2020年中考數(shù)學二輪復習 重難題型突破 類型七 綜合實踐題

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1、題型七 綜合實踐題例1【問題情境】已知RtABC中，BAC90，ABAC，點E是線段AC上的一個動點(不與A、C重合)，以CE為一邊作RtDCE，使DCE90，且CDCA.沿CA方向平移CDE，使點C移動到點A，得到ABF.過點F作FGBC，交線段BC于點G，連接DG、EG.【深入探究】(1)如圖，當點E在線段AC上時，小文猜想GCGF，請你幫他證明這一結(jié)論；(2)如圖，當點E在線段AC的延長線上，且CECA時，猜想線段DG與EG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；【拓展應用】(3)如圖，將(2)中的“CECA”改為“CECA”，若設CDE，請用含的式子表示CGE的度數(shù)(直接回答即可，不必證

2、明)第1題圖【答案】(1)證明：在RtBAC中，BAC90，ABAC，BCAABC45，F(xiàn)GBC，F(xiàn)GC90，GFC90GCF45，GFCGCF，GCGF；(2)解：DGEG，DGEG；證明：同(1)可證GCGF，DCE90，BCA45，DCG45，GFC45，DCGEFG，CDE平移得到ABF，CEAF，CECFAFCF，即EFAC，ACCD，EFCD，DCGEFG(SAS)，DGEG，DGCEGF，DGCEGCEGFEGC，即DGECGF90，DGEG；(3)解：CGE180.例2在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點P在直線CD上(不與點C、D重合)，連接AP，平移ADP，使點D移動到

3、點C，得到BCQ，過點Q作QHBD于H，連接AH，PH.【問題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖，若點P在線段CD上，AH與PH的數(shù)量關(guān)系是_，位置關(guān)系是_； 【拓展探究】(2)如圖，若點P在線段CD的延長線上，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明，否則說明理由；【解決問題】(3)若點P在線段DC的延長線上，且AHQ120，正方形ABCD的邊長為2，請直接寫出DP的長度第2題圖【答案】解：(1)AHPH，AHPH；【解法提示】如解圖，連接HC，第2題解圖四邊形ABCD是正方形，BDC45，又QHBD，DHQ是等腰直角三角形，HDHQ，HDPHQC45，由平移的性質(zhì)可知DPCQ，在HDP和

4、HQC中，HDPHQC.HPHC，DHPQHC.根據(jù)正方形是軸對稱圖形得到HAHC，AHDCHD，AHPAHDDHPCHDQHC90，即AHPH.HAHP，AHPH.(2)(1)中的結(jié)論仍然成立，理由如下：如解圖，連接HC，第2題解圖四邊形ABCD是正方形，BDC45，又QHBD，DHQ是等腰直角三角形，HDPHQC135，HDHQ，由平移的性質(zhì)可知DPCQ，在HDP和HQC中，HDPHQC(SAS)，HPHC，DHPQHC，根據(jù)正方形是軸對稱圖形得到HAHC，AHDCHD，AHPAHDDHPCHDCHQ90，HAHP，AHPH；(3)DP2.【解法提示】由(1)知，AHPH，AHPH，HPA

5、45，AHQ120，PHQ1209030.PHDQHDPHQ60，AHBCHBAHPPHD30，CHPCHBAHB30，CPH75，APDCPHAPH30，在RtADP中，AD2，DP2.例3如圖，在RtABC中，ACB90，A30，點O為AB中點，點P為直線BC上的動點(不與點B、點C重合)，連接OC、OP，將線段OP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60，得到線段PQ，連接BQ.(1)如圖，當點P在線段BC上時，請直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當點P在CB延長線上時，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖，當點P在BC延長線上時，若BPO45，AC，請直接

6、寫出BQ的長第3題圖【答案】解：(1)CPBQ; 【解法提示】如解圖，連接OQ，第3題解圖由旋轉(zhuǎn)可知，PQOP，OPQ60，POQ是等邊三角形，OPOQ，POQ60，在RtABC中，O是AB中點，OCOAOB，BOC2A60POQ，COPBOQ，在COP和BOQ中，COPBOQ(SAS)，CPBQ；(2)成立，理由如下：如解圖，連接OQ，圖由旋轉(zhuǎn)知PQOP，OPQ60，POQ是等邊三角形，OPOQ，POQ60，在RtABC中，O是AB中點，OCOAOB，BOC2A60POQ，COPBOQ，在COP和BOQ中，COPBOQ(SAS)，CPBQ；(3)BQ.【解法提示】在RtABC中，A30，AC

7、，BCACtanA，如解圖，過點O作OHBC于點H，第3題解圖OHB90BCA，OHAC，O是AB中點，CHBC，OHAC，BPO45，OHP90，BPOPOH，PHOH，CPPHCH，連接OQ，同(1)的方法得，BQCP.例4已知正方形ABCD，點E在直線AD上(不與點A、D重合)，連接BE，作EFBE，且EFBE，過點F作FGBC，交直線BC于點G.(1)如圖，當點E在邊AD上，點G在邊BC的延長線上時，求證：ABAEBG；(2)如圖，當點E在邊DA的延長線上，點G在邊BC上時，F(xiàn)G交AD于點H，試猜想AB、AE與BG的關(guān)系，并加以證明；(3)如圖，當點E在邊AD的延長線上，點G在邊BC上

8、時，F(xiàn)G交AD于點N，請直接寫出線段AB、AE、BG之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明圖 圖 圖第4題圖【答案】(1)證明：如解圖，延長AD交GF的延長線于點M，四邊形ABCD是正方形，第4題解圖A90，ABC90，又FGBC，四邊形ABGM是矩形，AMBG，A90，EFBE，M90，AEBMFE，在ABE和MEF中，ABEMEF(AAS)，ABEM，AMAEEMAEAB，ABAEBG；(2)ABAEBG；證明：FEHBEA90，BEAABE90，F(xiàn)EHABE，在ABE和HEF中，ABEHEF(AAS)，EHAB，EHAEABAEAH，四邊形ABGH是矩形，AHBG，ABAEBG；(3)AEABBG.

9、【解法提示】由(2)得ABENEF，NEAB，ANNEANABAE，BGAN，AEABBG.例5如圖，ABC中，ABBC，BDAC于點D，F(xiàn)ACABC，且FAC在AC下方，點P，Q分別是射線BD，射線AF上的動點，且點P不與點B重合，點Q不與點A重合，連接CQ，過點P作PECQ于點E，連接DE.(1)若ABC60，BPAQ.如圖，當點P在線段BD上運動時，請直接寫出線段DE和線段AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；如圖，當點P運動到線段BD的延長線上時，試判斷中的結(jié)論是否成立，并說明理由；(2)若ABC260，請直接寫出當線段BP和線段AQ滿足什么數(shù)量關(guān)系時，能使(1)中的結(jié)論仍然成立(用含的三角函數(shù)表

10、示)第5題圖【答案】解：(1)DEAQ，DEAQ；成立；【解法提示】如解圖，連接PC、PQ，第5題解圖BABC，ABC60，ABC是等邊三角形，BCAC，BCAC，F(xiàn)ACPBC30，AQBP，AQCBPC(SAS)，QCPC，ACQBCP，ACQACPBCPACP60，PCQ是等邊三角形，又PEQC，E為QC的中點，ABBC，BDAC，D為AC的中點，DEAQ，DEAQ；成立理由如下：如解圖，連接PC、PQ.第5題解圖BABC，ABC60，ABC是等邊三角形，BCAC，BCAC，F(xiàn)ACPBC30，AQBP，AQCBPC(SAS)，QCPC，ACQBCP，PCQBCA60，PCQ是等邊三角形，又

11、PEQC，E為QC的中點，ABBC，BDAC，D為AC的中點，DEAQ，DEAQ；第5題解圖(2)如解圖，連接PC，取PC中點M，連接MD、ME，設PE與AC交點為N，PDC90，MDPC，同理MEPC，即MPMCMDME，P、D、E、C四點共圓，NCENPD，EDCNPC，DEAQ，QACEDC，又QACPBC，NPCPBC，EPDNPCPBCBCP，EPDBCP，NCEBCP.由NCEBCP，QACPBC，得QACPBC，2sinDBC2sin，即 2sin.例6已知，ABC為直角三角形，ACB90，點P是射線CB上一點(點P不與點B、C重合)，線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段AQ，連

12、接QB交射線AC于點M.(1)如圖，當ACBC，點P在線段CB上時，線段PB，CM的數(shù)量關(guān)系是_；(2)如圖，當ACBC，點P在線段CB的延長線上時，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由；(3)如圖，若，點P在線段CB的延長線上，CM2，AP13，求ABP的面積第6題圖【答案】解：(1)PB2CM；【解法提示】如解圖，過點Q作QDAC于點D，第6題解圖QEBC交BC的延長線于點E.AQ是由AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到的，APAQ，且PAQ90，PACQAD90，又PACAPC90，QADAPC，ACPQDA(AAS)，ACQDCE，又ABC為等腰直角三角形，ACB

13、CEC，即點C為BE的中點，CMQE，即QE2CM，連接AE，ACCEBC，ABE為等腰直角三角形，AEAB，BAEPAQ90，BAPEAQ，又APAQ，APBAQE(SAS)，BPQE2CM，PB2CM；(2)(1)中的結(jié)論PB2CM仍然成立； 證明：如解圖所示，過點Q作QGBC交BC的延長線于點G，過點A作AFQG交QG的延長線于點F.第6題解圖AQ是由AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到的，APAQ，且PAQ90，PACCAQ90，又QAFCAQ90，PACQAF，PACQAF(AAS)，ACAF，四邊形AFGC為正方形，CGACBC，即C為BG的中點，QG2CM，連接AG可得，ABG為等腰直角

14、三角形，ABAG，PABBAQQAGBAQ90，PABQAG，PABQAG(SAS)，PBQG2CM，PB2CM；(3) 如解圖所示，過點Q作QHAC交AC的延長線于點H.第6題解圖由題知，設AC5a，BC2a，由(2)知，ACPQHA，QHAC5a，又BCMQHM，MH5，又APAQ13，在RtAHQ中，根據(jù)勾股定理得：QH2AH2AQ2，(5a)2(5a25)2132，化簡得：5a27a120，即(a1)(5a12)0，解得：a11，a2(舍)，BC2，AHCP12，AC5，BPPCBC12210，SABPBPAC10525.例7如圖，等邊ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中

15、點，M為直線BC上一動點，DMN為等邊三角形(1)如圖，當點M在點B左側(cè)時，請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？(2)如圖，當點M在線段BC上時，其他條件不變，(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請利用圖證明；若不成立，請說明理由；(3)若點M在點C右側(cè)時，請你在圖中畫出相應的圖形，并判斷(1)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請直接寫出結(jié)論，若不成立請說明理由第7題圖【答案】解：(1)ENMF；【解法提示】如解圖，連接DE、DF，D、E、F是等邊ABC三邊中點，DEF是等邊三角形，DEDF，EDF60，DMN為等邊三角形，DMDN，MDN60，MDFNDE60NDF，DMFDN

16、E(SAS)，ENMF. 圖 圖第7題解圖(2)成立證明：如解圖，連接DE、DF和EF，ABC是等邊三角形，ABACBC.又D，E，F(xiàn)是三邊的中點， DE，DF，EF為三角形的中位線，DEDFEF，F(xiàn)DE60.又MDFFDN60， NDEFDN60， MDFNDE. 在DMF和DNE中，DMFDNE(SAS)，ENFM；(3)畫出圖形如解圖，第7題解圖MF與EN相等的結(jié)論仍然成立(或ENMF成立)【解法提示】如解圖，連接DE、EF、DF.第7題解圖D、E、F分別為AB、AC、BC的中點，且ABC是等邊三角形，DEF是等邊三角形，DEDF，EDF60.DMN是等邊三角形，DMDN，MDN60，M

17、DFMDEMDENDE，MDFNDE，MDFNDE(SAS)，MFNE.例8已知，在矩形ABCD中，BC2AB，點M為AD邊的中點，連接BD，點P是對角線BD上的動點，連接AP，以點P為頂點作EPF90，PE交AB邊于點E，PF交AD邊于點F.(1)發(fā)現(xiàn)問題如圖，當點P運動過程中PBA與PAB互余時，線段BE、MF與AB的數(shù)量關(guān)系為_；(2)解決問題如圖，當點P運動過程中PBA與PAB相等時，請判斷(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)拓展延伸在(2)的條件下，連接EF并延長EF，交直線BD于點G，若BEAF23，EF，求DG的長第8題圖【答案】解：(1)BE

18、MFAB；【解法提示】如解圖，取AB的中點N，連接PN、PM.第8題解圖PBA與PAB互余，PBAPAB90，APB90，APD90，N是AB的中點，M是AD的中點，PNBNANAB，AMDMPMAD，NAPNPA，MAPMPA.四邊形ABCD是矩形，BAD90，ABCD，ADBC.BC2AB，AD2AB，而NAPMAPBAD90，NPAMPA90，即NPM90.EPF90，NPMEPF，NPMEPMEPFEPM，NPEMPF.ABPBAP90，BAPDAP90，ABPDAP.PNBN，AMPM，ABPBPN，DAPMPA，ENPFMP，PNEPMF，.NEMF，BENEBN，BEMFBN，又

19、BNAB，BEMFAB.(2)不成立；理由如下：如解圖，取AB的中點N，連接PN、PM，第8題解圖四邊形ABCD是矩形，BADABC90，ABCD，ADBC，ADBC，ADBCBD，PBAPAB，PAPB，N是AB的中點，PNAB，ANP90，PABPAD90，PBAPBC90，PADPBC，PADPDA，PAPD.M是AD的中點，PMAD，PMA90，四邊形PMAN是矩形，NPM90，ANPM，PNAM.EPF90，NPMEPF，NPMEPMEPFEPM，NPEMPF.PNEPMF90，PNEPMF，.AD2AB，NE2MF.BENEBN，BE2MFBN，N是AB的中點，BNAB，BE2MF

20、AB，故(1)中結(jié)論不成立；(4) 如解圖，延長CD交FG于點H，設BE2a，則AF3a.第8題解圖BE2MFAB，BE2(AFAM)AB.AMAB，2a2(3aAB)AB，ABa，ADa，AEa，F(xiàn)Da.AE2AF2EF2，(a)2(3a)2()2，解得a13，a23(舍去)AE2，BE6，AF9，DF7，BD8.HDAB，AEFDHF，DH.四邊形ABCD是矩形，ABCD，即HDBE.GDHGBE，DG.例9如圖，在等腰RtABC和等腰RtEDB中，ACBC，DEBD，ACBEDB90，P為AE的中點(1)觀察猜想連接PC、PD，則線段PC與PD的位置關(guān)系是_，數(shù)量關(guān)系是_；(2)探究證明

21、如圖，當點E在線段AB上運動時，其他條件不變，作EFBC于F，連接PF，試判斷PCF的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸在點E的運動過程中，當PCF是等邊三角形時，直接寫出ACB與EDB的兩直角邊之比第9題圖【答案】解：(1)PCPD，PCPD；【解法提示】如解圖，過點E作EFBC于F，過點P作PHBC于H，連接PF，第9題解圖易得四邊形EFBD是正方形，EFED，DEBFEB45，PEFPED135，在PEF和PED中，PEFPED(SAS)，PFPD，EPFEPD，ACPHEF，點P為AE的中點，點H是FC的中點，CHHF，又PHBC，PCPF，故PCF是等腰三角形，CPHFPH，PCPD；

22、HPBHPFEPF45，CPDCPHHPFEPFEPD2(HPFEPF)90，PCPD.(2)PCF為等腰三角形，理由如下：如解圖，過點P作PHBC于點H，第9題解圖則ACPHEF，P為AE的中點，點H是FC的中點，CHHF，又PHBC，PCPF，PCF為等腰三角形；(3)2.【解法提示】如解圖，過點E作EFBC于點F，過點P作PHBC于點H，由(1)知，四邊形BDEF為正方形，設EFBFBDx，HFy，第9題解圖PCF是等邊三角形，PHy，PHEF，BEFBPH，即，解得yx，BCx2y(2)x，2.ACB與EDB的兩直角邊之比為2.例10已知在ABC中，AB邊上的動點D由A向B運動(與A，

23、B不重合)，點E與點D同時出發(fā)，由點C沿BC的延長線方向運動(E不與C重合)，連接DE交AC于F，點H是線段AF上一點(1)初步嘗試如圖，若ABC是等邊三角形，DHAC，且點D，E的運動速度相等，過點D作DGBC交AC于點G，則GH與AH的數(shù)量關(guān)系是_，GF與FC的數(shù)量關(guān)系是_，的值是_；(2)類比探究如圖，若在ABC中，ABC90，ADHA30，且點D，E的運動速度之比是1，求的值；(3)延伸拓展如圖，若在ABC中，ABAC，ADHA36，記m，且點D，E的運動速度相等，試用含m的代數(shù)式表示.(直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程)第10題圖【答案】解：(1)GHAH，GFFC，2；【解法提示】D

24、GBC，ADGB，AGDACB，ABC是等邊三角形，ABACB60，ADGAGDA，ADG是等邊三角形，GDADCE，DHAC，GHAH，DGBC，GDFCEF，DGFECF，在GDF和CEF中，GDFCEF(ASA)，GFCF，GHGFAHCF，即HFAC，2.(2)如解圖，過點D作DGBC，交AC于點G，第10題解圖則ADGB90，AADH30，HGDHDG60，DHG是等邊三角形，AHGHGD，ADGD，根據(jù)題意得ADCE，GDCE，DGBC，GDFCEF，DGFECF，在GDF和CEF中，GDFCEF(ASA)，GFCF，GHGFAHCF，即HFAC，2；(3).【解法提示】如解圖，過點D作DGBC，交AC于點G，第10題解圖則ADGB，AGDACB，ADEC，ABAC，A36，ACBBADGAGD72，ADHA36，AHDH，DHG72AGD，DGDHAH，ADGABC，ADGDGH，DGHABC，m，m，DGBC，DFGEFC，又CEAD，m，m，m，1.22