（淄博專版）2019屆中考數(shù)學 第三章 函數(shù) 第七節(jié) 二次函數(shù)的綜合應用要題檢測

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1、 第七節(jié)　二次函數(shù)的綜合應用 姓名：________　班級：________　用時：______分鐘 1．(2018·衡陽中考)如圖，已知直線y＝－2x＋4分別交x軸、y軸于點A，B，拋物線過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D. (1)若拋物線的解析式為y＝－2x2＋2x＋4，設其頂點為M，其對稱軸交AB于點N. ①求點M，N的坐標； ②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由； (2)當點P的橫坐標為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B，P，D為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理

2、由． 2．(2018·棗莊中考)如圖1，已知二次函數(shù)y＝ax2＋x＋c(a≠0)的圖象與y軸交于點A(0，4)，與x軸交于點B，C，點C坐標為(8，0)，連接AB，AC. (1)請直接寫出二次函數(shù)y＝ax2＋x＋c的解析式； (2)判斷△ABC的形狀，并說明理由； (3)若點N在x軸上運動，當以點A，N，C為頂點的三角形是等腰三角形時，請寫出此時點N的坐標； (4)如圖2，若點N在線段BC上運動(不與點B，C重合)，過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求此時點N的坐標． 圖1 　　 圖2

3、 3．(2018·眉山中考)如圖1，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A(0，3)，B(1，0)，其對稱軸為直線l：x＝2，過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點，設其橫坐標為m. (1)求拋物線的解析式； (2)若動點P在直線OE下方的拋物線上，連接PE，PO，當m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值； (3)如圖2，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

4、參考答案 1．解：(1)①如圖， ∵y＝－2x2＋2x＋4＝－2(x－)2＋， ∴頂點M的坐標為(，)． 當x＝時，y＝－2×＋4＝3， 則點N的坐標為(，3)． ②不存在．理由如下： MN＝－3＝. 設P點坐標為(m，－2m＋4)，則D(m，－2m2＋2m＋4)， ∴PD＝－2m2＋2m＋4－(－2m＋4)＝－2m2＋4m. ∵PD∥MN， 當PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形， 即－2m2＋4m＝，解得m1＝(舍去)，m2＝， 此時P點坐標為(，1)． ∵PN＝＝， ∴PN≠MN， ∴平行四邊形MNPD不為菱形， ∴不存在點P，使四邊形MNPD為

5、菱形． (2)存在． 如圖， OB＝4，OA＝2，則AB＝＝2. 當x＝1時，y＝－2x＋4＝2， 則P(1，2)， ∴PB＝＝. 設拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋4， 把A(2，0)代入得4a＋2b＋4＝0，解得b＝－2a－2， ∴拋物線的解析式為y＝ax2－2(a＋1)x＋4. 當x＝1時，y＝ax2－2(a＋1)x＋4＝a－2a－2＋4＝2－a，則D(1，2－a)， ∴PD＝2－a－2＝－a. ∵DC∥OB，∴∠DPB＝∠OBA， ∴當＝時，△PDB∽△BOA，即＝， 解得a＝－2， 此時拋物線的解析式為y＝－2x2＋2x＋4； 當＝時，△PDB∽

6、△BAO，即＝， 解得a＝－， 此時拋物線的解析式為y＝－x2＋3x＋4. 綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為y＝－2x2＋2x＋4或y＝－x2＋3x＋4. 2．解：(1)y＝－x2＋x＋4. 提示：∵二次函數(shù)y＝ax2＋x＋c的圖象與y軸交于點A(0，4)，與x軸交于點B，C，點C坐標為(8，0)， ∴ 解得 ∴拋物線解析式為y＝－x2＋x＋4. (2)△ABC是直角三角形．理由如下： 令y＝0，則－x2＋x＋4＝0， 解得x1＝8，x2＝－2， ∴點B的坐標為(－2，0)． 在Rt△ABO中，AB2＝BO2＋AO2＝22＋42＝20， 在Rt△AOC中，AC2

7、＝AO2＋CO2＝42＋82＝80. 又∵BC＝OB＋OC＝2＋8＝10， ∴在△ABC中，AB2＋AC2＝20＋80＝102＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． (3)∵A(0，4)，C(8，0)，∴AC＝＝4. ①以A為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于點N，此時N的坐標為(－8，0)； ②以C為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于點N，此時N的坐標為(8－4，0)或(8＋4，0)； ③作AC的垂直平分線，交x軸于點N，此時N的坐標為(3，0)． 綜上所述，若點N在x軸上運動，當以點A，N，C為頂點的三角形是等腰三角形時，點N的坐標分別為(－8，0)，(8－4，0)，(8＋4

8、，0)，(3，0)． (4)設點N的坐標為(n，0)，則BN＝n＋2. 如圖，過點M作MD⊥x軸于點D， ∴MD∥OA， ∴△BMD∽△BAO，∴＝. ∵MN∥AC， ∴＝， ∴＝. ∵OA＝4，BC＝10，BN＝n＋2， ∴MD＝(n＋2)． ∵S△AMN＝S△ABN－S△BMN＝BN·OA－BN·MD ＝(n＋2)×4－×(n＋2)2 ＝－(n－3)2＋5， 當n＝3時，S△AMN最大， ∴當△AMN面積最大時，N點坐標為(3，0)． 3．解：(1)由題意得 解得 ∴y＝x2－4x＋3. (2)根據(jù)題意得E(3，3)，直線OE的解析式為y＝x. 如圖，過點P作PQ∥y軸交OE于點Q. 設P(m，m2－4m＋3)，則Q(m，m)， ∴S四邊形AOPE＝S△AOE＋S△EOP ＝＋[m－(m2－4m＋3)] ＝－(m2－5m) ＝－(m－)2＋， ∴當m＝時，四邊形AOPE面積最大，最大面積為. (3)存在．符合條件的點P的坐標為(，)或(，)或(，)或(，)． 7