高中數(shù)學(xué)競賽教材講義 第三章 函數(shù)講義

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1、 第三章 函數(shù) 一、基礎(chǔ)知識 定義1 映射，對于任意兩個集合A，B，依對應(yīng)法則f，若對A中的任意一個元素x，在B中都有唯一一個元素與之對應(yīng)，則稱f: A→B為一個映射。 定義2 單射，若f: A→B是一個映射且對任意x, y∈A, xy, 都有f(x)f(y)則稱之為單射。 定義3 滿射，若f: A→B是映射且對任意y∈B，都有一個x∈A使得f(x)=y，則稱f: A→B是A到B上的滿射。 定義4 一一映射，若f: A→B既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從B到A由相反的對應(yīng)法則f-1構(gòu)成的映射，記作f-1: A→B。 定義5 函數(shù)，映

2、射f: A→B中，若A，B都是非空數(shù)集，則這個映射為函數(shù)。A稱為它的定義域，若x∈A, y∈B，且f(x)=y（即x對應(yīng)B中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=3-1的定義域為{x|x≥0,x∈R}. 定義6 反函數(shù)，若函數(shù)f: A→B（通常記作y=f(x)）是一一映射，則它的逆映射f-1: A→B叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫作y=f-1(x). 這里求反函數(shù)的過程是：在解析式y(tǒng)=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后將x, y互換得y=f-1(x)，最后指出反函數(shù)的

3、定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù)y=的反函數(shù)是y=1-(x0). 定理1 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。 定理2 在定義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）函數(shù)。 定義7 函數(shù)的性質(zhì)。 （1）單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足對任意的x1, x2∈I并且x1< x2，總有f(x1)f(x2))，則稱f(x)在區(qū)間I上是增（減）函數(shù)，區(qū)間I稱為單調(diào)增（減）區(qū)間。 （2）奇偶性：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，且D是關(guān)于原點對稱的數(shù)集，若對于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；若對任意的x∈D，都有f

4、(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。 （3）周期性：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個數(shù)時，f(x+T)=f(x)總成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)T0，則這個正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期。 定義8 如果實數(shù)aa}記

5、作開區(qū)間（a, +∞），集合{x|x≤a}記作半開半閉區(qū)間（-∞,a]. 定義9 函數(shù)的圖象，點集{(x,y)|y=f(x), x∈D}稱為函數(shù)y=f(x)的圖象，其中D為f(x)的定義域。通過畫圖不難得出函數(shù)y=f(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系(a,b>0)；（1）向右平移a個單位得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象；（2）向左平移a個單位得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象；（3）向下平移b個單位得到y(tǒng)=f(x)-b的圖象；（4）與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱；（5）與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱；（6）與函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；（7）與函數(shù)y=-f(x

6、)的圖象關(guān)于x軸對稱。 定理3 復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性，記住四個字：“同增異減”。例如y=, u=2-x在（-∞,2）上是減函數(shù)，y=在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以y=在（-∞,2）上是增函數(shù)。 注：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴(yán)格論證，求導(dǎo)之后是顯然的。 二、方法與例題 x yx 1 1x 1．?dāng)?shù)形結(jié)合法。 例1 求方程|x-1|=的正根的個數(shù). 【解】 分別畫出y=|x-1|和y=的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點，所以方程有一個正根。 例2 求函數(shù)f(x)=的最大值。 【解】 f(x)=，記點P(x, x2)，A（3，2），

7、B（0，1），則f(x)表示動點P到點A和B距離的差。 因為|PA|-|PA|≤|AB|=,當(dāng)且僅當(dāng)P為AB延長線與拋物線y=x2的交點時等號成立。 所以f(x)max= 2.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。 例3 設(shè)x, y∈R，且滿足，求x+y. 【解】 設(shè)f(t)=t3+1997t，先證f(t)在（-∞，+∞）上遞增。事實上，若a0，所以f(t)遞增。 由題設(shè)f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2. 例4 奇函數(shù)f(x)在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又

8、f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范圍。 【解】 因為f(x)?是奇函數(shù)，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設(shè)f(1-a)

9、2k)=(x-2k)2. 例6 解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0. 【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化為 m(+1)+n(+1)=0. ① 若m=0，則由①得n=0，但m, n不同時為0，所以m0, n0. ⅰ)若m>0，則由①得n<0，設(shè)f(t)=t(+1),則f(t)在（0，+∞）上是增函數(shù)。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x= ⅱ)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=,但與m<0矛盾。 綜上，方程有唯一實數(shù)解x= 3.配方法。 例7 求函數(shù)y=x+的值域。 【解】 y=x+=[2

10、x+1+2+1]-1 =(+1)-1≥-1=-. 當(dāng)x=-時，y取最小值-，所以函數(shù)值域是[-，+∞）。 4．換元法。 例8 求函數(shù)y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。 【解】令+=u，因為x∈[0,1]，所以2≤u2=2+2≤4,所以≤u≤2,所以≤≤2，1≤≤2，所以y=,u2∈[+2，8]。 所以該函數(shù)值域為[2+，8]。 5．判別式法。 例9 求函數(shù)y=的值域。 【解】由函數(shù)解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 當(dāng)y1時，①式是關(guān)于x的方程有實根。 所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得≤y≤1. 又當(dāng)y=1時，存

11、在x=0使解析式成立， 所以函數(shù)值域為[，7]。 6．關(guān)于反函數(shù)。 例10 若函數(shù)y=f(x)定義域、值域均為R，且存在反函數(shù)。若f(x)在(-∞,+ ∞)上遞增，求證：y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函數(shù)。 【證明】設(shè)x1

12、，+∞）；其次，設(shè)x1, x2是定義域內(nèi)變量，且x10, 所以f(x)在（-∞，-）上遞增，同理f(x)在[-，+∞）上遞增。 在方程f(x)=f-1(x)中，記f(x)=f-1(x)=y，則y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，+∞）. 若xy，設(shè)xy也可得出矛盾。所以x=y. 即f(x)=x，化簡得3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0, 因為x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1. 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

13、1．已知X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2}，映射f：X→Y滿足：對任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數(shù)，這樣的映射有_______個。 2．給定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f為單射，則f有_______個；若f為滿射，則f有_______個；滿足f[f(x)] =f(x)的映射有_______個。 3．若直線y=k(x-2)與函數(shù)y=x2+2x圖象相交于點（-1，-1），則圖象與直線一共有_______個交點。 4．函數(shù)y=f(x)的值域為[]，則函數(shù)g(x)=f(x)+的值域為_______。 5．已

14、知f(x)=，則函數(shù)g(x)=f[f(x)]的值域為_______。 6．已知f(x)=|x+a|，當(dāng)x≥3時f(x)為增函數(shù)，則a的取值范圍是_______。 7．設(shè)y=f(x)在定義域（，2）內(nèi)是增函數(shù)，則y=f(x2-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為_______。 8．若函數(shù)y=(x)存在反函數(shù)y=-1(x)，則y=-1(x)的圖象與y=-(-x)的圖象關(guān)于直線_______對稱。 9．函數(shù)f(x)滿足=1-，則f()=_______。 10. 函數(shù)y=, x∈(1, +∞)的反函數(shù)是_______。 11．求下列函數(shù)的值域：（1）y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=

15、 12. 已知定義在R上，對任意x∈R, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函數(shù)，又當(dāng)x∈[2,3]時，f(x)=x，則當(dāng)x∈[-2,0]時，求f(x)的解析式。 四、高考水平訓(xùn)練題 1．已知a∈, f(x)定義域是（0,1]，則g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域為_______。 2．設(shè)0≤a<1時，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正值。則f(x)定義域為_______。 3．映射f: {a, b, c, d}→{1，2，3}滿足10

16、)的值域為R，且為增函數(shù)，若方程f(x)=x解集為P，f[f(x)]=x解集為Q，則P，Q的關(guān)系為：P_______Q（填=、、）。 5．下列函數(shù)是否為奇函數(shù)：（1）f(x)=(x-1)；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3) (x)=；（4）y= 6. 設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R且x0)，對任意非零實數(shù)x1, x2滿足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函數(shù)，則不等式f(x)+f(x-)≤0的解集為_______。 7．函數(shù)f(x)=，其中P，M為R的兩個非空子集，又規(guī)定f(P)={y|y=f(x), x∈P}, f(M)={y|y=f(

17、x), x∈M}，給出如下判斷：①若P∩M=，則f(P) ∩f(M)=；②若P∩M，則f(P) ∩f(M)；③若P∪M=R, 則f(P) ∪f(M)=R；④若P∪MR，則f(P) ∪f(M)R. 其中正確的判斷是_______。 8．函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，則f(1998)= _______。 9．已知y=f(x)是定義域為[-6，6]的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，3]時是一次函數(shù)，當(dāng)x∈[3，6]時是二次函數(shù)，又f(6)=2，當(dāng)x∈[3，6]時，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。 10．設(shè)a>0，函數(shù)f(x)定義域為R，且f(x+

18、a)=，求證：f(x)為周期函數(shù)。 11．設(shè)關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為α，β（α<β），已知函數(shù)f(x)=,（1）求f(α)、f(β)；（2）求證：f(x)在[α，β]上是增函數(shù)；（3）對任意正數(shù)x1, x2，求證：<2|α-β|. 五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題 1．奇函數(shù)f(x)存在函數(shù)f-1(x)，若把y=f(x)的圖象向上平移3個單位，然后向右平移2個單位后，再關(guān)于直線y=-x對稱，得到的曲線所對應(yīng)的函數(shù)是________. 2．若a>0，a1,F(x)是奇函數(shù)，則G(x)=F(x)是________（奇偶性）. 3．若=x，則下列等式中正確的有________.①

19、F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)= ；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x. 4.設(shè)函數(shù)f：R→R滿足f(0)=1，且對任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，則f(x)=________. 5．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1，且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)= ________. 6. 函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是________. 7. 函數(shù)f(x)=的奇偶性是：________奇函數(shù)，________偶函數(shù)（填是，非）

20、。 8. 函數(shù)y=x+的值域為________. 9．設(shè)f(x)=, 對任意的a∈R，記V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-min{f(x)-ax|x∈[1, 3]}，試求V(a)的最小值。 10．解方程組： （在實數(shù)范圍內(nèi)） 11．設(shè)k∈N+, f: N+→N+滿足：（1）f(x)嚴(yán)格遞增；（2）對任意n∈N+, 有f[f(n)]=kn，求證：對任意n∈N+, 都有n≤f(n)≤ 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 1．求證：恰有一個定義在所有非零實數(shù)上的函數(shù)f，滿足：（1）對任意x≠0, f(x)=x·f；（2）對所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(

21、x+y). 2.設(shè)f(x)對一切x>0有定義，且滿足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函數(shù)；(ⅱ)任意x>0, f(x)f=1，試求f(1). 3. f:[0,1]→R滿足：（1）任意x∈[0, 1], f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）當(dāng)x, y, x+y∈[0, 1]時，f(x)+f(y)≤f(x+y)，試求最小常數(shù)c，對滿足（1），（2），（3）的函數(shù)f(x)都有f(x)≤cx. 4. 試求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。 5．對給定的正數(shù)p,q∈(0, 1)，有p+q>1≥p2+q2，試求f(

22、x)=(1-x)+在[1-q,p]上的最大值。 6．已知f: (0,1)→R且f(x)=. 當(dāng)x∈時，試求f(x)的最大值。 7．函數(shù)f(x)定義在整數(shù)集上，且滿足f(n)=，求f(100)的值。 8．函數(shù)y=f(x)定義在整個實軸上，它的圖象在圍繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)角后不變。（1）求證：方程f(x)=x恰有一個解；（2）試給出一個具有上述性質(zhì)的函數(shù)。 9．設(shè)Q+是正有理數(shù)的集合，試構(gòu)造一個函數(shù)f: Q+→Q+，滿足這樣的條件：f(xf(y))=x, y∈Q+. 高考資源網(wǎng)() 來源：高考資源網(wǎng) 版權(quán)所有：高考資源網(wǎng)(www.k s 5 )