高中數(shù)學教學 復合函數(shù)初步課件 新人教A版必修1

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1、復合函數(shù)初步 復合函數(shù)： 如果如果y是是u的函數(shù)的函數(shù), ,而而u又是又是x x的函數(shù)的函數(shù), ,即即, ,y=f(f(u),),u=g( (x),),那么那么y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)的函數(shù)y=f g( (x)叫做函數(shù)叫做函數(shù)f f和和g的復合函數(shù)的復合函數(shù), ,u叫做中間變量叫做中間變量. .注意：若注意：若y=f(u)定義域定義域為為A，u=g(x)值域值域為為B， 則必須滿足則必須滿足B A求復合函數(shù)的定義域(1)已知函數(shù)y=f(x)的定義域,求它的 復合函數(shù)fg(x)的定義域.我們知道函數(shù)的我們知道函數(shù)的定義域為定義域為_,_,則則f(x+1)f(x+1)的定義域為的定義域為_._.2 2x

2、 x1 1f(x)f(x)x|-1x1x|-2x0訓練：已知訓練：已知f(xf(x) )的定義域是的定義域是-1,4,求求 g(x(x)=f()=f(x+1)+f()+f(1-x) )的定義域的定義域. . x|-2x2說明: 函數(shù)的定義域是指自變量函數(shù)的定義域是指自變量x x的取值的取值范圍范圍, , 所以對于所以對于g( (x) )=f( (x+1) )+f(f(1-x) )的定義域的定義域, ,應設(shè)應設(shè)x+1,1-x的取值范圍滿的取值范圍滿足足y=f( (x) )中的中的x的取值范圍的取值范圍. .結(jié)論:(1)已知函數(shù)f(x)的定義域為a,b,求其 復合函數(shù)fg(x)的定義域應有不等 式

3、ag(x)b解出x即得.求復合函數(shù)的定義域我們知道函數(shù)我們知道函數(shù)的定義域為的定義域為_,_,則則f(xf(x) )的定義域為的定義域為_._.x|0 x1x)x)x(1x(12)2)f(xf(x(2)已知復合函數(shù)y=fg(x)的定義域, 求原函數(shù)y=f(x)的定義域.x|2x3訓練：已知f(x+1)的定義域是-1,4,求 f(x)的定義域. x0,5結(jié)論:(1)已知函數(shù)f(x)的定義域為a,b,求其 復合函數(shù)fg(x)的定義域，應由不由不 等式等式ag(x)bag(x)b解出解出x x即得.(2)已知復合函數(shù)y=fg(x)的定義域為 a,b,求原函數(shù)y=f(x)的定義域,應 求出求出y=g(

4、xy=g(x) )的值域的值域(xa,b(xa,b),),即得 y=f(x)的定義域.練習:(1)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是0,2,求函 數(shù)f(x2)的定義域.2,2 (1)(2)已知y=f(2x+1)定義域是0,1,求 y=f(x)的定義域.,3 (2)1(3).已知f(x2)的定義域是-1,1,求 函數(shù)f(x)的定義域.(3) (3) 0,1例1求下列函數(shù)的定義域、值域：解：（1）由x-10得x1所以，所求函數(shù)定義域為x|x1114 . 0 xy 153xy 12 xy由 ，得y1011x所以，所求函數(shù)值域為y|y0且y1求復合函數(shù)的值域說明：對于值域的求解，可以令tx11考察指數(shù)函數(shù)y=t

5、4 . 0并結(jié)合圖象直觀地得到:)0( t654321-1-4-2246函數(shù)值域為y|y0且y1114 . 0 xy 153xy解：（2）由5x-10得51x所以，所求函數(shù)定義域為51| xx由 015x得y1所以，所求函數(shù)值域為y|y1 12 xy解：（3）所求函數(shù)定義域為R由02 x可得112x所以，所求函數(shù)值域為y|y1求下列函數(shù)的定義域和值域：xay1 31)21(xy解： 要使函數(shù)有意義，必須 01xa1xa 當1a時 , 0 x； 當10 a時 ,0 x 0 xa 110 xa 值域為10| yy 要使函數(shù)有意義，必須 03x3x 031x 1)21()21(031xy又0y 值域

6、為 ), 1 () 1 , 0(練習: 1.(1)若函數(shù)若函數(shù)f(x)的定義域為的定義域為(0,1),則則 的定義域為的定義域為_.)2(xf (2)函數(shù)函數(shù) 的定義域為的定義域為_.91312 xy.) 1, 0(11. 2的定義域、值域且求函數(shù)aaaayxx練習:1 1 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域和值域的定義域和值域. . ( )1 2xf x 2 2 已知函數(shù)已知函數(shù) 的值域的值域是是 ，求，求f(xf(x) )的定義域的定義域. .2( )22xxf x(12,)3 3 已知關(guān)于的方程已知關(guān)于的方程 有實有實根，求實數(shù)根，求實數(shù)m m的取值范圍的取值范圍. .| |21xm練習:4.當x0

7、時,函數(shù) 的值總大于1,則實數(shù)a的取值范圍是_.xaxf)1()(2 復合函數(shù)的單調(diào)性若u=g(x)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)y=f(u)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)則y=fg(x)規(guī)律：規(guī)律：當兩個函數(shù)的單調(diào)性相同時，其復合函數(shù)是增函數(shù)；當兩個函數(shù)的單調(diào)性相同時，其復合函數(shù)是增函數(shù)；當兩個函數(shù)的單調(diào)性不相同時，其復合函數(shù)是減函數(shù)當兩個函數(shù)的單調(diào)性不相同時，其復合函數(shù)是減函數(shù) “同增異減同增異減”增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù) 例：求函數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)性的單調(diào)性.232)21()(xxxf解：設(shè) ， .f(u)和u(x)的定義域均為R因為，u在 上遞減，在 上遞增.而 在R上是減函數(shù),所以， 在 上是增函

8、數(shù),在 上是減函數(shù).232xxuuuf)21()(23,23uuf)21()(232)21()(xxxf23,23例：求求 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .1223xxy解解: : 設(shè)設(shè) ,u=x,u=x2 22x2x1,1,由由uRuR, , 得原復合函數(shù)的定義域為得原復合函數(shù)的定義域為xR.xR.因為因為 在定義域在定義域R R內(nèi)為增函數(shù)，內(nèi)為增函數(shù)，所以由二次函數(shù)所以由二次函數(shù)u=xu=x2 22x2x1 1的單調(diào)性易知的單調(diào)性易知u=xu=x2 22x2x1=(x1=(x1)1)2 22 2在在x1x1時單調(diào)減，時單調(diào)減，由由 xR,xR,( (復合函數(shù)定義域復合函數(shù)定義域) )x1x1，

9、(u(u減減) )解得解得x1.x1.所以所以( (，1 1是該復合函數(shù)的單是該復合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間調(diào)減區(qū)間. .同理同理1 1，+)+)是該復合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是該復合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間. . uy3uy3練習：練習：求函數(shù)求函數(shù)6)(2xxxf的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間答案：答案：(, 3單減區(qū)間單減區(qū)間2,+)單增區(qū)間單增區(qū)間注意：注意：求單調(diào)區(qū)間時，一定要先求單調(diào)區(qū)間時，一定要先看定義域看定義域復合函數(shù)的單調(diào)性小結(jié)復合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)性可按下列步驟判斷： (1) 將復合函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù)：y=f(u)與u=g(x)。其中y=f(u)又稱為外層函數(shù), u=g(x)稱為內(nèi)層函數(shù); (2

10、) 確定函數(shù)的定義域； (3) 分別確定分解成的兩個函數(shù)的單調(diào)性； (4) 若兩個函數(shù)在對應的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復合后的函數(shù)y=fg(x)為增函數(shù)； (5) 若兩個函數(shù)在對應的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個是增函數(shù)，而另一個是減函數(shù)），則復合后的函數(shù)y=fg(x)為減函數(shù)。 復合函數(shù)的單調(diào)性可概括為一句話：“同增異減”。.12 . 01)2() 1, 0() 1 (:322xxxyaaay且調(diào)區(qū)間訓練：求下列函數(shù)的單.) 10(11)(. 1的奇偶性且判斷函數(shù)aaaaxfxx復合函數(shù)的奇偶性.) 10(11)(. 2的奇偶性且判斷函數(shù)aaaaxxfxx函數(shù)的奇偶性

11、：奇奇奇偶偶偶奇奇偶偶偶偶奇偶奇奇偶（不確定）類比：負負負正正正負負正正正正負正負負正（不確定）.,)()2(;)(,:)1(),(122)(的值的值求求為奇函數(shù)時為奇函數(shù)時當當為增函數(shù)為增函數(shù)對任何對任何求證求證已知函數(shù)已知函數(shù)axfxfRaRaaxfx 1 1、函數(shù)、函數(shù)y=2 y=2 的值域是的值域是x22x3分析：因為分析：因為x x2 2-2x+3= (x-1)-2x+3= (x-1)2 2+22,+22,函數(shù)函數(shù)y=2y=2x x為增函數(shù)。為增函數(shù)。4,+)2 2、函數(shù)函數(shù)y=2 y=2 的減區(qū)間是的減區(qū)間是-x2+2x-11,+)3.3.討論函數(shù)討論函數(shù)f(x)= f(x)= 的

12、奇偶性和單調(diào)性的奇偶性和單調(diào)性xxxx10101010分析：函數(shù)的定義域為分析：函數(shù)的定義域為R R(1) f(-x)= =f(x)xxxx10101010 xxxx10101010 f(x) f(x)在在R R上是奇函數(shù)上是奇函數(shù)（2 2）設(shè)）設(shè)x x1 1,x,x2 2R,R,且且x x1 1xx2 2f(x)= =111011022xx11022x則則f(x1)f(x2)=(1）（）（1）110212x110222x110222x110212x) 110)(110()1010(221212222xxxx x1x2 上式的分子小于上式的分子小于0，分母大于，分母大于0即：即：f(x1)f(x2)故函數(shù)故函數(shù)f(x)大大R上是增函數(shù)。上是增函數(shù)。21( )21xxf x 已知函數(shù)已知函數(shù) (1)(1)確定確定f(xf(x) )的奇偶性；的奇偶性； (2)(2)判斷判斷f(xf(x) )的單調(diào)性；的單調(diào)性； (3)(3)求求f(xf(x) )的值域的值域. .作業(yè)：