點(diǎn)積叉積學(xué)習(xí)教案

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1、會(huì)計(jì)學(xué)1點(diǎn)積叉積點(diǎn)積叉積第一頁，共27頁。記作故abj rPb2. 性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)為兩個(gè)(lin )非零向量,則有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba,0 時(shí)當(dāng)a上的投影為在ab,0,時(shí)當(dāng)同理bbacosba第1頁/共26頁第二頁，共27頁。(1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實(shí)數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事實(shí)上, 當(dāng)0c時(shí), 顯然(xinrn)成立 ;時(shí)當(dāng)0cc)(bababcj rPacj rPcbabacj rPccbaccj rPj

2、rPacj rP cbcj rP ccacb)(j rPbac第2頁/共26頁第三頁，共27頁。cos2222abbac證證: 如圖 . 則cos2222abbac,aBC,bACcBAABCabcbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,設(shè)第3頁/共26頁第四頁，共27頁。設(shè)則, 10zzyyxxbababa當(dāng)為非零向量(xingling)時(shí),cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于(yuy) bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik

3、baba baba,兩向量的夾角公式 , 得第4頁/共26頁第五頁，共27頁。)(MB, )(MA BM, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故第5頁/共26頁第六頁，共27頁。為 ) .求單位時(shí)間(shjin)內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P (流體密度的流體流過一個(gè)(y )面積為 A 的平面域 ,與該平面域的單位垂直向量,解解:單位時(shí)間內(nèi)流過的體積:APAA的夾角為且vvncosvcosvnvnn為單位向量Av第6頁/共26頁第七頁，共27頁。引例引例.

4、設(shè)設(shè)O 為杠桿為杠桿(gnggn)L 的支點(diǎn)的支點(diǎn) ,有一個(gè)(y )與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規(guī)則OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一個(gè)向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點(diǎn)上 ,則力 F 作用在杠桿上的力FoPFMFM 第7頁/共26頁第八頁，共27頁。定義(dngy)向量(xingling)方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右圖三角形面積abba21S第8頁/共26頁第九頁，共27頁。為非零向量(xingling), 則，0sin0或即aa)

5、1 (0ba,)2(0baba,0,0時(shí)當(dāng)baba0basinab03. 運(yùn)算運(yùn)算(yn sun)律律(2) 分配律(3) 結(jié)合律(證明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (證明證明:sinabba第9頁/共26頁第十頁，共27頁。)(kajaiazyx)(kbjbibzyx設(shè)則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk第10頁/共26頁第十一

6、頁，共27頁。kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式計(jì)算(j sun)見上冊(cè) P355P358 ) 第11頁/共26頁第十二頁，共27頁。, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積(min j) . 解解: 如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三第12頁/共26頁第十三頁，共27頁。一點(diǎn)(y din) M 的線

7、速度導(dǎo)出剛體(gngt)上 的表示式 . Ml解解: 在軸 l 上引進(jìn)一個(gè)角速度向量使a其在 l 上任取一點(diǎn) O,O作它與則點(diǎn) M離開轉(zhuǎn)軸的距離a且符合右手法則的夾角為 , ,sinar, rOM vsinr,vr rvvv方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則 ,r向徑第13頁/共26頁第十四頁，共27頁。1. 定義定義(dngy)已知三向量(xingling)稱數(shù)量混合積混合積 .記作幾何意義幾何意義 為棱作平行六面體,底面積高h(yuǎn)故平行六面體體積為hAV coscba)(cba,cba的為cba,Abaccba,以則其cosbaccba)(cbabacba第14頁/共26頁第十五頁，共27頁。zyxz

8、yxbbbaaaxcyczckji設(shè)xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc第15頁/共26頁第十六頁，共27頁。(1) 三個(gè)非零向量(xingling)共面的充要條件是0(2) 輪換(lnhun)對(duì)稱性 :(可用三階行列式推出)cbacba,a bcab ca bcabc第16頁/共26頁第十七頁，共27頁。),(kkkkzyxA,3,2, 1( k4 ) , 求該四面體體積(tj) . 1A2A3A4A

9、解解: 已知四面體的體積等于已知四面體的體積等于(dngy)以以向量向量為棱的平行六面體體積的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA第17頁/共26頁第十八頁，共27頁。),(zyxM四點(diǎn)共面, 求點(diǎn) M 的坐標(biāo) x、y、z 所滿足(mnz)的方程.解解: A、B、 C、M 四點(diǎn)共面0ABCM1x2y0z111302展開行列式即得點(diǎn) M 的坐標(biāo)(zubio)所滿足的方程AM、AB、AC 三向量共面ACABAM0432zyx0即第18頁/共26頁第十九頁，共27頁。設(shè)1.

10、向量(xingling)運(yùn)算加減(ji jin):數(shù)乘:點(diǎn)積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積:kjixayazaxbybzbba第19頁/共26頁第二十頁，共27頁。2. 向量(xingling)關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba第20頁/共26頁第二十一頁，共27頁。1. 設(shè)計(jì)算(j sun)并求夾角 的正弦(z

11、hngxin)與余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法證明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC第21頁/共26頁第二十二頁，共27頁。AcbsinBacsinBbAasinsin所以(suy)CcsinCbasin因ABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACBBabcAC第22頁/共26頁第二十三頁，共27頁。P22 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12第三節(jié) 第23頁/共26頁第二十四頁，共27頁。22343cos322)2(1

12、71. 已知向量已知向量(xingling)的夾角(ji jio)且解：解：,43ba ,. |ba求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba第24頁/共26頁第二十五頁，共27頁。22200)2(211ABCD在頂點(diǎn)(dngdin)為三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 邊上(bin shn)的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面積(min j)為 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD而故有第25頁/共26頁第二十六頁，共27頁。感謝您的觀看感謝您的觀看(gunkn)。第26頁/共26頁第二十七頁，共27頁。