F＝m，v＝2，代入解得F＝3mg＞0，方向豎直向下，根據牛頓第三定律得知：小球對管道的彈力方向豎直向上，即小球對

34、管道的外壁有作用力，故C正確；在最低點時重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律，有：N－mg＝m，v＝，解得：N＝mg＋m＝mg＋m＝6mg；根據牛頓第三定律，球對管道的外壁的作用力為6mg，故D錯誤.故選AC． 答案：AC 5. 如圖所示，長度均為l＝1 m的兩根輕繩，一端共同系住質量為m＝0.5 kg的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間的距離也為l.重力加速度g＝10 m/s2.現使小球在豎直平面內以AB為軸做圓周運動，若小球在最高點速率為v時，每根繩的拉力恰好為零，則小球在最高點速率為2v時，每根繩的拉力大小為(　　) A．5 N B

35、． N C．15 N D．10 N 解析：小球在最高點速率為v時，重力提供向心力，mg＝m，當小球在最高點的速率為2v時，重力和繩的拉力提供向心力，mg＋2FTcos30°＝m，聯立解得FT＝5 N，A選項正確. 答案：A 【鞏固易錯】 6.(多選)(2018·銀川市興寧區(qū)期中)如圖所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做勻速圓周運動，若小球到達P點時F突然發(fā)生變化，下列關于小球運動的說法正確的是(　　) A．F突然消失，小球將沿軌跡Pa做離心運動 B．F突然變小，小球將沿軌跡Pa做離心運動 C．F突然變大，小球將沿軌跡Pb做離心運動

36、D．F突然變大，小球將沿軌跡Pc逐漸靠近圓心 解析：根據圓周運動規(guī)律可知，當向心力突然消失或變小時，物體會做離心運動，當向心力突然變大時，物體做向心運動，向心力F突然消失，小球將沿軌跡Pa做勻速直線運動，A選項正確；向心力F突然變小，小球將沿軌跡Pb做離心運動，B選項錯誤；向心力F突然變大，小球將沿軌跡Pc逐漸靠近圓心，做向心運動，C選項錯誤，D選項正確. 答案：AD 7.(2018·蚌埠市期中)飛行員的質量為m，駕駛飛機在豎直平面內以速度v做半徑為r的勻速圓周運動，在軌道的最高點和最低點時，飛行員對座椅的壓力(　　) A．是相等的 B．相差m C．相差2m D．相差2mg 解析

37、：飛行員在最高點時，根據牛頓第二定律結合向心力公式得mg＋FN1＝m. 在最低點，FN2－mg＝m，聯立解得FN2－FN1＝2mg，D選項正確. 答案：D 【能力提升】 8.如圖甲所示的陀螺可在圓軌道外側旋轉而不脫落，好像軌道對它施加了魔法一樣，被稱為 “魔力陀螺”.它可等效為圖乙所示模型；豎直固定的磁性圓軌道半徑為R，質量為m的質點沿軌道外側做完整的圓周運動，A、B兩點分別為軌道的最高點與最低點.質點受軌道的磁性引力始終指向圓心O且大小恒為F，不計摩擦和空氣阻力，重力加速度為g. (1)若質點在A點的速度為，求質點在該點對軌道的彈力； (2)若磁性引力大小F可變，質點以速度2

38、恰好通過B點，求F的最小值. 解析： (1)設軌道在A點對質點向上的彈力大小為FN F＋mg－FN＝m 代入數據，得：FN＝F 由牛頓第三定律得：質點在A點對軌道彈力大小為F，方向豎直向下. (2)質點在B點時有FB－mg－FN＝m 當FN＝0時，恰好通過B點 故FB＝5mg. 答案： (1)F　方向豎直向下　(2)5mg 9.鐵路轉彎處的彎道半徑r是根據地形決定的，彎道處要求外軌比內軌高，其內外軌道高度差h的設計不僅與r有關，還取決于火車在彎道上的行駛速率，下表中是鐵路設計人員技術手冊中彎道半徑r及與之對應的軌道的高度差h：(取g＝10 m/s2) 彎道半徑r/m

39、 660 330 220 165 132 110 內外軌道高度差h/mm 50 100 150 200 250 300 (1)據表中數據，導出h和r關系的表達式，并求出r＝440 m時h的值； (2)鐵路建成后，火車通過彎道時，為保證絕對安全，要求內、外軌道均不向車輪施加側向壓力，又已知我國鐵路內、外軌的間距設計值L＝1 435 mm，結合表中的數據，算出我國火車的轉彎速度v.(以km/h為單位，結果取整數.設軌道傾角很小時，正切值按正弦值處理) 解析：(1)由表中數據可知，每組的h與r之積為常數，hr＝660×50×10－3m2＝33 m2.當r＝440 m時，

40、h＝75 mm. (2)內、外軌對車輪沒有側向壓力時，火車的受力如圖所示，則mgtanθ＝m，θ很小，則有tanθ≈sinθ＝ 所以v＝ ＝ m/s≈15 m/s＝54 km/h. 答案：(1)hr＝33 m2　75 mm 　(2)54 km/h 專題　圓周運動中的臨界問題 要點1|水平面內圓周運動的臨界問題 水平面內圓周運動的臨界極值問題通常有兩類，一類是與摩擦力有關的臨界問題，一類是與彈力有關的臨界問題. 1.與摩擦力有關的臨界極值問題 物體間恰好不發(fā)生相對滑動的臨界條件是物體間恰好達到最大靜摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，則有Fm＝m，靜摩擦力的方向一定指向

41、圓心；如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連物體，其中一個在水平面上做圓周運動時，存在一個恰不向內滑動的臨界條件和一個恰不向外滑動的臨界條件，分別為靜摩擦力達到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心. 2.與彈力有關的臨界極值問題 壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零；繩子拉力的臨界條件是繩恰好拉直且其上無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力等. 典例1　如圖所示，水平轉盤的中心有一個光滑的豎直小圓筒，質量為m的物體A放在轉盤上，物體A到圓心的距離為r，物體A通過輕繩與物體B相連，物體B的質量也為m.若物體A與轉盤間的動摩擦因數為μ，則轉盤轉動的角速度ω在什么范圍內，物

42、體A才能隨盤轉動？ 【解析】　由于A在轉盤上隨轉盤做勻速圓周運動，所以它所受的合力必然指向圓心.對物體A進行受力分析可知，重力與支持力平衡，繩的拉力指向圓心，因此A所受的摩擦力方向一定沿著半徑方向，或指向圓心，或背離圓心.具體而言，當ω較小時，A有向圓心O運動的趨勢，故轉盤對A的摩擦力方向背離圓心；當ω較大時，A有遠離圓心O運動的趨勢，故轉盤對A的摩擦力方向指向圓心. 當A將要沿轉盤背離圓心滑動時，A所受的摩擦力為最大靜摩擦力，方向指向圓心，此時A做圓周運動所需的向心力為繩的拉力與最大靜摩擦力的合力，即 F＋Fm＝mrω， ① 由于B靜止，則有F＝mg ② 又因為Fm＝μFN＝μ

43、mg ③ 由①②③式可得：ω1＝ . 當A將要沿轉盤指向圓心滑動時，A所受的摩擦力為最大靜摩擦力，方向背離圓心，此時A做圓周運動所需的向心力為F－Fm＝mrω ④ 由②③④式可得：ω2＝ . 故要使A隨轉盤一起轉動，其角速度ω的范圍為ω2≤ω≤ω1，即 ≤ω≤. 【答案】　　≤ω≤ 變式訓練1－1　(2018·湖北期中)如圖所示，兩根輕繩同系一個質量m＝0.14 kg的小球，兩繩的另一端分別固定在軸上的A、B兩處，上面繩AC長L＝2.00 m，當兩繩都拉直時，與軸的夾角分別為37°和53°，小球隨軸一起在水平面內做勻速圓周運動，重力加速度g取10 m/s2，已知sin37°＝0.6

44、0，cos37°＝0.80.求： (1)若要兩繩均處于拉直狀態(tài)，小球的角速度ω1至少為多少？ (2)當小球的角速度為ω2＝4.00 rad/s時，兩輕繩拉力各為多少？ 解析：(1)分析可知，小球繞軸做勻速圓周運動，AC繩一定有拉力，當角速度較小時，BC繩拉直但無拉力，重力和AC繩拉力的合力提供向心力. 根據牛頓第二定律，mgtan37°＝mωLsin37° 解得ω1＝2.5 rad/s. (2)當角速度較大時，AC繩沒有拉力，當AC繩拉直但沒有力時，小球受到的重力和BC繩拉力的合力提供向心力. 根據牛頓第二定律，mgtan53°＝mωLsin37° 解得ω0＝ rad/s

45、 分析可知，當2.5 rad/s＜ω＜ rad/s時兩繩均張緊 當ω2＝4 rad/s時，AC繩無拉力 此時BC繩與桿的夾角θ＞53° 豎直方向上，T2cosθ＝mg 水平方向上，T2sinθ＝mωBCsinθ 根據幾何關系可知，ACsin37°＝BCsin53° 聯立解得T2＝3.36 N，T1＝0. 答案：(1)2.5 rad/s　(2)0　3.36 N (1)典例中要注意分析物體A所受靜摩擦力大小和方向隨圓盤轉速的變化而發(fā)生變化. (2)典例中的臨界條件是物體A所受靜摩擦力達到了最大靜摩擦力，此時對應的角速度也達到了臨界值. 名師點易錯 靜摩擦力的方向是與物

46、體相對運動趨勢方向相反，在圓周運動中要分清物體相對運動趨勢方向. 要點2|豎直面內圓周運動的臨界問題 1.輕繩模型 如圖所示，細繩系的小球或在軌道內側運動的小球，在最高點時的臨界狀態(tài)為只受重力，即mg＝，則v＝.在最高點時： (1)v＝，拉力或壓力為零. (2)v＞時，物體受向下的拉力或壓力. (3)v＜時，物體不能達到最高點. 即繩類的臨界速度為v臨＝. 2.輕桿模型 如圖所示，在細輕桿上固定的小球或在管形軌道內運動的小球，由于桿和管能對小球產生向上的支持力，所以小球能在豎直平面內做圓周運動的條件是：在最高點的速度大于或等于零，小球的受力情況為： (1)v＝0

47、時，小球受向上的支持力FN＝mg. (2)0＜v＜時，小球受向上的支持力0＜FN＜mg. (3)v＝時，小球除受重力之外不受其他力. (4)v＞時，小球受向下的拉力或壓力，并且隨速度的增大而增大. 即桿類的臨界速度為v臨＝0. 典例2　一根長L＝60 cm的繩子系著一個小球，小球在豎直平面內做圓周運動.已知球的質量m＝0.5 kg，求： (1)試確定到達最高點時向心力的最小值； (2)小球能夠到達最高點繼續(xù)做圓周運動的最小速度； (3)當小球在最高點時的速度為3 m/s時，繩對小球的拉力.(g＝10 m/s2) 【解析】　(1)小球通過最高點的臨界條件是重力提供向心力，故向心

48、力的最小值為mg＝5 N. (2)小球通過最高點的最小速度為vmin，mg＝m，解得vmin＝＝ m/s. (3)當小球在最高點時的速度為3 m/s時，拉力和重力的合力提供向心力，mg＋F＝m，代入數據解得F＝2.5 N. 【答案】　(1)5 N　(2) m/s　(3)2.5 N 變式訓練2－1　如圖所示，質量為m的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子的邊長略大于球的直徑.某同學拿著該盒子在豎直平面內做半徑為R的勻速圓周運動，已知重力加速度為g，空氣阻力不計，問： (1)要使盒子在最高點時盒子與小球之間恰好無作用力，則該盒子做勻速圓周運動的周期為多少？ (2)若盒子以第(1)問中周

49、期的做勻速圓周運動，則當盒子運動到圖示球心與O點位于同一水平面位置時，小球對盒子的哪些面有作用力，作用力為多大？ 解析：(1)設此時盒子的運動周期為T0，因為在最高點時盒子與小球之間恰好無作用力，因此小球僅受重力作用.根據牛頓運動定律得mg＝m， 又v＝，得T0＝2π. (2)設此時盒子的運動周期為T， 則此時小球的向心加速度a＝R， 由第(1)問知g＝R，且T＝， 由以上三式得a＝4g， 設小球受盒子右側面的作用力為F，受上側面的作用力為FN，根據牛頓運動定律知 在水平方向上有F＝ma＝4mg， 在豎直方向上有FN＋mg＝0， 即FN＝－mg， F為正值，FN為負值，所

50、以小球對盒子的右側面和下側面有作用力，大小分別為4mg和mg. 答案：(1)2π　(2)右側面，4mg　下側面，mg 解答豎直平面內圓周運動臨界問題時應注意以下幾點： (1)要明確運動的模型，即繩或桿. (2)分析物體的受力情況，找到向心力來源. (3)會應用向心力公式列方程.列方程時以指向圓心為正方向，若未知的力求出為正，說明該力的方向與正方向一致，若求出為負，說明該力方向與正方向相反. 名師點易錯 桿提供的不一定為支持力，也可以為拉力. 對點訓練一　水平面內圓周運動問題 1.(多選) 如圖所示，一個質量為m的小球用一根長為l的細繩吊在天花板上，給小球一水

51、平初速度，使它在水平內做勻速圓周運動，此時細繩與豎直方向的夾角為θ、重力加速度為g.下列說法正確的是(　　) A．細繩對小球的拉力大小為 B．細繩對小球的拉力大小為mgtanθ C．小球做圓周運動的線速度大小為 D．小球做圓周運動的線速度大小為 解析：小球受重力和拉力兩個力作用，靠兩個力的合力提供向心力，根據平行四邊形定則知，細繩對小球的拉力T＝，故A正確，B錯誤；根據牛頓第二定律得，mgtanθ＝m，解得v＝，故C正確，D錯誤.故選AC． 答案：AC 2.(2018·四川省高三二模)如圖所示，天花板上有一可自由轉動光滑小環(huán)Q，一輕繩穿過Q，兩端分別連接質量為m1、m2的

52、A、B小球.兩小球分別在各自的水平面內做圓周運動，它們周期相等.則A、B小球到Q的距離l1、l2的比值為(　　) A．　　　 B．　　　　 C．　　　 D． 解析：一根繩子的張力F是相等的，對于A球，Fsinθ1＝m1l1sinθ1，對于B球，Fsinθ2＝m2l2sinθ2，聯立可知，m1l1＝m2l2，即＝，D選項正確. 答案：D 對點訓練二　豎直面內圓周運動問題 3.(多選) 一雜技演員騎摩托車沿一豎直圓形軌道做特技表演，如圖所示.A、C兩點分別是軌道的最低點和最高點，B、D分別為兩側間的端點，若運動中的速率保持不變，人與車的總質量為m，設演員在軌道內逆時針運動.下列說

53、法正確的是(　　) A．人和車的向心加速度大小不變 B．摩托車通過最低點A時，軌道受到的壓力不可能等于mg C．由D點到A點的過程中，人受重力、支持力、摩擦力、向心力4個力的作用 D．摩托車通過B、D兩點時，軌道受到的壓力相同 解析：據題知，人和車做勻速圓周運動，速率不變，由公式a＝知，向心加速度大小不變，故A正確；摩托車通過最低點A時，重力和支持力的合力提供向心力，有：N－mg＝m，得N＝mg＋m，故軌道的支持力一定大于重力mg，根據牛頓第三定律，軌道受到的壓力大于mg，故B正確；由D點到A點的過程中，人受重力、支持力、摩擦力3個力的作用，故C錯誤；摩托車通過B、D兩點時，軌道受到

54、的壓力均為N＝m，但是壓力的方向不同，故D錯誤.故選AB． 答案：AB 【強化基礎】 1.(多選)如圖所示，A、B、C三個物體放在旋轉圓臺上，動摩擦因數均為μ，A的質量為2m，B、C的質量均為m，A、B離軸的距離為R，C離軸的距離為2R，則當圓臺旋轉時(設三物體都沒有滑動)(　　) A．C物體的向心加速度最大 B．B物體所受的靜摩擦力最小 C．當圓臺轉速增加時，C比A先滑動 D．當圓臺轉速增加時，B比A先滑動 解析：根據公式a＝ω2r可知C物體的向心加速度最大.向心力由摩擦力提供，則有f＝F＝mω2r，可知物體B受到的摩擦力最小.當靜摩擦力最大時，物體相對圓臺恰好不

55、滑動，則有μmg＝mω2r，即ω＝，由于C的離軸距離最大，當轉速增大時，C先滑動. 答案：ABC 2. (2018·新余市高三模擬)一輕桿一端固定質量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直面內做半徑為R的圓周運動，如圖所示，則下列說法正確的是(　　) A．小球過最高點時，桿所受到的彈力可以等于零 B．小球過最高點的最小速度是 C．小球過最高點時，桿對球的作用力一定隨速度增大而增大 D．小球過最高點時，桿對球的作用力一定隨速度增大而減小 解析：小球通過最高點時，重力提供向心力，桿的彈力可以等于零，mg＝m，A選項正確；當彈力與重力等大反向時，解得過最高點的最小速度為0，B選項錯

56、誤；mg＋F＝m，當0≤v≤時，桿對球的作用力隨速度增大而減小，當v＞時，桿對球的作用力隨速度增大而增大，C、D選項錯誤. 答案：A 3.如圖所示，小球固定在輕桿一端繞圓心O在豎直面內做勻速圓周運動，下列關于小球在最高點以及與圓心O等高處的受力分析一定錯誤的是(　　) 解析：小球做勻速圓周運動，重力和彈力的合力提供向心力，小球運動到與圓心O等高處時，彈力方向應該斜向右上方，A選項錯誤，B選項正確；小球運動到最高點時，彈力可能豎直向上也可能豎直向下，C、D選項正確. 答案：A 4.(多選)(2018·臨沂三模)如圖所示，不可伸長的輕質細繩一端固定在光滑豎直桿上，輕質彈簧用光滑輕環(huán)套

57、在桿上，細繩和彈簧的另一端固定在質量為m的小球上，開始時處于靜止狀態(tài)，現使該裝置繞桿旋轉且角速度緩慢增大，則下列說法正確的是(　　) A．輕繩上的彈力保持不變 B．輕繩上的彈力逐漸變大 C．彈簧上的彈力逐漸變大 D．彈簧上的彈力先變小后變大 解析：設繩與水平方向的夾角為θ，分析小球的受力情況，如圖所示： 豎直方向合力為零，Tsinθ＝mg.隨著角速度的增大，θ變小，繩上的拉力增大，A選項錯誤，B選項正確；水平方向的合力提供向心力，角速度較小時，彈簧處于壓縮狀態(tài)時，隨著角速度增大時，向心力增大，彈力逐漸減小，彈簧恢復原長時，彈力變?yōu)榱?，當角速度繼續(xù)增大，此時彈簧處于伸長狀態(tài)，

58、彈簧的彈力繼續(xù)增大，C選項錯誤，D選項正確. 答案：BD 【鞏固易錯】 5.(多選)在光滑水平桌面中央固定一邊長為0.3 m的正三棱柱abc，俯視如圖所示.長度為L＝1 m的細線，一端固定在a點，另一端拴住一質量為m＝0.5 kg、不計大小的小球.初始時刻，把細線拉直在ca的延長線上，并給小球以v0＝2 m/s且垂直于細線方向的水平速度，由于棱柱的存在，細線逐漸纏繞在棱柱上(不計細線與三棱柱碰撞過程中的能量損失).已知細線所能承受的最大拉力為7 N，則下列說法中正確的是(　　) A．細線斷裂之前，小球速度的大小保持不變 B．細線斷裂之前，小球所受細線拉力為零 C．細線斷裂之前，小球

59、運動的總時間為0.7π s D．細線斷裂之前，小球運動的位移大小為0.1 m 解析：細線斷裂之前，繩子拉力與速度垂直，不改變小球的速度大小，故小球的速度大小保持不變.故A正確；細線斷裂之前，小球所受細線拉力不為零，選項B錯誤；繩子剛斷裂時，拉力大小為7 N，由F＝m得，此時的半徑為r＝ m，由于小球每轉120°半徑減小0.3 m，則知小球剛好轉過一周，細線斷裂，則小球運動的總時間為t＝·＋·＋·，而r1＝1 m，r2＝0.7 m，r3＝0.4 m，v0＝2 m/s，解得：t＝0.7π s.故C正確；小球每轉120°半徑減小0.3 m，細線斷裂之前，小球運動的位移大小為1 m－0.1 m＝0

60、.9 m.故D錯誤.故選AC． 答案：AC 6.(多選)如圖甲所示，一輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，在豎直平面內做半徑為R的圓周運動.小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為FN，小球在最高點的速度大小為v，FN-v2圖象如圖乙所示.下列說法正確的是(　　) A．當地的重力加速度大小為 B．小球的質量為R C．v2＜b時，桿對小球彈力方向向下 D．若c＝2b，則桿對小球彈力大小與重力大小相等 解析：在最高點，若v＝0，則FN＝mg＝a；若FN＝0，由圖知：v2＝b，則有mg＝m＝m，解得g＝，m＝R，故B錯誤，A正確；由圖可知：當v2＜b時，桿對小球彈力方向向上，當v

61、2＞b時，桿對小球彈力方向向下，故C錯誤；若c＝2b.則N＋mg＝m＝m，解得FN＝mg，即小球受到的彈力與重力大小相等，故D正確.故選AD． 答案：AD 【能力提升】 7.(2018·池州期中)如圖所示，輕桿長2l，中點裝在水平軸O點，兩端分別固定著小球A和B，A球的質量為m，B球的質量為2m，兩者一起在豎直平面內繞O軸做圓周運動，已知重力加速度取g.若A球在最高點時，桿A端恰好不受力，求此時O軸的受力大小和方向？ 解析：兩球繞O軸做圓周運動，角速度相等，線速度相等. 若A球在最高點時，桿A端恰好不受力，A球受到的重力提供向心力. 根據牛頓第二定律得mg＝m 解得v＝ B球受

62、到的重力和桿的作用力提供向心力，F－2mg＝2m 聯立解得F＝4mg 此時桿對B球的拉力的大小為4mg，方向豎直向下. 答案：4mg　豎直向下 8.(2018·濟南一模)如圖所示，在水平面內有一平臺可繞豎直的中心軸以角速度ω＝3.14 rad/s旋轉.在平臺內沿半徑方向開兩個溝槽，質量為0.01 kg的小球A放置在粗糙的溝槽內，球與溝槽的動摩擦因數為0.5；質量為0.04 kg的小球B放置在另一光滑的溝槽內.長度為1 m的細線繞過平臺的中心軸，其兩端與兩球相連.設平臺中心軸是半徑可忽略的細軸，且光滑，球A始終相對圓盤保持靜止.(g＝3.142 m/s2.最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)求： (1)球A到軸O的距離多大時，小球A恰好不受摩擦力？ (2)球A到軸O的最大距離為多少？ 解析：(1)球A恰好不受摩擦力時，細線的拉力提供向心力，FT＝mAω2rA 研究球B的受力情況，FT＝mBω2(L－rA) 聯立解得rA＝0.8 m. (2)球A到軸O的距離最大時，向心力最大，即最大靜摩擦力和細線拉力的合力提供向心力，Ff＋FT′＝mAω′2rA′ 研究球B的受力情況，FT′＝mBω′2(L－rA′) 聯立解得，rA′＝0.9 m 球A到軸O的最大距離為0.9 m. 答案：(1)0.8 m　(2)0.9 m 39