2018年八年級數(shù)學(xué)下冊 小專題(七)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形練習(xí) （新版）新人教版

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1、 小專題(七)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形 ——教材P99T9的變式與應(yīng)用 教材母題　點P(x，y)在第一象限，且x＋y＝8，點A的坐標(biāo)為(6，0)．設(shè)△OPA的面積為S. (1)用含有x的式子表示S，寫出x的取值范圍，畫出函數(shù)S的圖象； (2)當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為5時，△OPA的面積為多少？ (3)△OPA的面積能大于24嗎？為什么？ 解：(1)∵點A和點P的坐標(biāo)分別是(6，0)，(x，y)， ∴S＝×6×y＝3y. ∵x＋y＝8，∴y＝8－x. ∴S＝3(8－x)＝24－3x. ∴S＝－3x＋24. ∵點P在第一象限， ∴x＞0，y＞0，即

2、x＞0，8－x＞0.∴0＜x＜8. 圖象如圖所示． (2)當(dāng)x＝5時，S＝－3×5＋24＝9. (3)能．理由：令S＞24，則－3x＋24＞24.解得x＜0. ∵由(2)得0＜x＜8，∴△OPA的面積不能大于24. 在求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積時，通常選擇坐標(biāo)軸上的線段作為底邊，而坐標(biāo)系內(nèi)點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的絕對值作為高，然后利用面積公式求解． 1．若一次函數(shù)y＝2x＋b的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是9，求b的值． 解：當(dāng)y＝0時，0＝2x＋b，∴x＝－. 當(dāng)x＝0時，y＝b， ∴一次函數(shù)y＝2x＋b的圖象與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為×|－|×

3、|b|＝9. 解得b＝±6. 2．如圖，直線l1在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1與y軸交于點A，點B(－3，3)也在直線l1上，將點B先向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度得到點C，點C恰好也在直線l1上． (1)求點C的坐標(biāo)和直線l1的解析式； (2)已知直線l2：y＝x＋b經(jīng)過點B，與y軸交于點E，求△ABE的面積. 解：(1)由題意得：點C的坐標(biāo)為(－2，1)． 設(shè)直線l1的解析式為y＝kx＋c， ∵點B，C在直線l1上， ∴解得 ∴直線l1的解析式為y＝－2x－3. (2)把點B的坐標(biāo)代入y＝x＋b，得3＝－3＋b， 解得b＝6.∴y＝x

4、＋6.∴點E的坐標(biāo)為(0，6)． ∵直線y＝－2x－3與y軸交于A點， ∴A的坐標(biāo)為(0，－3)．∴AE＝6＋3＝9. ∵B(－3，3)，∴S△ABE＝×9×|－3|＝13.5. 3．已知函數(shù)y＝(m＋1)x＋2m－6. (1)若函數(shù)圖象過(－1，2)，求此函數(shù)的解析式； (2)若函數(shù)圖象與直線y＝2x＋5平行，求其函數(shù)的解析式； (3)求滿足(2)條件的直線與直線y＝－3x＋1的交點，并求這兩條直線與y軸所圍成的三角形面積． 解：(1)依題意，得2＝(m＋1)×(－1)＋2m－6. 解得m＝9， ∴此函數(shù)的解析式為y＝10x＋12. (2)依題意，得m＋1＝2，∴m

5、＝1. ∴函數(shù)的解析式為y＝2x－4. (3)聯(lián)立解得 ∴交點坐標(biāo)是(1，－2)． 當(dāng)x＝0時，2×0－4＝－4，－3×0＋1＝1， 即兩條直線與y軸的交點分別為(0，－4)，(0，1)． ∴所求三角形面積是×(4＋1)×1＝. 4．(2017·泰州)平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P的坐標(biāo)為(m＋1，m－1)． (1)試判斷點P是否在一次函數(shù)y＝x－2的圖象上，并說明理由； (2)如圖，一次函數(shù)y＝－x＋3的圖象與x軸、y軸分別相交于A，B，若點P在△AOB的內(nèi)部，求m的取值范圍． 解：(1)∵當(dāng)x＝m＋1時，y＝m＋1－2＝m－1， ∴點P(m＋1，m－1)在函

6、數(shù)y＝x－2的圖象上． (2)令x＝0，則y＝3；令y＝0，則x＝6. ∴A(6，0)，B(0，3)． ∵點P在△AOB的內(nèi)部， ∴0＜m＋1＜6，0＜m－1＜3，m－1＜－(m＋1)＋3. ∴1＜m＜. 5．如圖，直線y＝kx＋6與x軸、y軸分別相交于點E，F(xiàn)，點E的坐標(biāo)為(8，0)，點A的坐標(biāo)為(6，0)，點P(x，y)是第一象限內(nèi)直線上的一個動點(點P不與點E，F(xiàn)重合)． (1)求k的值； (2)在點P運動的過程中，求出△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式； (3)若△OPA的面積為，求此時點P的坐標(biāo)． 解：(1)由題意，得8k＋6＝0， 解得k＝－. ∴

7、y＝－x＋6. (2)過點P作PD⊥OA于點D. ∵點P(x，y)是第一象限內(nèi)直線上的一個動點， ∴PD＝－x＋6(0＜x＜8)． ∵點A的坐標(biāo)為(6，0)， ∴S＝×6×(－x＋6)＝－x＋18(0＜x＜8)． (3)∵△OPA的面積為， ∴－x＋18＝，解得x＝. 將x＝代入y＝－x＋6，得y＝， ∴P(，)． 6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(4，0)，點P是第一象限內(nèi)直線y＝－x＋6上一點．O是坐標(biāo)原點． (1)設(shè)P(x，y)，求△OPA的面積S與x的函數(shù)解析式； (2)當(dāng)S＝10時，求P點的坐標(biāo)； (3)在直線y＝－x＋6上求一點P，使

8、△POA是以O(shè)A為底邊的等腰三角形． 解：(1)∵點P在直線y＝－x＋6上， ∴點P的縱坐標(biāo)為6－x. ∴S＝×4×(6－x)＝－2x＋12(0＜x＜6)． (2)當(dāng)S＝10時，則－2x＋12＝10，∴x＝1. ∴y＝－1＋6＝5. ∴P點的坐標(biāo)為(1，5)． (3)由題意分析可知，OA的垂直平分線與y＝－x＋6的交點即為所求的點P， ∴P點的橫坐標(biāo)為2，∴y＝4.∴P(2，4)． 7．如圖，直線y＝kx＋6與x軸，y軸分別相交于點A，B，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(－8，0)． (1)求k的值； (2)若點P(x，y)是第二象限內(nèi)直線上的一個動點，在點P的運動過程中

9、，試寫出△OPA的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍； (3)若點P(0，m)為射線BO(B，O兩點除外)上的一動點，過點P作PC⊥y軸交直線AB于C，連接PA.設(shè)△PAC的面積為S′，求S′與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍． 解：(1)將A(－8，0)代入直線y＝kx＋6，得k＝. (2)由題意，得S＝OA·y＝×8(x＋6) ＝3x＋24(－8＜x＜0)． (3)∵PC⊥y軸，P(0，m)，∴C點的縱坐標(biāo)為m. 則x＋6＝m，∴x＝.∴C(，m)．∴PC＝. 　　 　　　圖1　　　　　　　　　　圖2 分兩種情況：①如圖1，當(dāng)0＜m＜6時， S′＝OP·PC＝m·＝－m2＋4m. ②如圖2，當(dāng)m＜0時， S′＝OP·PC＝(－m)·＝m2－4m. 綜上S′＝ 6