清華微積分高等數學 定積分二

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1、會計學1清華微積分高等數學清華微積分高等數學 定積分二定積分二2022-5-82第十七講第十七講 定積分定積分（二）（二） 二、牛頓二、牛頓- -萊布尼茲公式萊布尼茲公式一、變上限定積一、變上限定積分分三、定積分的換元積分法三、定積分的換元積分法四、定積分的分部積分法四、定積分的分部積分法第1頁/共35頁2022-5-83.,)(,)(上上也也可可積積在在則則上上可可積積在在若若xaxfbaxbaxf 上限變量上限變量積分變量積分變量的的函函數數是是上上限限 x xadttf)( )(xF記記作作)(bxa )(xF或或 xadxxf)()(bxa 一、變上限定積分一、變上限定積分第2頁/共3

2、5頁2022-5-84定理定理：,)()(,)(,)()2(; ,)(,)()1(baxxfxFbaDxFbaCxfbaCxFbaRxf 且且則則若若則則若若)()(xfdxxfdxdxa 走走過過路路程程在在時時刻刻開開始始作作直直線線運運動動從從時時刻刻質質點點以以速速度度tatv,)( tadvts )()(連連續(xù)續(xù)時時就就有有當當)(tv)()()(tvdvdtdtsta 注意注意 連續(xù)函數一定存在原函數連續(xù)函數一定存在原函數 ！路程函數是速度函數的原函數路程函數是速度函數的原函數第3頁/共35頁2022-5-85證證 (1)用連續(xù)定義證明用連續(xù)定義證明,baxxbax 任任取取 xa

3、xxadttfdttfxFxxF)()()()( axxxadttfdttf)()( xxxdttf )(,)(, 0,baxMxfMbaRf xxxxxxdttfdttfxFxxF )()()()(0 xM )0(0 x 第4頁/共35頁2022-5-86xxFxxFxFx )()(lim)(),1(0 有有由由 xxxxdttfx )(1lim0證證 (2)用導數定義證明用導數定義證明,baxxbax 任任取取利利用用積積分分中中值值定定理理得得到到,)(baCxf )(lim)(1lim)(00 fdttfxxFxxxxx )(xf xxxxx 0之之間間與與介介于于第5頁/共35頁20

4、22-5-87 211)2(;)1(1xtxtdtedxddtedxd求求例例所所以以有有是是連連續(xù)續(xù)函函數數因因為為,xexxtedtedxd 1)1( 21)2(xtdtedxd222xuxexe dxdudtedudut 1解解2xu 令令第6頁/共35頁2022-5-88 232xxtdtedxd求求例例 232311xtxtxxtdtedtedte32)3(22xxexxe 322311xtxtxxtdtedxddtedxddtedxd32232xxexxe 3211xtxtdtedte解解第7頁/共35頁2022-5-89.),(0sin30202dxdyxyydttdtexyt求

5、求能能確確定定隱隱函函數數設設由由方方程程例例 得得到到求求導導方方程程兩兩邊邊對對,x0sin22 xdxdyey得得解解出出,dxdy2sin2xedxdyy 解解注意注意 變上限定積分給出一種表示函數的方變上限定積分給出一種表示函數的方 法，對這種函數也可以討論各種性態(tài)。法，對這種函數也可以討論各種性態(tài)。第8頁/共35頁2022-5-810.,),(cos,sin42200dxyddxdyxyydydxtt求求確確定定函函數數設設參參數數方方程程例例 )()(txtydxdy )()(22txdxydtdxdytttcotsincos tttsin)cot(t3sin1解解第9頁/共35

6、頁2022-5-81125020)cos1(lim5xdttxx 求求極極限限例例利利用用洛洛比比達達法法則則”“,00232525210020)cos1 (lim)cos1 (limxxxdttxxxx 205)cos1(limxxx 1015lim22210 xxx解解第10頁/共35頁2022-5-812恒恒有有具具有有什什麼麼性性質質的的函函數數試試問問例例,:6f),()()(baxCdttfdxxfxa ),()()(,baxCdttfdxxfbaCfxa 則有則有若若第11頁/共35頁2022-5-813思考題：思考題： 1.有原函數的函數是否一定連續(xù)？有原函數的函數是否一定連續(xù)

7、？ 2.有原函數的函數是否一定黎曼可積有原函數的函數是否一定黎曼可積？ 3.黎曼可積的函數是否一定存在原函黎曼可積的函數是否一定存在原函 數？數？第12頁/共35頁2022-5-814則則有有上上的的任任意意一一個個原原函函數數在在是是設設,)()(,)(baxfxFbaCxf babaxFaFbFdxxf)()()()( 二、牛頓二、牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式定理定理2：定定積積分分變變上上限限知知故故由由定定理理因因為為,1,)(baCxf 證證 xadttfxG)()(. 0)(,)( aGbaxf且且上上的的一一個個原原函函數數在在是是)1()()()()(aGbGdttfbGba

8、第13頁/共35頁2022-5-815CxGxF )()(故故有有一一個個原原函函數數上上的的任任意意在在是是又又已已知知,)()(baxfxF)()()()(,aFbFaGbG 于于是是有有)()()(aFbFdxxfba 便便得得到到式式代代入入,(1)第14頁/共35頁2022-5-816dxx 10111計計算算例例|1010)1ln(11xdxx 2ln1ln2ln 解解 牛頓牛頓萊布尼茲公式將定積分的萊布尼茲公式將定積分的計計算問題轉化為求被積函數的一個原函算問題轉化為求被積函數的一個原函數的問題數的問題.第15頁/共35頁2022-5-817dxx 0sin12計計算算例例dxd

9、xxxx 0220cossin21sin1dxxx 0222)cos(sindxxx 02cos2sindxxxdxxx 22)2cos2(sin)2sin2(cos0|22)2sin22cos2()2cos22sin2(0 xxxx ) 12( 4 解解第16頁/共35頁2022-5-818的的大大小小。與與試試比比較較設設21202201,)cos(sin,)sin(sinIIdxxIdxxI 例例33 解解 利用估值定理利用估值定理,sin,2,0 xxx 有有時時當當 ,2,0時時且且當當 x),cos(sincos,sin)sinsin(xxxx 因因而而有有,cos,sin xx第

10、17頁/共35頁2022-5-8191,cossin)sin(sin202020 xxdxdxx1,sincos)cos(sin202020 xxdxdxx 2020)cos(sin)sin(sin dxxdxx所以所以即即21II 因因此此第18頁/共35頁2022-5-820 dtttfdxxfbabtaCttxbaCxfba)()()(,)(,)()3(;)()2(; ,)()1(),(,)(1則則有有滿滿足足三三個個條條件件：作作變變換換設設函函數數三、定積分的換元積分法三、定積分的換元積分法定理定理1: (1: (定積分的換元積分法定積分的換元積分法) )第19頁/共35頁2022-

11、5-821txoab )(tx txoab )(tx 證證 的的一一個個原原函函數數是是設設)()(xfxF)()()()()()()(ttftxftxFdttdF )()()()( FFdtttf badxxfaFbF)()()(第20頁/共35頁2022-5-822)0(1022 adxxaa求求定定積積分分例例)20(sin ttax令令2,; 0,0 taxtx時時當當時時則則當當dttadxtaxacoscos22 dttadxxaa202022cos2 4)2sin21(2)2cos1(220202|22attadtta 解解 于是由換元公式于是由換元公式第21頁/共35頁2022

12、-5-823dxex 2ln012求求定定積積分分例例tex 1令令) 1ln(2 tx即即dtttdxex 10222ln012122)arctan( 2)111 (2|10102 ttdtt 解解 于是由換元公式得于是由換元公式得第22頁/共35頁2022-5-824有有為為偶偶函函數數時時當當則則上上連連續(xù)續(xù)在在對對稱稱區(qū)區(qū)間間若若例例,)()1(,)(3xfaaxf aaadxxfdxxf0)(2)(0)( aadxxf有有為為奇奇函函數數時時當當,)()2(xf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(為為偶偶函函數數知知又又由由作作變變換換對對于于右右端端第第一一項項)(:

13、,xftx 證證(1)(1)()()(tftfxf 第23頁/共35頁2022-5-825 000)()()(aaadttfdttfdxxf為什麼為什麼? ? adxxf0)(定積分與積分變量定積分與積分變量 所用字母無關！所用字母無關！ aaaadxxfdxxfdxxf00)()()( aaadxxfdxxfdxxf000)(2)()(0 2121221arcsindxxxx例如例如: :從從而而由由換換元元公公式式第24頁/共35頁2022-5-826例例 33291)3(dxxx計計算算 222sin1cossin dxxxx計計算算2 33291)3(dxxx例例解解解解 332913

14、dxx 3329dxx 202sin1cos2 dxxx 222sin1cossin dxxxx29 第25頁/共35頁2022-5-827可可以以證證明明：利利用用定定積積分分的的換換元元法法 , TTaadxxfdxxfaTxf0)()(,)(有有則則對對任任意意的的實實數數函函數數為為周周期期的的連連續(xù)續(xù)是是一一個個以以若若 202202sin4sin xdxxdx)()()(00為為正正整整數數ndxxfndxxfTnT 第26頁/共35頁2022-5-828分分部部積積分分公公式式則則有有有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階導導數數上上在在區(qū)區(qū)間間設設函函數數),(),(,)(),(xvxuba

15、xvxu bababadxxuxvxvxudxxvxu)()()()()()(|四、定積分的分部積分法四、定積分的分部積分法定理定理2: (2: (定積分的分部積分法定積分的分部積分法) )第27頁/共35頁2022-5-829)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu 得得公公式式利利用用是是連連續(xù)續(xù)函函數數從從而而左左端端函函數數由由條條件件上上式式右右端端是是連連續(xù)續(xù),. )()(,LNxvxu |)()( )()(babaxvxudxxvxu bababadxxvxudxxvxudxxvxuxvxu)()()()()()()()(而而右右端端的的積積分分為為 證證 利用牛頓利用

16、牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式第28頁/共35頁2022-5-830|)()()()()()(bababaxvxudxxvxudxxvxu 于于是是得得到到 bababadxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()(| )()()()()()(| bababaxudxvxvxuxvdxu成成分分部部積積分分公公式式也也可可以以寫寫注注意意即即第29頁/共35頁2022-5-831 411lnln41dxxxdxxx原原式式 441ln1dxxx計計算算例例)2ln2(114141| dxxxxx|41141)4ln2()4ln2(xxxxxx 22ln6 )2ln2(4141| dxx

17、xxx 解解 第30頁/共35頁2022-5-832dxxxn 102)1(2計計算算例例dxxxnxxndxxxnnn 1011021102)1 (12)1 (11)1 (|dxxnnxxnnnn 102102)1()2)(1(2)1()2)(1(2| 解解 )3)(2)(1(2)1 ()3)(2)(1(2|103 nnnxnnnn第31頁/共35頁2022-5-833)(sin320NndxxInn 計計算算：例例21200 dxI1cossin|20201 xdxxI 解解 201)cos(sin xxdInndxxxnn 2022cossin)1( 201201)(sin)cos(si

18、n)cos(| xdxxxnndxxxnn 2022)sin1(sin)1( nnnInInI)1()1(2 第32頁/共35頁2022-5-834得得到到時時當當,2kn 2! ! )2(! ! ) 12(sin2022 kkdxxIkk)2(12 nInnInn得得到到時時當當,12 kn1! ! ) 12(! ! )22(sin201212 kkdxxIkk 第33頁/共35頁2022-5-835例例如如： 3252246135sin206 dxx35161357246sin207 dxx )(sincos2020Nndxxdxxnn 可可以以證證明明dxx 4082cos tx 2令令dtt 208cos21 153610522468135721 第34頁/共35頁