2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)數(shù)與計數(shù)（二）

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1、2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)數(shù)與計數(shù)（二） 　　例1 數(shù)一數(shù)，圖3－1中共有多少點？ 　　解：（1）方法1：如圖3－2所示從上往下一層一層數(shù)： 　　第一層 1個 　　第二層 2個 　　第三層 3個 　　第四層 4個 　　第五層 5個 　　第六層 6個 　　第七層 7個 　　第八層 8個 　　第九層 9個 　　第十層 10個 　　第十一層 9個 　　第十二層 8個 　　第十三層 7個 　　第十四層 6個 　　第十五層 5個 　　第十六層 4個 　　第十七層 3個 　　第十八層 2個 　　第十九層 1個 　　總數(shù)1+2+3+4+5

2、+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 　　=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1） 　　=55+45=100（利用已學(xué)過的知識計算）。 　?。?）方法2：如圖3－3所示：從上往下，沿折線數(shù) 　　第一層 1個 　　第二層 3個 　　第三層 5個 　　第四層 7個 　　第五層 9個 　　第六層 11個 　　第七層 13個 　　第八層 15個 　　第九層 17個 　　第十層 19個 　　總數(shù)：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已學(xué)過的知識計算）。 　?。?）方法3：把點群

3、的整體轉(zhuǎn)個角度，成為如圖3－4所示的樣子，變成為10行10列的點陣。顯然點的總數(shù)為10×10=100（個）。 　　想一想： 　?、贁?shù)數(shù)與計數(shù)，有時有不同的方法，需要多動腦筋。 　　②由方法1和方法3得出下式： 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10 　　即等號左邊這樣的一串數(shù)之和等于中間數(shù)的自乘積。由此我們猜想： 　　1=1×1 　　1+2+1=2×2 　　1+2+3+2+1=3×3 　　1+2+3+4+3+2+1=4×4 　　1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5 　　1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+

4、1=6×6 　　1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7 　　1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10 　　這樣的等式還可以一直寫下去，能寫出很多很多。 　　同學(xué)們可以自己檢驗一下，看是否正確，如果正確我們就發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律。 　　③由方法2和方法3也可以得出下式： 　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10。 　　即從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和等

5、于奇數(shù)個數(shù)的自乘積。由此我們猜想： 　　1+3=2×2 　　1+3+5=3×3 　　1+3+5+7=4×4 　　1+3+5+7+9=5×5 　　1+3+5+7+9+11=6×6 　　1+3+5+7+9+11+13=7×7 　　1+3+5+7+9+11+13+15=8×8 　　1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9 　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10 　　還可往下一直寫下去，同學(xué)們自己檢驗一下，看是否正確，如果正確，我們就又發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律。 　　例2 數(shù)一數(shù)，圖3－5中有多少條線段？ 　　解：（1）我們已知，兩點間的直線部分是

6、一條線段。以A點為共同端點的線段有： 　　AB AC AD AE AF 5條。 　　以B點為共同左端點的線段有： 　　BC BD BE BF 4條。 　　以C點為共同左端點的線段有： 　　CD CE CF 3條。 　　以D點為共同左端點的線段有： 　　DE DF 2條。 　　以E點為共同左端點的線段有： 　　EF1條。 　　總數(shù)5+4+3+2+1=15條。 　?。?）用圖示法更為直觀明了。見圖3－6。 　　總數(shù)5+4+3+2+1=15（條）。 　　想一想：①由例2可知，一條大線段上有六個點，就有：總數(shù)=5+4+3+2+1條線段。由此猜想如下規(guī)律（見圖3－7）：

7、 　　還可以一直做下去?？傊?，線段總條線是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比總數(shù)小1。我們又發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律。它說明了點數(shù)與線段總數(shù)之間的關(guān)系。 　?、谏厦娴氖聦嵰部梢赃@樣說：如果把相鄰兩點間的線段叫做基本線段，那么一條大線段上的基本線段數(shù)和線段總條數(shù)之間的關(guān)系是： 　　線段總條數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于基本線段的條數(shù)（見圖3－8）?；揪€段數(shù) 線段總條數(shù) 　　還可以一直寫下去，同學(xué)們可以自己試試看。 　　例3 數(shù)一數(shù)，圖3－9中共有多少個銳角？ 　　解：（1）我們知道，圖中任意兩條從O點發(fā)出的射線都組成一個銳角。 　　所以，以O(shè)A邊為

8、公共邊的銳角有： 　　∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE， 　　∠AOF共5個。 　　以O(shè)B邊為公共邊的銳角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4個。 　　以O(shè)C邊為公共邊的銳角有：∠COD，∠COE，∠COF共3個。以O(shè)D邊為公共邊的銳角有：∠DOE，∠DOF共2個。以O(shè)E邊為一邊的銳角有：∠EOF只1個。 　　銳角總數(shù)5+4+3+2+1＝15（個）。 　?、谟脠D示法更為直觀明了：如圖3－10所示，銳角總數(shù)為：5+4+3+2+1=15（個）。 　 　　想一想：①由例3可知：由一點發(fā)出的六條射線，組成的銳角的總數(shù)=5+4+3+2+1（個），由此猜想出如下規(guī)律：

9、（見圖3－11～15） 　　兩條射線1個角（見圖3－11） 　　三條射線2+1個角（見圖3－12） 　　四條射線3+2+1個角（見圖3－13） 　　五條射線4+3+2+1個角（見圖3－14） 　　六條射線5+4+3+2+1個角（見圖3－15） 　　總之，角的總數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比射線數(shù)小1。 　　②同樣，也可以這樣想：如果把相鄰兩條射線構(gòu)成的角叫做基本角，那么有共同頂點的基本角和角的總數(shù)之間的關(guān)系是： 　　角的總數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于基本角個數(shù)。 　?、圩⒁猓?和例3的情況極其相似。雖然例2

10、是關(guān)于線段的，例3是關(guān)于角的，但求總數(shù)時，它們有同樣的數(shù)學(xué)表達式。同學(xué)們可以看出，一個數(shù)學(xué)式子可以表達表面上完全不同的事物中的數(shù)量關(guān)系，這就是數(shù)學(xué)的魔力。 附送： 2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 整數(shù)的分拆 　　例1 小兵和小軍用玩具槍做打靶游戲，見下圖所示。他們每人打了兩發(fā)子彈。小兵共打中6環(huán)，小軍共打中5環(huán)。又知沒有哪兩發(fā)子彈打到同一環(huán)帶內(nèi)，并且彈無虛發(fā)。你知道他倆打中的都是哪幾環(huán)嗎？ 　　解：已知小兵兩發(fā)子彈打中6環(huán)，要求每次打中的環(huán)數(shù)，可將6分拆6=1+5=2+4；同理，要求小軍每次打中的環(huán)數(shù)，可將5分拆5=1+4=2+3。 　　由題意：沒有哪兩發(fā)子彈打到同

11、一環(huán)帶內(nèi)并且彈無虛發(fā)，只可能是： 　　小兵打中的是1環(huán)和5環(huán)，小軍打中的是2環(huán)和3環(huán)。 　　例2 某個外星人來到地球上，隨身帶有本星球上的硬幣1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想買7分錢的一件商品，他應(yīng)如何付款？買9分、10分、13分、14分和15分的商品呢？他又將如何付款？ 　　解：這道題目的實質(zhì)是要求把7、9、10、13、14、15各數(shù)按1、2、4、8進行分拆。 　　7=1+2+4 　　9=1+8 　　10=2+8 　　13=1+4+8 　　14=2+4+8 　　15=1+2+4+8 　　外星人可按以上方式付款。 　　例3 有人以為8是個吉利數(shù)字，他們得到的東西的數(shù)

12、量都能要夠用“8”表示才好?，F(xiàn)有200塊糖要分發(fā)給一些人，請你幫助想一個吉利的分糖方案。 　　解：可以這樣想：因為200的個位數(shù)是0，又知只有5個8相加才能使和的個位數(shù)字為0，這就是說，可以把200分成5個數(shù)，每個數(shù)的個位數(shù)字都應(yīng)是8。 　　這樣由8×5=40及200-40=160， 　　可知再由兩個8作十位數(shù)字可得80×2=160即可。 　　最后得到下式：88+88+8+8+8=200。 　　例4 試將100以內(nèi)的完全平方數(shù)分拆成從1開始的一串奇數(shù)之和。 　　解：1=1×1=12=1（特例） 　　4=2×2=22=1+3 　　9=3×3=32=1+3+5 　　16=4×4=

13、42=1+3+5+7 　　25=5×5=52=1+3+5+7+9 　　36=6×6=62=1+3+5+7+9+11 　　49=7×7=72=1+3+5+7+9+11+13 　　64=8×8=82 　　=1+3+5+7+9+11+13+15 　　81=9×9=92 　　=1+3+5+7+9+11+13+15+17 　　100=10×10=102 　　=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。 　　觀察上述各式，可得出如下猜想： 　　一個完全平方數(shù)可以寫成從1開始的若干連續(xù)奇數(shù)之和，這個平方數(shù)就等于奇數(shù)個數(shù)的自乘積（平方）。 　　檢驗：把11×11=121，和12

14、×12=144，兩個完全平方數(shù)分拆，看其是否符合上述猜想。 　　121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21 　　144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23 　　結(jié)論:上述猜想對121和144兩個完全平方數(shù)是正確的。 　　例5 從1～9九個數(shù)中選取，將11寫成兩個不同的自然數(shù)之和，有多少種不同的寫法？ 　　解：將1～9的九個自然數(shù)從小到大排成一列： 　　1，2，3，4，5，6，7，8，9。 　　分析 先看最小的1和最大的9相加之和為10不符合要求。 　　但用次大的2和最大的9相加，和為11符合要求，得11=2+9。 　　逐個做下去，

15、可得11=3+8，11=4+7，11=5+6。 　　可見共有4種不同的寫法。 　　例6 將12分拆成三個不同的自然數(shù)相加之和，共有多少種不同的分拆方式，請把它們一一列出。 　　解：可以做如下考慮：若將12分拆成三個不同的自然數(shù)之和，三個數(shù)中最小的數(shù)應(yīng)為1，其次是2，那么第三個數(shù)就應(yīng)是9得：12=1+2+9。 　　下面進行變化，如從9中取1加到2上， 　　又得12=1+3+8。 　　繼續(xù)按類似方法變化，可得下列各式： 　　12=1+4+7=2+3+7， 　　12=1+5+6=2+4+6。 　　12=3+4+5。 　　共有7種不同的分拆方式。 　　例7 將21分拆成四個不同的

16、自然數(shù)相加之和，但四個自然數(shù)只能從1～9中選取，問共有多少種不同的分拆方式，請你一一列出。 　　解：也可以先從最大的數(shù)9考慮選取，其次選8，算一算21-（9+8）=4，所以接著只能選3和1。這樣就可以得出第一個分拆式：21=9+8+3+1， 　　以這個分拆式為基礎(chǔ)按順序進行調(diào)整，就可以得出所有的不同分拆方式： 　 　　 　　21=7+6+5+3}以7開頭的分拆方式有1種 　　∴ 共有11種不同的分拆方式。 　　例8 從1～12這十二個自然數(shù)中選取，把26分拆成四個不同的自然數(shù)之和。 　　　 　　　　　 　　 　　　 　　26=8+7+6+5}以8開頭的分拆方式共1種不同的分拆方式總數(shù)為： 　　10+10+8+4+1=33種。 　　總結(jié)：由例4明顯看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必須使分拆過程按一定的順序進行。