2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 逆序推理法

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1、2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 逆序推理法 　　逆序推理法，也叫逆推法或倒推法。簡(jiǎn)單說(shuō)，就是調(diào)過(guò)頭來(lái)往回想。 　　例1 老師心中想了一個(gè)數(shù)，對(duì)他的學(xué)生說(shuō)：“給這個(gè)數(shù)加上9，再取和的一半應(yīng)是5?！彼袑W(xué)生們把這個(gè)數(shù)算出來(lái)。你會(huì)算嗎？ 　　解：用逆推法求解，就是這樣想：因?yàn)槔蠋熛氲臄?shù)加上9后之和的一半是5，那么和就應(yīng)是 5×2=10；再往前逆推，在沒(méi)有加上9之前應(yīng)是10-9=1，這就是老師心中想的數(shù)。 　　讓我們?cè)購(gòu)牧硪环N思路去想： 　　首先，把老師想的數(shù)用□代表，順著題意列式應(yīng)有： 　?。ā?9）÷2=5，我們可以叫它做順序式。 　　然后，再把前面的逆推過(guò)程寫(xiě)成算式，就應(yīng)

2、有： 　　5×2-9=1，“1”就是方框所代表的數(shù)，所以把它寫(xiě)在方框里。我們可以把這個(gè)算式叫做逆序式。把兩式進(jìn)行對(duì)照比較（如下圖如示）可見(jiàn)： 　 　?、夙樞虻倪\(yùn)算結(jié)果（或最后結(jié)論）是逆序式的已知數(shù)據(jù)（或起始條件）； 　?、陧樞蚴街谐?變?yōu)槟嫘蚴街谐艘?； 　　③順序式中加上9變?yōu)槟嫘蚴街袦p去9； 　　④順序式中起始未知數(shù)變?yōu)槟嫘蚴街凶詈筮\(yùn)算結(jié)果； 　　總之，逆序式恰為順序式的逆運(yùn)算。 　　這就是逆推法的由來(lái)和實(shí)質(zhì)。 　　例2 某數(shù)加上6，乘以6，減去6，除以6，最后結(jié)果等于6。問(wèn)這個(gè)數(shù)是幾？ 　　解：依題意，寫(xiě)出順序式，再接著寫(xiě)出逆序式， 　　[（某數(shù)+6）×6-6]÷

3、6=6…順序式 　?。?×6+6）÷6-6=某數(shù)…逆序式 　　經(jīng)計(jì)算可知“某數(shù)”=1。 　　例3 小勇拿了媽媽給的零花錢(qián)去買(mǎi)東西。他先用這些錢(qián)的一半買(mǎi)了玩具，之后又買(mǎi)了1元5角錢(qián)的小人書(shū)，最后還剩下3角錢(qián)。你知道媽媽給小勇多少錢(qián)嗎？ 　　解：可以這樣倒著想：小勇最后剩下3角錢(qián)，在買(mǎi)書(shū)之前的錢(qián)應(yīng)是3角+1元5角=1元8角。這個(gè)數(shù)目是他買(mǎi)玩具后剩下的，買(mǎi)玩具前的錢(qián)數(shù)應(yīng)當(dāng)是：1元8角×2=3元6角。這就是媽媽給他的錢(qián)數(shù)。 　　若畫(huà)出下面的圖就更清楚了。 　　例4 小亮拿著1包糖，遇見(jiàn)好朋友A，分給了他一半；過(guò)一會(huì)又遇見(jiàn)好朋友B，把剩下的糖的一半分給了他；后來(lái)又遇到了好朋友C，把這時(shí)手

4、中所剩下的糖的一半又分給了C，這時(shí)他自己手里只有一塊了。問(wèn)在沒(méi)有分給A以前，小亮那包糖有幾塊？ 　　解：采用逆推法--從最后結(jié)果往前倒著推算。小亮最后手里只剩下一塊糖，這是分給C一半后所剩的數(shù)，則知遇見(jiàn)C之前小亮有糖： 　　1×2=2（塊）。 　　同理，遇到B之前有糖：2×2=4（塊）。 　　遇到A之前有糖：4×2=8（塊）。 　　即小亮未給小朋友前，那包糖應(yīng)有8塊。 　　例5 農(nóng)婦賣(mài)蛋，第一次賣(mài)掉籃中的一半又1個(gè)，第二次又賣(mài)掉剩下的一半又1個(gè)，這時(shí)籃中還剩1個(gè)。問(wèn)原來(lái)籃中有蛋幾個(gè)？ 　　解： 　　逆推：籃中最后（即第二次賣(mài)后）剩1個(gè)； 　　第二次賣(mài)前籃中有（1+1）×2

5、=4個(gè)； 　　第一次賣(mài)前籃中有（4+1）×2=10個(gè)； 　　即籃中有10個(gè)蛋。 　　例6 某池中的睡蓮所遮蓋的面積，每天擴(kuò)大1倍，20天恰好遮住整個(gè)水池，問(wèn)若只遮住水池的一半需要多少天？ 　　解：倒著想。若是今天睡蓮把整個(gè)池面遮滿了，那么昨天睡蓮只遮住了水面的一半。今天是第20天，昨天就是第19天，也就是說(shuō)睡蓮遮住一半池面需19天。 　　例7 文化用品店新到一批日記本，上一周售出本數(shù)比總數(shù)的一半少12本；這一周售出的本數(shù)比所剩的一半多12本；結(jié)果還有19本。問(wèn)這批日記本有多少？ 　　解： 　　由圖上可見(jiàn)本周未售出時(shí)的一半是： 　　19+12=31（本）； 　　本周未售出時(shí)

6、的總數(shù)是： 　　31×2=62（本）； 　　總數(shù)的一半是： 　　62-12=50（本）； 　　總本數(shù)是： 　　50×2=100（本）。 　　列出綜合算式： 　　[（19+12）×2-12]×2=100（本）。 　　答：這批日記本共有100本。 　　例8 現(xiàn)有一堆棋子，把它分成三等份后還剩一顆；取出其中的兩份又分成三等份后還剩一顆；再取出其中的兩份再分成三等份后還剩一顆。問(wèn)原來(lái)至少有多少顆棋子？ 　　解：題中有“至少”這一條。 　　用逆推法從最后的最少棋子情況逆推。先畫(huà)線段圖依次表示分棋子的過(guò)程，見(jiàn)下圖： 　　假設(shè)第三次分時(shí)，三等份中每分是1個(gè)棋子（最少）， 　　則

7、此次分前應(yīng)是3+1=4個(gè)；4÷2=2，則第二次分前應(yīng)是2×3+1=7個(gè)，注意7是奇數(shù)（第二次分前的棋子是第一次分后的兩份，應(yīng)是偶數(shù)所以不應(yīng)是7，可見(jiàn)前面假設(shè)不對(duì)）。 　　再假設(shè)第三次分時(shí)每等份是2個(gè)棋子，也不行。 　　又假設(shè)第三次分時(shí)每等份是3個(gè)棋子，則有 　　3×3+1=10； 　　10÷2=5，5×3+1=16； 　　16÷2=8，8×3+1=25； 　　∴原來(lái)有棋子至少是25個(gè)。 附送： 2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 速算與巧算1 　　利用上一講得到的乘法運(yùn)算定律和等差數(shù)列求和公式，可以使計(jì)算變得巧妙而迅速。 　　例1 2×4×5×25×54 　　=

8、（2×5）×（4×25）×54 （利用了交換律和結(jié)合律） 　　=10×100×54 　　=54000 　　例2 54×125×16×8×625 　　=54×（125×8）×（625×16） （利用了交換律和結(jié)合律） 　　=54×1000×10000 　　=540000000 　　例3 5×64×25×125 將64分解為2、4、8的連乘積是關(guān)鍵一步。 　　=5×（2×4×8）×25×125 　　=（5×2）×（4×25）×（8×125） 　　=10×100×1000 　　=1000000 　　 　　例5 37×48×625 　　=37×（3×16）×625

9、注意37×3=111 　　=（37×3）×（16×625） 　　=111×10000 　　=1110000 　　例6 27×25+13×25 逆用乘法分配律，這樣做叫提公因數(shù) 　　=（27+13）×25 　　=40×25 　　=1000 　　例7 123×23+123+123×76 注意123=123×1；再提公因數(shù)123 　　=123×23+123×1+123×76 　　=123×（23×1+76） 　　=123×100 　　=12300 　　例8 81+991×9 把81改寫(xiě)（叫分解因數(shù)）為9×9是為了下一步提出公因數(shù)9 =9×9+991×9　　 =（9+

10、991）×9 　　=1000×9 　　=9000 　　例9 111×99 　　=111×（100-1） 　　=111×100-111 　　=11100-111 　　=10989 　　例10 23×57-48×23+23 　　=23×（57-48+1） 　　=23×10 　　=230 　　例11 求1+2+3+…+24+25的和。 　　解：此題是求自然數(shù)列前25項(xiàng)的和。 　　方法1：利用上一講得出的公式 　　和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2 　　1+2+3+…+24+25 　　=（1+25）×25÷2 　　=26×25÷2 　　=325 　　方法2：把兩個(gè)和

11、式頭尾相加（注意此法多么巧妙?。? 　　 　　想一想，這種頭尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼補(bǔ)法”有聯(lián)系嗎？ 　　例12 求8+16+24+32+…+792+800的和。 　　解：可先提公因數(shù) 　　8+16+24+32+…+792+800 　　=8×（1+2+3+4+…+99+100） 　　=8×（1+100）×100÷2 　　=8×5050 　　=40400 　　例13 某劇院有25排座位，后一排都比前一排多2個(gè)座位，最后一排有70個(gè)座位，問(wèn)這個(gè)劇院一共有多少個(gè)座位？ 　　解：由題意可知，若把劇院座位數(shù)按第1排、第2排、第3排、…、第25排的順序?qū)懗鰜?lái)，必是一個(gè)等差數(shù)列。 　　那么第1排有多少個(gè)座位呢？因?yàn)椋? 　　第2排比第1排多2個(gè)座位，2=2×1 　　第3排就比第1排多4個(gè)座位，4=2×2 　　第4排就比第1排多6個(gè)座位，6=2×3 　　　 　　這樣，第25排就比第1排多48個(gè)座位， 　　48=2×24。 　　所以第1排的座位數(shù)是：70-48=22。 　　再按等差數(shù)列求和公式計(jì)算劇院的總座位數(shù)： 　　和=（22+70）×25÷2 　　=92×25÷2 　　=1150。