2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)考點(diǎn)及題型 專題18 全等形與全等三角形（含解析）

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1、專題18 全等形和全等三角形 考點(diǎn)總結(jié) 【思維導(dǎo)圖】 【知識(shí)要點(diǎn)】 知識(shí)點(diǎn)1 全等三角形及其性質(zhì) 全等圖形概念：能完全重合的圖形叫做全等圖形. 特征：①形狀相同。②大小相等。③對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。 全等三角形概念：兩個(gè)能完全重合的三角形叫做全等三角形. 小結(jié)：把兩個(gè)全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角. 表示方法：全等用符號(hào)“≌”，讀作“全等于”。書(shū)寫三角形全等時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)字母要寫在對(duì)應(yīng)位置上。 全等變換定義：只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的變換。 變換方式（常見(jiàn)）：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)

2、。 全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。 1．（2017·四川中考模擬）已知四邊形ABCD各邊長(zhǎng)如圖所示，且四邊形OPEF≌四邊形ABCD．則PE的長(zhǎng)為（　?。? A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】D 【詳解】 ∵四邊形OPEF≌四邊形ABCD ∴PE=BC=10， 故選D. 2．（2019·福建中考模擬）如圖，若△MNP??≌??△MEQ，則點(diǎn)Q應(yīng)是圖中的（ ） A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D 【答案】D 【詳解】 ∵△MNP≌△MEQ， ∴點(diǎn)Q應(yīng)是圖中的D點(diǎn)，如圖， 故選：D． 3．（2018·廣西中考模擬）下列說(shuō)法中不

3、正確的是（　?。? A．全等三角形的周長(zhǎng)相等 B．全等三角形的面積相等 C．全等三角形能重合 D．全等三角形一定是等邊三角形 【答案】D 【詳解】 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知A，B，C命題均正確，故選項(xiàng)均錯(cuò)誤； D.錯(cuò)誤，全等三角也可能是直角三角，故選項(xiàng)正確. 故選D. 考查題型一 利用全等三角形性質(zhì)求線段與角 1．（2019·武岡市第七中學(xué)中考模擬）如圖，三角形紙片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使頂點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD，則△AED的周長(zhǎng)為（　?。? A．9cm B．13cm C．16cm D．1

4、0cm 【答案】A 【解析】 解：由折疊的性質(zhì)知，CD=DE，BC=BE=7cm． ∵AB=10cm，BC=7cm，∴AE=AB﹣BE=3cm． △AED的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9（cm）． 故選A． 2．（2017·江蘇南京溧水孔鎮(zhèn)中學(xué)中考模擬）如圖，△ABC≌△DEF，點(diǎn)A與D，B與E分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，且測(cè)得BC=5cm，BF=7cm，則EC長(zhǎng)為（ ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【詳解】 解：∵△ABC≌△BAD， ∴EF=BC=5cm， ∵BF=7cm，BC=5cm， ∴CF=EF-CF=3 c

5、m， 故選C． 3．（2016·廣東中考模擬）如圖，△ACB≌△A'CB',∠ACA′=30°，則∠BCB′的度數(shù)為( ) A．20° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【詳解】 ∵△ACB≌△A′CB′， ∴∠ACB=∠A′C′B′， ∴∠ACB-∠A′CB=∠A′C′B′-∠A′CB， 即∠BCB′=∠ACA′， 又∠ACA′=30°， ∴∠BCB′=30°， 故選：B． 4．（2019·沂源縣中莊中學(xué)初一月考）如圖，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△CDE,AB=6,BC=8,CE=10. （1）求△ABC的周長(zhǎng)；

6、 （2）求△ACE的面積. 【答案】（1）24；（2）50 【詳解】 解：（1））∵△ABC≌△CDE ∴AC=CE ∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+BC+AC=24 （2）∵△ABC≌△CDE ∴AC=CE，∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE 又∠B=90° ∴∠ACB+∠BAC=90° ∴∠ACB+∠DCE=90° ∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90° ∴△ACE的面積=12×AC×CE=50 考查題型二 利用全等三角形性質(zhì)證明線段、角相等 1．（2019·湖北黃石十四中初二期中）如圖，點(diǎn)E在AB上，△ABC≌△DEC，求證：CE平分∠BED．

7、 【答案】見(jiàn)解析 【詳解】 ∵△ABC≌△DEC， ∴∠B=∠DEC，BC=EC， ∴∠B=∠BEC， ∴∠BEC=∠DEC， ∴CE平分∠BED． 2．（2018·潁上縣第五中學(xué)初二期中）若△ABC≌△DCB，求證：∠ABE=∠DCE. 【答案】見(jiàn)解析 【詳解】 證明：∵△ABC≌△DCB ∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC ∴∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB 即∠ABE=∠DCE 知識(shí)點(diǎn)2：全等三角形的判定（重點(diǎn)） 一般三角形 直角三角形 判定 邊角邊（SAS）、角邊角（ASA） 角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS） 具備一般

8、三角形的判定方法 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等（HL） 性質(zhì) 對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)中線相等，對(duì)應(yīng)高相等，對(duì)應(yīng)角平分線相等 注：① 判定兩個(gè)三角形全等必須有一組邊對(duì)應(yīng)相等； ② 全等三角形周長(zhǎng)、面積相等． 證題的思路（重點(diǎn)）： 考查題型三 已知一邊一角（若邊為角的對(duì)邊，找任意角AAS） 1．（2018·四川中考模擬）如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求證:AC=AD． 【答案】見(jiàn)解析 【解析】 詳解：∵∠1=∠2 ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC ∴∠BAC=∠EAD 在ΔABC和ΔAED中∠BAC=∠EAD∠C=∠DAB=AE ∴ΔABC≌Δ

9、AED（AAS) ∴AC=AD 2．（2014·北京中考模擬）已知：如圖，E是AC上一點(diǎn)，AB=CE，AB∥CD，∠ACB =∠D．求證：BC =ED． 【答案】證明見(jiàn)解析. 【詳解】 ∵AB∥CD，∴∠A=∠ECD. 在△ABC和△ECD中，∵∠A＝∠ECD，∠ACB＝∠D，AB＝CE， ∴△ABC≌△ECD（AAS）. ∴BC=DE． 3．（2018·四川中考模擬）已知，如圖，E、F分別為□ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn)，且∠1=∠2,.求證：AE=CF. 【答案】詳見(jiàn)解析 【詳解】 ∵四邊形ABCD為平行四邊形 ∴∠B=∠D，AB=CD 在△ABE與△C

10、DF中，∠1=∠2，∠B=∠D，AB=CD ∴△ABE≌△CDF ∴AE=CF 4．（2016·福建中考模擬）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE．求證：△ACD≌△CBE． 【答案】證明詳見(jiàn)解析. 【詳解】 ∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠E=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∵∠B+∠BCE=90°， ∴∠B=∠ACD， 在△BEC和△CDA中， ∠ADC=∠E=90°，∠B=∠ACD，AC=BC， ∴△ACD≌△CBE（AAS）． 考查題型四 已知一邊一角（邊為角的鄰邊（找已知角的另一邊SAS

11、）） 1．（2016·四川中考真題）如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，CD=BE，CD∥BE．求證：∠D=∠E． 【答案】見(jiàn)解析 【詳解】 ∵C是線段AB的中點(diǎn)， ∴AC=CB， ∵CD∥BE， ∴∠ACD=∠B， 在△ACD和△CBE中， ∵AC=CB，∠ACD=∠B，CD=BE， ∴△ACD≌△CBE（SAS）， ∴∠D=∠E． 2．（2018·云南中考模擬）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在AB上，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF．求證：∠C＝∠D． 【答案】證明見(jiàn)解析 【詳解】 證明：∵AE＝BF， ∴AE+EF＝BF+EF， ∴AF＝BE， 在△ADF與△BCE中

12、， ∴△ADF≌△BCE（SAS）， ∴∠C＝∠D． 3．（2019·遼寧中考真題）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求證：AF=DE． 【答案】見(jiàn)解析； 【詳解】 證明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE， 在ΔABF和ΔDCE中， AB=DC∠B=∠CBF=CE， ∴ΔABF≌ΔDCE ∴AF=DE． 考查題型五 已知一邊一角（邊為角的鄰邊（找已知邊的對(duì)角AAS）） 1．（2013·浙江中考真題）如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點(diǎn)E，且∠A=∠D，AB=DC． （1）求證：△ABE≌DCE；

13、 （2）當(dāng)∠AEB=50°，求∠EBC的度數(shù)。 【答案】見(jiàn)解析（2）∠EBC=25° 【詳解】 解（1）證明：∵在△ABE和△DCE中，{∠A=∠D∠AEB=∠DECAB=DC， ∴△ABE≌△DCE（AAS） （2）∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°， ∴∠EBC=25° 2．（2016·廣西中考模擬）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E、F，并且DE=DF．求證： （1）△ADE≌△CDF； （2）四邊形ABCD是菱形． 【答案】見(jiàn)解析 【解析】證明：（1）

14、∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=900。 ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C。 在△AED和△CFD中： ∵&∠AED=∠CFD&∠A=∠C&DE=DF， ∴△AED≌△CFD（AAS）。 （2）∵△AED≌△CFD，∴AD=CD。 ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形。 3．（2019·陜西中考模擬）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE、DF分別是∠ABC、∠ADC的平分線，且與對(duì)角線AC分別相交于點(diǎn)E、F．求證：AE=CF． 【答案】見(jiàn)解析. 【詳解】 證明：∵平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC， ∴∠ACB=∠C

15、AD． ∵BE、DF分別是∠ABC、∠ADC的平分線， ∴∠BEC=∠ABE+∠BAE=∠FDC+∠FCD=∠DFA， 在△BEC與△DFA中， ∵∠BEC＝∠DFA∠ACB＝∠CADAD＝BC ∴△BEC≌△DFA（AAS）， ∴AF=CE， ∴AE=CF． 考查題型六 已知一邊一角（邊為角的鄰邊（找已知邊的另一角ASA）） 1．（2016·湖北中考真題）楊陽(yáng)同學(xué)沿一段筆直的人行道行走,在由A步行到達(dá)B處的過(guò)程中,通過(guò)隔離帶的空隙O,剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的社會(huì)主義核心價(jià)值觀標(biāo)語(yǔ),其具體信息匯集如下: 如圖,AB∥OH∥CD,相鄰兩平行線間的距離相等,AC,BD相

16、交于O,OD⊥CD,垂足為D,已知AB=20米,請(qǐng)根據(jù)上述信息求標(biāo)語(yǔ)CD的長(zhǎng)度. 【答案】20米. 【解析】 試題解析：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO， ∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°， ∴∠ABO=90°，即OB⊥AB， ∵相鄰兩平行線間的距離相等， ∴OD=OB， 在△ABO與△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（ASA）， ∴CD=AB=20（m） 2．（2015·北京中考模擬）如圖，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E； 求證：BC=DC． 【答案】見(jiàn)解析 【詳解】 證明：∵∠BCE=∠DCA， ∴∠BCE+∠ACE=∠DC

17、A+∠ACE，即∠ACB=∠ECD. 在△ABC和△EDC中， ∵{∠ACB=∠ECDAC=EC∠A=∠E， ∴△ABC≌△EDC（ASA）. ∴BC=DC 3．（2016·湖北中考模擬）如圖，已知EF∥MN，EG∥HN，且FH=MG，求證：△EFG≌△NMH． 【答案】證明見(jiàn)解析 【解析】 ∵EF∥MN, EG∥HN, ∴∠F=∠M, ∠EGF=∠NHM. ∵FH=MG， ∴FG=MH. 在△EFG和△NMH中 ∵∠F=∠M, FG=MH ∠EGF=∠NHM， ∴△EFG≌△NMH（ASA） 考查題型七 已知兩角，找兩角的夾邊ASA 1．（2010·

18、河北中考真題）如圖，在△ABC和△ADE中，點(diǎn)E在BC邊上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D， AB＝AD, （1）試說(shuō)明△ABC≌△ADE； （2）如果∠AEC＝75°，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角后與△ABC重合，求這個(gè)旋轉(zhuǎn)角的大?。? 【答案】（1）、證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）、30° 【詳解】 （1）∵∠BAC=∠DAE，AB=AD，∠B=∠D， ∴△ABC≌△ADE. （2）∵△ABC≌△ADE ∴AC=AE， ∴∠C=∠AEC=75°， ∴∠CAE=180°?∠C?∠AEC=30°， ∴△ADE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后與△ABC重合， ∴這個(gè)旋轉(zhuǎn)角為30°.

19、 2．（2019·河北中考模擬）某風(fēng)景區(qū)改建中，需測(cè)量湖兩岸游船碼頭A、B間的距離，于是工作人員在岸邊A、B的垂線AF上取兩點(diǎn)E、D，使ED＝AE．再過(guò)D點(diǎn)作出AF的垂線OD，并在OD上找一點(diǎn)C，使B、E、C在同一直線上，這時(shí)測(cè)得CD長(zhǎng)就是AB的距離．請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】證明見(jiàn)解析. 【詳解】 證明：∵AB⊥AD，CD⊥AD， ∴∠A＝∠CDE＝90°， 又∵ED＝AE，∠AEB＝∠CED， ∴△ABE≌△CED(AAS)， ∴AB＝CD． 3．（2018·湖北中考模擬）如圖，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，AD=AE．求證：BE=CD． 【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析

20、 【詳解】 ∵BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E， ∴∠ADB=∠AEC=90°， 在△ADB和△AEC中， ∠ADB=∠AECAD=AE∠A=∠A ∴△ADB≌△AEC（ASA） ∴AB=AC， 又∵AD=AE， ∴BE=CD． 考查題型八 已知兩角，找任意一邊AAS 1．（2017·湖北中考模擬）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF與DE交于點(diǎn)O． (1)求證：AB＝DC； (2)試判斷△OEF的形狀，并說(shuō)明理由． 【答案】（1）證明略 （2）等腰三角形，理由略 【詳解】 證明：（1）∵BE＝CF， ∴BE＋EF

21、＝CF＋EF， 即BF＝CE． 又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△ABF≌△DCE（AAS）， ∴AB＝DC． （2）△OEF為等腰三角形 理由如下：∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC． ∴OE=OF． ∴△OEF為等腰三角形． 2．（2019·山西中考真題）已知：如圖，點(diǎn)B，D在線段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠H.求證：BC=DH. 【答案】證明見(jiàn)解析. 【詳解】 ∵AD=BE， ∴AD-BD=BE-BD， 即AB=DE. ∵AC∥EH， ∴∠A=∠E

22、， 在△ABC和△EDH中 ∠C=∠H∠A=∠EAB=DE， ∴△ABC≌△EDH(AAS)， ∴BC=DH. 3．（2019·廣西中考模擬）已知：如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，AB∥DE，∠A＝∠D，BF＝EC． （1）求證：△ABC≌△DEF． （2）若∠A＝120°，∠B＝20°，求∠DFC的度數(shù)． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∠DFC＝40° 【詳解】 （1）證明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， ∵BF＝EC ∴BF+FC＝EC+CF， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， &∠A=∠D&∠B=∠E&BC=EF ， ∴△ABC≌△DEF

23、（AAS）； （2）解：∵∠A＝120°，∠B＝20°， ∴∠ACB＝40°， 由（1）知△ABC≌△DEF， ∴∠ACB＝∠DFE， ∴∠DFE＝40°， ∴∠DFC＝40°． 4．（2016·江蘇中考模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，CE⊥BD于E，AB=EC． （1）求證：△ABD≌△ECB； （2）若∠EDC=65°，求∠ECB的度數(shù)； （3）若AD=3，AB=4，求DC的長(zhǎng)． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）40°；（3）25． 【解析】 （1）證明：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠EBC， ∵∠A=∠CEB=90°， 在△A

24、BD與△CEB中， {∠A=∠CEB∠ADB=∠EBCAB=CE， ∴△ABD≌△ECB； （2）由（1）證得△ABD≌△ECB， ∴BD=BC， ∴∠BCD=∠BDC=65°， ∵∠DCE=90°-65°=25°， ∴∠ECB=40°； （3）由（1）證得△ABD≌△ECB， ∴CE=AB=4，BE=AB=3， ∴BD=BC=42+32=5， ∴DE=2， ∴CD=22+42=25． 考查題型九 已知兩邊，找?jiàn)A角SAS 1．（2013·湖北中考真題）如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE．求證：AD=AE． 【解析】 證明：∵AB=AC

25、，∴∠B=∠C。 在△ABD與△ACE中，∵{AB=AC∠B=∠CBD=EC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）。 ∴AD=AE。 2．（2018·廣東中考真題）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E，AE＝CE，DE＝BE．求證：∠A＝∠C． 【答案】證明見(jiàn)解析． 【詳解】 在△AED和△CEB中， AE=CE∠AED=∠CEBDE=BE， ∴△AED≌△CEB（SAS）， ∴∠A＝∠C（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）． 3．（2019·江蘇中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于點(diǎn)0； 求證：（1）ΔDBC?ΔECB （2）

26、OB=OC 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析. 【詳解】 (1)∵AB=AC， ∴∠ECB=∠DBC， 在ΔDBC與ΔECB中 BD=CE∠DBC=BC=CB∠ECB， ∴ ΔDBC?ΔECB； (2)由(1) ΔDBC?ΔECB， ∴∠DCB=∠EBC， ∴OB=OC. 4．（2018·江蘇中考模擬）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD． （1）求證：△ABC≌△AED； （2）當(dāng)∠B=140°時(shí)，求∠BAE的度數(shù)． 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）80°． 【詳解】 證明：（1）∵AC=AD， ∴∠AC

27、D=∠ADC， 又∵∠BCD=∠EDC=90°， ∴∠ACB=∠ADE， 在△ABC和△AED中， BC=ED∠ACB=∠ADEAC=AD， ∴△ABC≌△AED（SAS）； 解：（2）當(dāng)∠B=140°時(shí)，∠E=140°， 又∵∠BCD=∠EDC=90°， ∴五邊形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°． 5．（2019·河北中考模擬）如圖，△BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，連接DE． （1）求證：△BDE≌△BCE； （2）試判斷四邊形ABED的形狀，并說(shuō)明理由． 【答案】證明見(jiàn)解析. 【詳解

28、】 （1）證明：∵△BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60°而得， ∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°， ∵AB⊥EC， ∴∠ABC=90°， ∴∠DBE=∠CBE=30°， 在△BDE和△BCE中， ∵DB=CB∠DBE=∠CBEBE=BE， ∴△BDE≌△BCE； （2）四邊形ABED為菱形； 由（1）得△BDE≌△BCE， ∵△BAD是由△BEC旋轉(zhuǎn)而得， ∴△BAD≌△BEC， ∴BA=BE，AD=EC=ED， 又∵BE=CE， ∴BA=BE=ED= AD ∴四邊形ABED為菱形． 考查題型十已知兩邊，找直角HL 1．（2018·江

29、蘇中考真題）如圖，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于點(diǎn)O．求證：OB=OC． 【答案】證明見(jiàn)解析. 【解答】證明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 BD=CABC=CB， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO． 2．（2019·江蘇中考模擬）如圖所示，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，且BE=CF，求證：AD是△ABC的角平分線． 【答案】見(jiàn)解析 【詳解】 證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△BDE△DCF是直角三角形． 在Rt△BDE與Rt△DCF中， BE=CFB

30、D=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴DE=DF， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是△ABC的角平分線． 3．（2019·福建省詔安縣霞葛初級(jí)中學(xué)中考模擬）如圖，D、C、F、B四點(diǎn)在一條直線上，，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)F，CD=BF． 求證： （1）ΔABC?ΔEDF； （2）AB//DE． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析. 【詳解】 證明： （1）∵AC⊥BD，EF⊥BD， ∴ΔABC和ΔEDF為直角三角形， ∵CD=BF， ∴CF+BF=CF+CD，即BC=DF， 在RtΔABC和RtΔEDF中， AB=D

31、EBC=DF， ∴RtΔABC?RtΔEDFHL； （2）由（1）可知ΔABC?ΔEDF， ∴∠B=∠D， ∴AB//DE． 考查題型十一 已知兩邊，找第三邊SSS 1．（2018·四川中考模擬）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求證：AB∥DE． 【答案】詳見(jiàn)解析. 【解析】 證明：由BE＝CF可得BC＝EF， 又AB＝DE，AC＝DF， 故△ABC≌△DEF（SSS）， 則∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． 2．（2018·廣西中考真題）如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，AD=CF，AB=DE，BC=EF. (1)

32、求證：ΔABC≌△DEF； (2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度數(shù). 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）37° 【解析】 （1）∵AC=AD+DC， DF=DC+CF，且AD=CF ∴AC=DF 在△ABC和△DEF中， AB=DEBC=EFAC=DF ∴△ABC≌△DEF（SSS） （2）由（1）可知，∠F=∠ACB ∵∠A=55°，∠B=88° ∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37° ∴∠F=∠ACB=37° 3．（2019·遼寧中考模擬）已知：如圖，點(diǎn)A、D、C、B在同一條直線上，AD=BC，AE=BF，CE=DF

33、，求證：AE∥BF． 【答案】證明見(jiàn)解析. 【解析】 ∵AD=BC，∴AC=BD， 在△ACE和△BDF中， AC＝BDAE＝BFCE＝DF， ∴△ACE≌△BDF（SSS） ∴∠A=∠B， ∴AE∥BF； 知識(shí)點(diǎn)3 角平分線 角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等； 判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上． 三角形中角平分線的性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三條邊距離相等。 考查題型十二 圖中有角平分線，向兩邊作垂線 1.（2019·襄樊市月考）在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且∠EDF

34、+∠EAF=180°，求證DE=DF． 【答案】證明見(jiàn)解析. 【詳解】 過(guò)D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， 即∠EMD=∠FND=90°， ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM=DN（角平分線性質(zhì)）， ∵∠EAF+∠EDF=180°， ∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°， ∵∠AFD+∠NFD=180°， ∴∠MED=∠NFD， 在△EMD和△FND中 ∠MED=∠DFN∠DME=∠DNFDM=DN， ∴△EMD≌△FND（AAS）， ∴DE=DF． 2. （2019·襄樊市月考）在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E

35、、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且∠EDF+∠EAF=180°，求證DE=DF． 【答案】證明見(jiàn)解析. 【詳解】 過(guò)D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， 即∠EMD=∠FND=90°， ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM=DN（角平分線性質(zhì)）， ∵∠EAF+∠EDF=180°， ∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°， ∵∠AFD+∠NFD=180°， ∴∠MED=∠NFD， 在△EMD和△FND中 ∠MED=∠DFN∠DME=∠DNFDM=DN， ∴△EMD≌△FND（AAS）， ∴DE=DF． 3．（2017·廣東中考模擬）如

36、圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PD=6，則點(diǎn)P到邊OB的距離為_(kāi)____． 【答案】6 【解析】 作PE⊥OB于E，如圖， ∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE=PD=6， 即點(diǎn)P到邊OB的距離為6． 故答案為6． 考查題型十三 角平分線加垂線，三線合一試試看 1.如圖，已知AE⊥FE，垂足為E，且E是DC的中點(diǎn)． (1)如圖①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分別為C，D，且AD＝DC，判斷AE是∠FAD的角平分線嗎？(不必說(shuō)明理由) (2)如圖②，如果(1)中的條件“AD＝DC”去掉，其余條件不變，(1)中

37、的結(jié)論仍成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)如圖③，如果(1)中的條件改為“AD∥FC”，(1)中的結(jié)論仍成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）AE是∠FAD的角平分線（2）成立（3）成立 【詳解】 （1）AE是∠FAD的角平分線； （2）成立，如圖，延長(zhǎng)FE交AD于點(diǎn)B， ∵E是DC的中點(diǎn)， ∴EC=ED， ∵FC⊥DC，AD⊥DC， ∴∠FCE=∠EDB=90°， 在△FCE和△BDE中， ∠FEC=∠DEBEC=ED∠FCE=∠EDB, ∴△FCE≌△BDE， ∴EF=EB， ∵AE⊥FE， ∴AF=AB， ∴AE是∠FAD的角平分線； （3）成立，如圖，

38、延長(zhǎng)FE交AD于點(diǎn)B， ∵AD=DC， ∴∠FCE=∠EDB， 在△FCE和△BDE中， ∠FEC=∠DEBEC=ED∠FCE=∠EDB, ∴△FCE≌△BDE， ∴EF=EB， ∵AE⊥FE， ∴AF=AB， ∴AE是∠FAD的角平分線. 考查題型十四 角平分線平行線，等腰三角形來(lái)填 1.（2017春 贛州市期末）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作DE//BC，分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,若AB=4，AC=3，則△ADE的周長(zhǎng)是_______________。 【答案】7 【解析】 解：∵BO平分∠ABC， ∴∠DBO=∠C

39、BO， ∵DE∥BC， ∴∠CBO=∠DOB， ∴∠DBO=∠DOB， ∴BD=DO， 同理OE=EC， ∴△ADE的周長(zhǎng)=AD+AE+ED=AB+AC=4+3=7． 故答案為：7． 2.（2018·江蘇中考模擬）如圖，AB∥CD，CB平分∠ACD，∠ABC=35°，則∠BAE=__________度. 【答案】70 【詳解】∵AB∥CD，∠ABC=35°， ∴∠BCD=∠B=35°， ∵CB平分∠ACD， ∴∠BAE=2∠BCD=70° 故正確答案為：70. 考查題型十五 圖形對(duì)折問(wèn)題 1．（2017 丹陽(yáng)市月考）如圖a是長(zhǎng)方形紙帶，∠DEF=25°，將紙

40、帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是____________°． 【答案】105° 【解析】 由圖a知，∠EFC=155°. 圖b中，∠EFC=155°，則∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°. 圖c中，∠GFC=130°，則∠CFE=130°-25°=105°. 故答案為：105°. 2.（2019 道外區(qū)期末）如圖a是長(zhǎng)方形紙帶（提示：AD∥BC），將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿GF折疊成圖c． （1）若∠DEF＝20°，則圖b中∠EGB＝______，∠CFG＝______； （2）若∠DEF＝20°，則圖c中∠

41、EFC＝______； （3）若∠DEF＝α，把圖c中∠EFC用α表示為_(kāi)_____； （4）若繼續(xù)按EF折疊成圖d，按此操作，最后一次折疊后恰好完全蓋住∠EFG，整個(gè)過(guò)程共折疊了9次，問(wèn)圖a中∠DEF的度數(shù)是多少． 【答案】（1）40°，140°；（2）120°；（3）180°﹣3α；（4）18°． 【詳解】 （1）∵長(zhǎng)方形的對(duì)邊是平行的， ∴∠BFE＝∠DEF＝20°， ∴∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝40°， ∴∠FGD＝∠EGB＝40°， ∴∠CFG＝180°﹣∠FGD＝140°； 故答案為：40°，140°； （2）∵長(zhǎng)方形的對(duì)邊是平行的， ∴∠BFE＝∠DE

42、F＝20°， ∴圖a、b中的∠CFE＝180°﹣∠BFE，以下每折疊一次，減少一個(gè)∠BFE， ∴圖c中的∠EFC度數(shù)是120°； 故答案為：120°； （3）由（2）中的規(guī)律，可得∠CFE＝180°﹣3α． 故答案為：180°﹣3α； （4）設(shè)圖a中∠DEF的度數(shù)是x°， 由（2）中的規(guī)律，可得180﹣(9+1)x＝0． 解得：x＝18． 故答案為：18°． 考查題型十六 角平分線與實(shí)際問(wèn)題 1．（2019·深圳市文錦中學(xué)中考模擬）已知：如圖所示，三條公路兩兩分別相交于點(diǎn)A、B、C，在甲區(qū)內(nèi)求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到三條公路的距離都相等。 【答案】答案見(jiàn)解析 【詳解】 解：點(diǎn)P位置如圖所示： 32