高中數學競賽教材講義 第四章 幾個初等函數的性質講義

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1、 第四章 幾個初等函數的性質 一、基礎知識 1．指數函數及其性質：形如y=ax(a>0, a1)的函數叫做指數函數，其定義域為R，值域為（0，+∞），當01時，y=ax為增函數，它的圖象恒過定點（0，1）。 2．分數指數冪：。 3．對數函數及其性質：形如y=logax(a>0, a1)的函數叫做對數函數，其定義域為（0，+∞），值域為R，圖象過定點（1，0）。當01時，y=logax為增函數。 4．對數的性質（M>0, N>0）； 1）ax=Mx=logaM(a>0, a1)； 2）loga

2、(MN)= loga M+ loga N； 3）loga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；， 5）loga =loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c>0, a, c1). 5. 函數y=x+（a>0）的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間為和。（請讀者自己用定義證明） 6．連續(xù)函數的性質：若a

3、+bc+ca+1>0. 【證明】 設f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，則f(x)是關于x的一次函數。 所以要證原不等式成立，只需證f(-1)>0且f(1)>0（因為-10， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0， 所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0. 例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全為0的實數，b1, b2,…,bn∈R，則（）·（）≥()2，等號當且僅當存在R，使ai=, i=1, 2, …, n時成立。 【證明】 令f(x)=

4、（）x2-2()x+=, 因為>0，且對任意x∈R, f(x)≥0， 所以△=4()-4（）()≤0. 展開得（）()≥()2。 等號成立等價于f(x)=0有實根，即存在，使ai=, i=1, 2, …, n。 例3 設x, y∈R+, x+y=c, c為常數且c∈(0, 2]，求u=的最小值。 【解】u==xy+≥xy++2· =xy++2. 令xy=t，則0

5、數和對數的運算技巧。 例4 設p, q∈R+且滿足log9p= log12q= log16(p+q)，求的值。 【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t，則p=9 t , q=12 t , p+q=16t， 所以9 t +12 t =16 t，即1+ 記x=，則1+x=x2，解得 又>0，所以= 例5 對于正整數a, b, c(a≤b≤c)和實數x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且，求證：a+b=c. 【證明】 由ax=by=cz=70w取常用對數得xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所以lga=lg70, lgb=lg

6、70, lgc=lg70， 相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由題設， 所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70. 所以abc=70=2×5×7. 若a=1，則因為xlga=wlg70，所以w=0與題設矛盾，所以a>1. 又a≤b≤c，且a, b, c為70的正約數，所以只有a=2, b=5, c=7. 所以a+b=c. 例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求證c2=(ac)logab. 【證明】 由題設logax+logcx=2logbx，化為以a為底的對數，得 ， 因為ac>0, ac1

7、，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab. 注：指數與對數式互化，取對數，換元，換底公式往往是解題的橋梁。 3．指數與對數方程的解法。 解此類方程的主要思想是通過指對數的運算和換元等進行化簡求解。值得注意的是函數單調性的應用和未知數范圍的討論。 例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x. 【解】 方程可化為=1。設f(x)= , 則f(x)在(-∞,+∞)上是減函數，因為f(3)=1，所以方程只有一個解x=3. 例8 解方程組：（其中x, y∈R+）. 【解】 兩邊取對數，則原方程組可化為 ①② 把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，

8、所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6， 代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0. 又y>0，所以y=2, x=4. 所以方程組的解為 . 例9 已知a>0, a1，試求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范圍。 【解】由對數性質知，原方程的解x應滿足.①②③ 若①、②同時成立，則③必成立， 故只需解. 由①可得2kx=a(1+k2)， ④ 當k=0時，④無解；當k0時，④的解是x=，代入②得>k. 若k<0，則k2>1，所以k<-1；若k

9、>0，則k2<1，所以0

10、圍是_________。 5．命題p: 函數y=log2在[2，+∞）上是增函數；命題q: 函數y=log2(ax2-4x+1)的值域為R，則p是q的_________條件。 6．若00且a1，比較大?。簗loga(1-b)|_________|loga(1+b). 7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，則函數y=[f(x)]2+f(x2)的值域為_________。 8．若x=，則與x最接近的整數是_________。 9．函數的單調遞增區(qū)間是_________。 10．函數f(x)=的值域為_________。 11．設f(x)=lg[1+

11、2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a]，其中n為給定正整數, n≥2, a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]時有意義，求a的取值范圍。 12．當a為何值時，方程=2有一解，二解，無解？ 四、高考水平訓練題 1．函數f(x)=+lg(x2-1)的定義域是_________. 2．已知不等式x2-logmx<0在x∈時恒成立，則m的取值范圍是_________. 3．若x∈{x|log2x=2-x}，則x2, x, 1從大到小排列是_________. 4. 若f(x)=ln，則使f(a)+f(b)=_________. 5. 命題p: 函數y=log2在[2，+∞

12、）上是增函數；命題q：函數y=log2(ax2-4x+1)的值域為R，則p是q的_________條件. 6．若00且a1，比較大?。簗loga(1-b)| _________|loga(1+b)|. 7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，則函數y=[f(x)]2+f(x2)的值域為_________. 8．若x=，則與x最接近的整數是_________. 9．函數y=的單調遞增區(qū)間是_________. 10．函數f(x)=的值域為_________. 11．設f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a]，其中n為給定

13、正整數，n≥2,a∈R。若f(x) 在x∈(-∞,1]時有意義，求a的取值范圍。 12．當a為何值時，方程=2有一解，二解，無解？ 四、高考水平訓練題 1．函數f(x)=+lg(x2-1)的定義域是__________. 2．已知不等式x2-logmx<0在x∈時恒成立，則m的取值范圍是 ________. 3．若x∈{x|log2x=2-x}，則x2, x, 1從大到小排列是________. 4．若f(x)=ln，則使f(a)+f(b)=成立的a, b的取值范圍是________. 5．已知an=logn(n+1)，設，其中p, q為整數，且(p ,q)=1，則p·q的值為_

14、________. 6．已知x>10, y>10, xy=1000，則(lgx)·(lgy)的取值范圍是________. 7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個實數解，則實數k的取值范圍是________. 8．函數f(x)=的定義域為R，若關于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個不同的實數解，則b, c應滿足的充要條件是________. （1）b<0且c>0；（2）b>0且c<0；（3）b<0且c=0；（4）b≥0且c=0。 9．已知f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，則F(x)是________函數（填奇偶性）. 10．已知f(

15、x)=lg，若=1，=2，其中|a|<1, |b|<1，則f(a)+f(b)=________. 11．設a∈R，試討論關于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的實數解的個數。 12．設f(x)=|lgx|，實數a, b滿足00且a1, f(x)=loga(x+)(x≥1)，（1）求f(x)的反函數f-1(x)；（2）若f-1(n)<(n∈N+)，求a的取值范圍。 五、聯賽一試水平訓練題 1．如果log2[log(log2

16、x)]= log3[log(log3x)]= log5[log(log5z)]=0，那么將x, y, z從小到大排列為___________. 2．設對任意實數x0> x1> x2> x3>0，都有l(wèi)og1993+ log1993+ log1993> klog1993恒成立，則k的最大值為___________. 3．實數x, y滿足4x2-5xy+4y2=5，設S=x2+y2，則的值為___________. 4．已知0

17、__________. 5．用[x]表示不超過x的最大整數，則方程lg2x-[lgx]-2=0的實根個數是___________. 6．設a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1]，記a, b, c中的最大數為M，則M的最小值為___________. 7．若f(x)(x∈R)是周期為2的偶函數，當x∈[0,1]時，f(x)=，則，由小到大排列為___________. 8．不等式+2>0的解集為___________. 9．已知a>1, b>1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-

18、1). 10．（1）試畫出由方程所確定的函數y=f(x)圖象。 （2）若函數y=ax+與y=f(x)的圖象恰有一個公共點，求a的取值范圍。 11．對于任意n∈N+(n>1)，試證明：[]+[]+…+[]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。 六、聯賽二試水平訓練題 1．設x, y, z∈R+且x+y+z=1，求u=的最小值。 2．當a為何值時，不等式log·log5(x2+ax+6)+loga3≥0有且只有一個解（a>1且a1）。 3．f(x)是定義在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函數，滿足條件；對于任何x, y>1及u, v>0, f(xuyv)≤[f(

19、x)][f(y)]①都成立，試確定所有這樣的函數f(x). 4. 求所有函數f：R→R，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。 5．設m≥14是一個整數，函數f：N→N定義如下： f(n)=, 求出所有的m,使得f(1995)=1995. 6．求定義在有理數集上且滿足下列條件的所有函數f: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, y∈Q. 7．是否存在函數f(n)，將自然數集N映為自身，且對每個n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。 8．設p, q是任意自然數，求證：存在這樣的f(x) ∈Z(x)（表示整系數多項式集合），使對x軸上的某個長為的開區(qū)間中的每一個數x, 有 9．設α，β為實數，求所有f: R+→R，使得對任意的x,y∈R+, f(x)f(y)=y2·f成立。 高考資源網() 來源：高考資源網 版權所有：高考資源網(www.k s 5 )