高中數(shù)學(xué)競賽教材講義 第二章 二次函數(shù)與命題講義

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1、 第二章 二次函數(shù)與命題 一、基礎(chǔ)知識 1．二次函數(shù)：當(dāng)0時，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c稱為關(guān)于x的二次函數(shù)，其對稱軸為直線x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。 2．二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)a>0時，f(x)的圖象開口向上，在區(qū)間（-∞，x0]上隨自變量x增大函數(shù)值減小（簡稱遞減），在[x0, -∞）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡稱遞增）。當(dāng)a<0時，情況相反。 3．當(dāng)a>0時，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③與函數(shù)f(x)的關(guān)系如下（記△=b2-4ac

2、）。 1）當(dāng)△>0時，方程①有兩個不等實(shí)根，設(shè)x1,x2(x1x2}和{x|x10，當(dāng)x=x0時，f(x)取最小值f(x0)

3、=,若a<0，則當(dāng)x=x0=時，f(x)取最大值f(x0)=.對于給定區(qū)間[m,n]上的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，當(dāng)x0∈[m, n]時，f(x)在[m, n]上的最小值為f(x0); 當(dāng)x0n時，f(x)在[m, n]上的最小值為f(n)（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出）。 定義1 能判斷真假的語句叫命題，如“3>5”是命題，“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題。 注1 “p或q”復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同為假命題時為假，否則

4、為真命題；“p且q”復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同時為真命題時為真，否則為假命題；p與“非p”即“p”恰好一真一假。 定義2 原命題：若p則q（p為條件，q為結(jié)論）；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p。 注2 原命題與其逆否命題同真假。一個命題的逆命題和否命題同真假。 注3 反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。 定義3 如果命題“若p則q”為真，則記為pq否則記作pq.在命題“若p則q”中，如果已知pq,則p是q的充分條件；如果qp，則稱p是q的必要條件；如果pq但q不p，則稱p是q的充分非必要條件；如果p不q但pq，則p稱為q的必要

5、非充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件。 二、方法與例題 1．待定系數(shù)法。 例1 設(shè)方程x2-x+1=0的兩根是α，β，求滿足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函數(shù)f(x). 【解】 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0), 則由已知f(α)=β,f(β)=α相減并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0， 因?yàn)榉匠蘹2-x+1=0中△0， 所以αβ，所以(α+β)a+b+1=0. 又α+β=1,所以a+b+1=0. 又因?yàn)閒(1)=a+b+c=1， 所以c-1=1，所以c=2. 又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由

6、f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β, 所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0. 即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0， 所以a=1, 所以f(x)=x2-2x+2. 2．方程的思想。 例2 已知f(x)=ax2-c滿足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍。 【解】 因?yàn)?4≤f(1)=a-c≤-1, 所以1≤-f(1)=c-a≤4. 又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)=f(2)-f(1), 所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4, 所以-1≤f(3)≤20. 3．利用二次函數(shù)的性質(zhì)。 例3

7、 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a0)，若方程f(x)=x無實(shí)根，求證：方程f(f(x))=x也無實(shí)根。 【證明】若a>0，因?yàn)閒(x)=x無實(shí)根，所以二次函數(shù)g(x)=f(x)-x圖象與x軸無公共點(diǎn)且開口向上，所以對任意的x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x，從而f(f(x))>f(x)。 所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x無實(shí)根。 注：請讀者思考例3的逆命題是否正確。 4．利用二次函數(shù)表達(dá)式解題。 例4 設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的兩根x1, x2滿足0

8、1)時，求證：x0，所以f(x)>x. 其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+]<0，所以f(x)

9、 所以， 所以 5．構(gòu)造二次函數(shù)解題。 例5 已知關(guān)于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1，求證：方程的正根比1小，負(fù)根比-1大。 【證明】 方程化為2a2x2+2ax+1-a2=0. 構(gòu)造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0， 所以f(x)在區(qū)間（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比1小，負(fù)根比-1大。 6．定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。 例6 當(dāng)x取何值時，函數(shù)y=取最小值？求出這個最小值。 【解】 y=1-,令u,則0

10、 y=5u2-u+1=5, 且當(dāng)即x=3時，ymin=. 例7 設(shè)變量x滿足x2+bx≤-x(b<-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值。 【解】 由x2+bx≤-x(b<-1)，得0≤x≤-(b+1). ⅰ)-≤-(b+1)，即b≤-2時，x2+bx的最小值為-，所以b2=2，所以（舍去）。 ⅱ) ->-(b+1)，即b>-2時，x2+bx在[0，-(b+1)]上是減函數(shù)， 所以x2+bx的最小值為b+1,b+1=-,b=-. 綜上，b=-. 7.一元二次不等式問題的解法。 例8 已知不等式組 ①②的整數(shù)解恰好有兩個，求a的取值范圍。 【解】 因?yàn)榉匠蘹2-

11、x+a-a2=0的兩根為x1=a, x2=1-a, 若a≤0，則x11-2a. 因?yàn)?-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式組無解。 若a>0，?。┊?dāng)0時，a>1-a，由②得x>1-2a， 所以不等式組的解集為1-a1且a-(1-a)≤3， 所以1

12、范圍是1

13、>0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA) 同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。 再證充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)， 1）若A=0，則由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。 2）若A>0，則由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。 綜上，充分性得證。 9．常用結(jié)論。 定理1 若a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. 【證明】 因?yàn)?|a|≤a≤|a|,-|b|

14、≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m>0，則-m≤x≤m等價于|x|≤m）. 又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|≤|a+b|.綜上定理1得證。 定理2 若a,b∈R, 則a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,則x+y≥ (證略) 注 定理2可以推廣到n個正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細(xì)論證。 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1．下列四個命題中屬于真命題的是________，①“若x+y=0，則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；②“兩個全等三角形的面積相等”的否命題；③“若q≤1，則x2+x+q=

15、0有實(shí)根”的逆否命題；④“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆否命題。 2．由上列各組命題構(gòu)成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題中，p或q為真，p且q為假，非p為真的是_________.①p；3是偶數(shù)，q：4是奇數(shù)；②p:3+2=6,q:③p:a∈(a,b),q:{a}{a,b}; ④ p: QR, q: N=Z. 3. 當(dāng)|x-2|0的解是1

16、且00}，則集合{

17、x|x∈A且xA∩B}=_________. 11. 求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a對任意實(shí)數(shù)x恒成立的a的取值范圍。 12．對任意x∈[0,1],有 ①②成立，求k的取值范圍。 四、高考水平訓(xùn)練題 1．若不等式|x-a|0當(dāng)|a|≤1時恒成立的x的取值范圍是_________. 3．若不等式-x2+kx-4<0的解集為R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________. 4．若集合A={x||x+7|>10}, B={x||x-5|

18、__. 5．設(shè)a1、a2, b1、b2, c1、c2均為非零實(shí)數(shù)，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集分別為M和N，那么“”是“M=N”的_________條件。 6．若下列三個方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________. 7．已知p, q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，則r是q的_________條件。 8．已知p: |1-|≤2, q: x2-2x+1-m2≤0(m>0)，若非p是非q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__

19、_______. 9．已知a>0，f(x)=ax2+bx+c，對任意x∈R有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)0且|x|≤1時，g(x)最大值為2，求f(x). 11.設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c,m滿足條件：=0，且a≥0,m>0，求證：方程ax2+bx+c=0有一根x0滿足0

20、3-2x2-4|x|+3<0的解集是_________. 2．如果實(shí)數(shù)x, y滿足：，那么|x|-|y|的最小值是_________. 3．已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，1），（3，5），f(0)>0，當(dāng)函數(shù)的最小值取最大值時，a+b2+c3=_________. 4. 已知f(x)=|1-2x|, x∈[0,1]，方程f(f(f)(x)))=x有_________個實(shí)根。 5．若關(guān)于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上至少有一個實(shí)根，則m取值范圍是_________. 6．若f(x)=x4+px3+qx2+x對一切x∈R都有f(x)≥x且f(1)=

21、1，則p+q2=_________. 7. 對一切x∈R，f(x)=ax2+bx+c(a、=、<） 9．若a

22、次繼續(xù)下去，并求最多能延續(xù)的次數(shù)。 11．已知f(x)=ax2+bx+c在[0，1]上滿足|f(x)|≤1,試求|a|+|b|+|c|的最大值。 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 1．設(shè)f(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, a>100，試問滿足|f(x)|≤50的整數(shù)x最多有幾個？ 2．設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a<0)，對于給定的負(fù)數(shù)a，有一個最大的正數(shù)l(a)，使得在整個區(qū)間[0，l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。求l(a)的最大值及相應(yīng)a的值。 3．設(shè)x1,x2,…,xn∈[a, a+1]，且設(shè)x=, y=, 求f=y-x2的最大值。 4．F(x)=ax2

23、+bx+c，a,b,c∈R, 且|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,則對于|x|≤1，求|F(x)|的最大值。 5．已知f(x)=x2+ax+b，若存在實(shí)數(shù)m，使得|f(m)|≤,|f(m+1)|≤,求△=a2-4b的最大值和最小值。 6．設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R, a0)滿足下列條件： 1）當(dāng)x∈R時，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x； 2）當(dāng)x∈(0, 2)時，f(x)≤; 3）f(x)在R上最小值為0。 求最大的m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1, m]就有f(x+t)≤x. 7.求證：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)內(nèi)至少有一個實(shí)根。 8．設(shè)a,b,A,B∈R+, a