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1、類型二 圖形規(guī)律例1.將一些相同的“”按如圖所示擺放，觀察每個(gè)圖形中的“”的個(gè)數(shù)，若第n個(gè)圖形中“”的個(gè)數(shù)是78，則n的值是()第1題圖A11B12C13D14【答案】B【解析】由每個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)規(guī)律可得第n個(gè)圖形中，小圓的個(gè)數(shù)為，由此可得方程78，解得n12，故選B.例2. 如圖，在第1個(gè)A1BC中，B30，A1BCB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA1到A2，使A1A2A1D，得到第2個(gè)A1A2D；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長(zhǎng)A1A2到A3，使A2A3A2E，得到第3個(gè)A2A3E，按此做法繼續(xù)下去，則第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是()第2題圖A. ()n75 B. ()n165
2、C. ()n175 D. ()n85【答案】C【解析】在CBA1中，B30，A1BCB，BA1C75，A1A2A1D，BA1C是A1A2D的外角，DA2A1BA1C75；同理可得，EA3A2()275，F(xiàn)A4A3()375，第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是()n17例3. 下列圖形都是由相同大小的按一定規(guī)律組成的，其中第個(gè)圖形中一共有4顆，第個(gè)圖形中一共有11顆，第個(gè)圖形中一共有21顆，按此規(guī)律排列下去，第個(gè)圖形中的顆數(shù)為()第3題圖116 B. 144 C. 145 D. 150【答案】 B【解析】將圖中下半部分組成的梯形放到矩形上方，第n個(gè)組合圖形可看作是由下半部分為n行n列方陣和上
3、半部分的梯形成，第n個(gè)圖中方陣中的為(n1)2，梯形中為(n1)，第n個(gè)圖中的的個(gè)數(shù)為(n1)2，令n9，解得第9個(gè)中個(gè)數(shù)為144個(gè)例4.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的半圓O1，O2，O3，組成一條平滑的曲線點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，則第2017秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是()第4題圖A. (2014，0) B. (2015，1)C. (2017，1) D. (2016，0)【答案】C【解析】由圖象可知，半圓的周長(zhǎng)為，運(yùn)動(dòng)一秒后的坐標(biāo)為(1，1)，兩秒后的坐標(biāo)為(2，0)，三秒后的坐標(biāo)為(3，1)，四秒后的坐標(biāo)為(4，0)，其中縱坐標(biāo)以1，0，1，
4、0循環(huán)變化，201745041，第2017秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2017，1)例5. 如圖所示，將形狀、大小完全相同的“”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形第1幅圖形中“”的個(gè)數(shù)為a1，第2幅圖形中“”的個(gè)數(shù)為a2，第3幅圖形中“”的個(gè)數(shù)為a3，以此類推，則的值為()第5題圖A. B. C. D. 【答案】C【解析】由所給圖形可知，a13221(11)21，a28321(21)21，a315421(31)21，a424521(41)21，由此猜想an(n1)21n(n2)，(1) (1).例6.如圖，將矩形ABCD繞其右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90至圖位置，繼續(xù)繞右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90至
5、圖位置，依此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2017次若AB4，AD3，則頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)為()第6題圖A. 2017 B. 2034C. 3024 D. 3026【答案】D【解析】AB4，AD3，ACBD5，轉(zhuǎn)動(dòng)一次A的路線長(zhǎng)是2，轉(zhuǎn)動(dòng)第二次A的路線長(zhǎng)是，轉(zhuǎn)動(dòng)第三次A的路線長(zhǎng)是，轉(zhuǎn)動(dòng)第四次A的路線長(zhǎng)是0，以此類推，每四次一個(gè)循環(huán)，且頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)循環(huán)的路線長(zhǎng)為：26，201745041，頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)2017次經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為：650423026.例7. 如圖，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O(0，0)，B(2，2)，若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45，則第60秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(
6、)第7題圖A.(1，1) B. (1，1) C. (，0) D. (0，)【答案】B【解析】菱形OABC的頂點(diǎn)O(0，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，2)，BO與x軸的夾角為45，菱形的對(duì)角線互相垂直平分，點(diǎn)D 是線段OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D 的坐標(biāo)是(1，1) ，菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45，360458，每旋轉(zhuǎn)8秒，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)就回到原來(lái)的位置(1，1)，60874，第60秒時(shí)是把菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了7周回到原來(lái)位置后，又旋轉(zhuǎn)了4秒，即又旋轉(zhuǎn)了445180，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第三象限，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，第60秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，1)例8. 某廣場(chǎng)用同一種如下圖
7、所示的地磚拼圖案，第一次拼成形如圖所示的圖案，第二次拼成形如圖所示的圖案，第三次拼成形如圖所示的圖案，第四次拼成形如圖所示的圖案按照這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第n次拼成的圖案共用地磚_塊第8題圖 地磚圖案【答案】2n22n【解析】4，424，42426，故第n個(gè)圖形共有4242622n442434n4(123n)42n22n.例9.下列圖形都是由大小相同的小正方形按一定規(guī)律組成的，其中第1個(gè)圖形的周長(zhǎng)為4，第2個(gè)圖形的周長(zhǎng)為10，第3個(gè)圖形的周長(zhǎng)為18，按此規(guī)律排列，第5個(gè)圖形的周長(zhǎng)為_(kāi)第9題圖【答案】40【解析】第一個(gè)圖形周長(zhǎng)1212；第二個(gè)圖形周長(zhǎng)(21)222；第三個(gè)圖形周長(zhǎng)(321)223；
8、第四個(gè)圖形周長(zhǎng)(4321)224；第五個(gè)圖形周長(zhǎng)(54321)22540.例10. 如圖，在ABC中，BC1，點(diǎn)P1、M1分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P2、M2分別是AP1、AM1的中點(diǎn)，點(diǎn)P3、M3分別是AP2、AM2的中點(diǎn)，按這樣的規(guī)律下去，PnMn的長(zhǎng)為_(kāi)(n為正整數(shù))第10題圖【答案】【解析】在ABC中，BC1，P1、M1分別是AB、ACnnnn的中點(diǎn)，P1M1BC，按照題設(shè)給定的規(guī)律，列表如下：圖形序號(hào)PnMnPnMn的長(zhǎng)度P1M1P2M2P3M3nPnMn例11. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2按如圖所示放置，點(diǎn)A1、A2、A3在直線yx1上，點(diǎn)C1、C2
9、、C3在x軸上，則An的坐標(biāo)是_第11題圖【答案】(2n11，2n1)【解析】點(diǎn)A1、A2、A3在直線yx1上，A1的坐標(biāo)是(0，1)，即OA11，四邊形A1B1C1O為正方形，OC11，即點(diǎn)A2的橫坐標(biāo)為1，A2的坐標(biāo)是(1，2)，A2C12，四邊形A2B2C2C1為正方形，C1C2 2，OC2 123，即點(diǎn)A3的橫坐標(biāo)為3，A3的坐標(biāo)是(3，4)，觀察可以發(fā)現(xiàn)：A1的橫坐標(biāo)是：0201，A1的縱坐標(biāo)是：120；A2的橫坐標(biāo)是：1211，A2的縱坐標(biāo)是：221；A3的橫坐標(biāo)是：3221，A3的縱坐標(biāo)是：422；據(jù)此可以得到An的橫坐標(biāo)是：2n11，縱坐標(biāo)是：2n1.所以點(diǎn)An的坐標(biāo)是(2n1
10、1，2n1)例12. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y2x和yx的圖象分別為直線l1，l2，過(guò)點(diǎn)(1，0)作x軸的垂線交l1于點(diǎn)A1，過(guò)點(diǎn)A1作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A2，過(guò)點(diǎn)A2作x軸的垂線交l1于點(diǎn)A3，過(guò)點(diǎn)A3作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A4，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2017的坐標(biāo)為_(kāi) 第12題圖 第13題圖【答案】(21008，21009)【解析】觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：A1(1，2)，A2(2，2)，A3(2，4)，A4(4，4)，A5(4，8)，A2n1(2)n，2(2)n)，A2n2(2)n1，2(2)n，(n為自然數(shù))，2017100821，A2017的坐標(biāo)為(2)1008，2(2)1008)(2
11、1008，21009)例13. 如圖，MON60，作邊長(zhǎng)為1的正六邊形A1B1C1D1E1F1，邊A1B1、F1E1分別在射線OM、ON上，邊C1D1所在的直線分別交OM、ON于點(diǎn)A2、F2，以A2F2為邊作正六邊形A2B2C2D2E2F2，邊C2D2所在的直線分別交OM、ON于點(diǎn)A3、F3，再以A3F3為邊作正六邊形A3B3C3D3E3F3，依此規(guī)律，經(jīng)第n次作圖后，點(diǎn)Bn到ON的距離是_【答案】3n1【解析】由題可知，MON60，不妨設(shè)Bn到ON的距離為hn，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長(zhǎng)為1，則A1B11，易知A1OF1為等邊三角形，A1B1OA11，OB12，則h12，又OA2
12、A2F2A2B23，OB26，則h263，同理可求：OB318，則h3189，依此可求：OBn23n1，則hn23n13n1，Bn到ON的距離hn3n1.例14. 如圖，RtOA0A1在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，OA0A190，A0OA130，以O(shè)A1為直角邊向外作RtOA1A2，使OA1A290，A1OA230，以O(shè)A2為直角邊向外作RtOA2A3，使OA2A390，A2OA330，按此方法進(jìn)行下去，得到RtOA3A4，RtOA4A5，RtOA2016A2017，若點(diǎn)A0(1，0)，則點(diǎn)A2017的橫坐標(biāo)為_(kāi)第14題圖【答案】()1008【解析】由題意可知，經(jīng)過(guò)12次變換后，點(diǎn)A13落在射線OA1上
13、，2017121681，點(diǎn)A2017落在射線OA1上，其橫坐標(biāo)與點(diǎn)A2016相同，OA01，經(jīng)過(guò)12次變換后，OA12()12，再經(jīng)過(guò)12次變換后，OA24()24，綜上可猜想，OA2016()2016()1008，點(diǎn)A2017的橫坐標(biāo)為()1008.例15. 如圖，直線yx上有點(diǎn)A1，A2，A3，An1，且OA11，A1A22，A2A34，AnAn12n，分別過(guò)點(diǎn)A1，A2，A3，An1作直線yx的垂線，交y軸于點(diǎn)B1，B2，B3，Bn1，依次連接A1B2，A2B3，A3B4，AnBn1，得到A1B1B2，A2B2B3，A3B3B4，AnBnBn1，則AnBnBn1的面積為_(kāi)(用含正整數(shù)n的
14、式子表示)第15題圖【答案】 22n2n【解析】如解圖，作A1C1x軸于C1，A2C2x軸于C2，AnCnx軸于Cn，點(diǎn)An在直線上yx，AnOCn30，OCnOAn(12222n1)，AnOBn60，BnAnOAn，OBn2OAn，BnBn12OAn12OAn2AnAn122n2n1.第15題解圖SAnBnBn1BnBn1OCn2n1(12222n1)，設(shè)S1242n1，則2S242n12n，S2SS(242n12n)(1242n1)2n1 ，綜上可知SAnBnBn12n1(2n1)22n2n.例16. 如圖，AOB60，點(diǎn)O1是AOB平分線上一點(diǎn)，OO12，作O1A1OA，O1B1OB，垂
15、足分別為A1，B1，以A1B1為邊作等邊三角形A1B1O2；作O2A2OA，O2B2OB，垂足分別為A2，B2，以A2B2為邊作等邊三角形A2B2O3；作O3A3OA，O3B3OB，垂足分別為A3，B3，以A3B3為邊作等邊三角形A3B3O4；，按這樣的方法繼續(xù)下去，則AnBnOn的面積為_(kāi)(用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示)【答案】【解析】AOB60，OOn平分AOB，AOOn30，A1O1AO，OO12，A1O11，OA1.O1A1OA，O1B1OB，O1A1O1B1，O1OO1O，RtO1A1ORtO1B1O(HL)，OA1OB1，A1OB160，A1OB1是等邊三角形，A1B1OA1，A1O2B1是等邊三角形，A1O2A1B1，在RtA1O2A2中，O2A1A260，A1O2，A2O2A1O2O1A1，同理A3O3A2O3()2A1O1，AnOn()n1A1O1. 又 SO1A1B12SO1A1OSA1B1O21()2 .易得AnOnBnA1O1B1120，AnOnBnOn，A1O1B1AnOnBn，()2()2n2.SAnBnOn.9
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