材料力學：第七章彎曲變形

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1、第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page 1 第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page 2思考：梁在載荷作用下，要有足夠的強度，因此必須滿足思考：梁在載荷作用下，要有足夠的強度，因此必須滿足強度條件。但是，是否梁滿足了強度條件之后，它就能夠強度條件。但是，是否梁滿足了強度條件之后，它就能夠正常地工作呢？正常地工作呢？起重機正常運行時，車輪輪緣與運起重機正常運行時，車輪輪緣與運行軌道之間需保持一定的間隙，但行軌道之間需保持一定的間隙，但梁變形情況下，車輪不在其踏面中梁變形情況下，車輪不在其踏面中間運行，當起重機運行中輪緣與軌間運行，當起重機運行中輪緣與軌道側(cè)面相擠時，則出現(xiàn)啃軌現(xiàn)象，道側(cè)面相擠時，則

2、出現(xiàn)啃軌現(xiàn)象，影響起重機安全運行。影響起重機安全運行。梁變形引起的事故與安全問題梁變形引起的事故與安全問題第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page 3 撓曲軸是撓曲軸是一一條連續(xù)、光滑曲線條連續(xù)、光滑曲線 對稱彎曲時，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面曲線對稱彎曲時，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面曲線撓曲軸撓曲軸 軸線變?yōu)榍€，變彎后的梁軸，稱為軸線變?yōu)榍€，變彎后的梁軸，稱為撓曲軸撓曲軸，彎曲變形的特點彎曲變形的特點如何計算和描述梁的變形？如何計算和描述梁的變形？第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page 4ABlx)(xw)(x)(x 對稱彎曲條件下對稱彎曲條件下, ,如果忽略梁橫截面的面內(nèi)變形和截面形

3、心如果忽略梁橫截面的面內(nèi)變形和截面形心的軸向位移，那么梁橫截面上任一點的位移可以通過如下的軸向位移，那么梁橫截面上任一點的位移可以通過如下兩個變量描述兩個變量描述: :1、各截面形心的線位移各截面形心的線位移 撓度撓度 w2、截面繞中性軸的角位移、截面繞中性軸的角位移 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 及轉(zhuǎn)角方程及轉(zhuǎn)角方程 ( ( x) )lxF撓度隨坐標變化的方程撓度隨坐標變化的方程撓曲軸方程撓曲軸方程 w= w(x) 梁變形的描述方法：梁變形的描述方法：第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page 5撓曲軸方程撓曲軸方程 w= w(x)ABlx)(xw)(x)(x 這樣，梁的變形描述可由單一方程完成：這樣，梁的變形描述

4、可由單一方程完成： 梁的轉(zhuǎn)角一般很小梁的轉(zhuǎn)角一般很小 = dw/dx ，不再是獨立量不再是獨立量 對于細長梁，剪力對彎曲變形影響一般可忽略不計，對于細長梁，剪力對彎曲變形影響一般可忽略不計， 因因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page 6QQ 中性層曲率表示的彎曲變形公式中性層曲率表示的彎曲變形公式QQ 由高等數(shù)學知識由高等數(shù)學知識 ( () )232)(1)()(1xwxwx QQ 撓曲軸微分方程撓曲軸微分方程 ( () )( ( ) )EIxMxwxw 232)(1)( 二階非線性常微分方程二階非線性常微分方程EIxMx)

5、()(1 EIM 1（純彎純彎）（推廣到非純彎推廣到非純彎）方程推導方程推導第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page 7QQ簡化的撓曲軸方程簡化的撓曲軸方程正負號確定正負號確定: :0w 彎矩彎矩: 坐標系：坐標系：w 向上為正向上為正( () )( ( ) )EIxMxwxw 232)(1)(小變形時小變形時：12 w22d wM(x)=dxEI 曲線下凹曲線下凹撓曲線下凹撓曲線下凹, ,彎矩彎矩M M為正為正方程取正號方程取正號 22d wM(x)=dxEI正彎矩正彎矩負彎矩負彎矩xwoxwo第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page 8pmax 小變形小變形QQ應用條件：應用條件：22d wM

6、 (x)=dxEIQQ撓曲軸的近似微分方程撓曲軸的近似微分方程正彎矩正彎矩xwo 撓度撓度坐標軸坐標軸 w 向上，彎矩下凹為正向上，彎矩下凹為正土木建筑部門，采用土木建筑部門，采用坐標軸坐標軸 w 向下坐標系向下坐標系22d wM (x)=dxEI 小結(jié)小結(jié)第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page 9( ( ) )DCxdxEIxMw F C、D為積分常數(shù)，它們由位移邊界與連續(xù)條件確定。為積分常數(shù)，它們由位移邊界與連續(xù)條件確定。( ( ) )EIxMw ( ( ) )CdxEIxMdxdw 一、梁的撓曲軸方程一、梁的撓曲軸方程第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page10( ( ) )DCxdxEI

7、xMw 位移邊界條件位移邊界條件w = 0w = 0w = 0 = 0二、位移邊界條件與連續(xù)條件二、位移邊界條件與連續(xù)條件自由端：無位移邊界條件。自由端：無位移邊界條件。位移連續(xù)與光滑條件位移連續(xù)與光滑條件ACDMFB$撓曲軸在撓曲軸在B、C點連續(xù)且光滑點連續(xù)且光滑連續(xù)：連續(xù)：wB左左= wB右右光滑：光滑： B B左左 = B B右右 第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page110,0AAw 自由端：自由端：無位移邊界條件無位移邊界條件00CCCCww 左左右右左左右右BBww 左左右右固定端：固定端： 連續(xù)條件：連續(xù)條件：寫出梁的撓曲軸方程的邊界條件和連續(xù)條件寫出梁的撓曲軸方程的邊界條件和連

8、續(xù)條件邊界條件：邊界條件：例：例：中間支撐中間支撐C C：,EEEEww 左左右右左左右右E E點：點：中間鉸中間鉸B B：ABCDFE 第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page12ABCDFE 思考：思考： 該梁可分幾段積分（判斷依據(jù)是什么）？該梁可分幾段積分（判斷依據(jù)是什么）？(2). 分分3段。段。ED段不受力，保持直線，僅作剛性轉(zhuǎn)動。段不受力，保持直線，僅作剛性轉(zhuǎn)動。 (1). 分分4段。段。( ( ) )DCxdxEIxMw 第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page13已知已知EI EI , , 建立該梁的撓曲軸方程建立該梁的撓曲軸方程( ( ) )0MwxEI ABx0M( ( ) )

9、0Mw xx CEI ( ( ) )202Mw xxCxDEI 解解:2、撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程( ( ) )0MxM 1、彎矩方程彎矩方程: :例：例：第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page14ABx0M3、積分常數(shù)的確定積分常數(shù)的確定( ( ) )( ( ) )0202MwxxCEIMw xxCxDEI w(0) = 0D = 0w(0) = 0C = 0( ( ) )( ( ) )200,2MMw xxxxEIEI 第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page1501MxwEI l 已知已知EI , 建立該梁的撓曲軸方程建立該梁的撓曲軸方程 021MxwEIl 30116MxwC

10、 xDEI l 3202262MxxwC xDEIl 2/ l2/ l0MABlM /0lM /0解解: 計算約束反力，建立坐標系。計算約束反力，建立坐標系。AB段段BC段段xlMxM0)( 00)(MxlMxM 例例:x(分幾段積分？）分幾段積分？）第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page16邊界和連續(xù)條件邊界和連續(xù)條件: : 1222llww 1222llww ( ( ) )( () )2201424M xwxxllEI( ( ) )( () )0224MxlwxEIl ( ( ) )100w ( ( ) )20wl 四個方程定四個方程定4 4個常數(shù)個常數(shù)30116MxwC xDEI l 3

11、202262MxxwC xDEIl 2/ l2/ l0MABlM /0lM /0 x第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page17a2qaADaaqBC繪制撓曲軸的大致形狀：繪制撓曲軸的大致形狀：43qa4qaF彎矩圖過零點處為撓曲軸拐點彎矩圖過零點處為撓曲軸拐點 彎矩正負突變處也經(jīng)常是拐點彎矩正負突變處也經(jīng)常是拐點F支座性質(zhì)定該處線和角位移支座性質(zhì)定該處線和角位移1. 1. 繪制彎矩圖。繪制彎矩圖。2. 2. 繪制撓曲軸的大致形狀繪制撓曲軸的大致形狀F彎矩圖符號定撓曲軸凹凸性彎矩圖符號定撓曲軸凹凸性 凹凹凸凸凹凹直線直線撓曲軸大撓曲軸大致形狀致形狀43qa+_4qaFs42qa+322qaM曲線

12、，直線？曲線，直線？ 上凸，下凹？上凸，下凹？關(guān)鍵點的關(guān)鍵點的 ，w 以及拐以及拐點點F若彎矩圖中有一段若彎矩圖中有一段M=0， 則此段撓曲線為直線則此段撓曲線為直線第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page18作業(yè)作業(yè)7-1b7-3c, d7-67-7第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page19 載荷載荷疊加法疊加法 逐段變形效應疊加法逐段變形效應疊加法 兩類疊加法比較兩類疊加法比較 例題例題第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page20一、一、 載荷疊加法載荷疊加法( (原理）原理）梁在同時承受多個載荷時的撓度和轉(zhuǎn)角，等于該梁在各個梁在同時承受多個載荷時的撓度和轉(zhuǎn)角，等于該梁在各個載荷單獨作用下的撓

13、度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和載荷單獨作用下的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和成立條件成立條件：材料線彈性和小變形：材料線彈性和小變形M(x) Mi(x), 為載荷為載荷(F, q, Me)的線性齊次函數(shù)的線性齊次函數(shù)( ( ) ),M xwEI EIw= Mi(x) dx= Mi(x)dx= wi 積分后，積分后，w仍然是載荷仍然是載荷( (F, q, Me) )的線性齊次函數(shù)的線性齊次函數(shù)依據(jù)：依據(jù)：( (前提：材料線彈性前提：材料線彈性) )前提：前提：( (梁的變形很小梁的變形很小, ,不影響其它載荷的作用效果不影響其它載荷的作用效果) )第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page21例例：EI EI = =常數(shù)，常

14、數(shù)， 求求Aw，A載荷由集中力載荷由集中力F，均布力，均布力q和力偶和力偶M0構(gòu)成，分別計算構(gòu)成，分別計算各個載荷各個載荷在在A A端引起的位移端引起的位移，然后將它們疊加。，然后將它們疊加。Al0MFqQ 分析方法：分析方法：基本梁在幾種基本載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角方程已被總結(jié)成表基本梁在幾種基本載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角方程已被總結(jié)成表（請熟記（請熟記P351P351附錄附錄E E中中 1 1，3 3，4 4，6 6，8 8，9 9各梁的撓度和轉(zhuǎn)角）各梁的撓度和轉(zhuǎn)角）第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page22查表查表, ,p 3513512340( )238AM lFlqlwEIEIEI Al0

15、MAlFAlqAl0MFq223026AM lFlqlEIEIEI ( )AwM lEI0M lEI022qlEI36qlEI480MFqAEIFl22EIFl33疊加：疊加：第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page23例：例：載荷集度載荷集度為為( ( ) )lxqxq2cos0 ，求自由端撓度求自由端撓度Bwddq)(0 xq0BlFaB( () )alEIFawFB 362分析方法：分析方法：將任意分布載荷看作無將任意分布載荷看作無窮微集中力的疊加。窮微集中力的疊加。注意注意(1)a 取為變量取為變量 (2)(2)載荷向上為正載荷向上為正( () )( () )22036cos362BdF

16、dwlEIqldEIl 查表查表P 351(2):第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page24例：例：載荷集度載荷集度為為( ( ) )lxqxq2cos0 ，求自由端撓度求自由端撓度Bw( () )( () )( ( ) )20004304cos3622243llBBqwdwldEIlq lEI ddq)(0 xq0B( () )20cos362BqdwldEIllFaB第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page25例：例：EIEI= =常值，求常值，求acw40152768acccwwq lEI ACB2l2lq0(a)+q0(b)BAC2l2lq0(c)分析：分析：abccww abccccw

17、ww45384ccwqlEI 故：故：為什么？為什么？第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page26例：例：矩形截面梁斜彎曲問題矩形截面梁斜彎曲問題求撓曲軸方程與端點求撓曲軸方程與端點C位移位移yCzl F分析思路：分析思路：1. 載荷沿兩對稱軸分解：載荷沿兩對稱軸分解： 分解為對稱彎曲問題分解為對稱彎曲問題2. 求解各分載荷作用下的求解各分載荷作用下的撓曲軸方程與撓曲軸方程與C點位移點位移3. 合成為總的撓曲軸方程與合成為總的撓曲軸方程與總的總的C點位移點位移解解：(1) 載荷分解載荷分解cosyFF sinzFF 第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page27方位角方位角zzyywIarctgar

18、ctgtgwI F 一般一般 ，彎曲變形不發(fā)生在外力作用面內(nèi)。，彎曲變形不發(fā)生在外力作用面內(nèi)。2cos(3 )6yzFxxlwEI 32222cossin3zCTCyCzzyIFlwwwEII cosyFF sinzFF (2) 分力撓曲軸方程與端點位移分力撓曲軸方程與端點位移33yCyzF lwEI 33zCzyF lwEI 2sin(3 )6zyFxxlwEI 端點端點C：yCzlF 第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page28靜定梁或剛架的任一橫截面的總位移，等于各梁段單獨靜定梁或剛架的任一橫截面的總位移，等于各梁段單獨變形變形 ( (其余梁段剛化其余梁段剛化) )在該截面引起的位移的代數(shù)

19、和或在該截面引起的位移的代數(shù)和或矢量和。矢量和。二、逐段變形效應疊加法（逐段剛化法）二、逐段變形效應疊加法（逐段剛化法）該方法更多地應用于該方法更多地應用于單載荷單載荷、多段組合梁多段組合梁（如階梯梁、（如階梯梁、直角拐）的變形計算。直角拐）的變形計算。思考：該方法的優(yōu)點是什么？思考：該方法的優(yōu)點是什么？第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page29lAaqBC例例: : 求圖示外伸梁求圖示外伸梁C點點的撓度和轉(zhuǎn)角的撓度和轉(zhuǎn)角4311( )( )86CCqaqawEIEI 232222( )( )66CBCBqa lqa lwaEIEI lAaqBClAaBCqa/2qa2/2僅考慮僅考慮BC段變

20、形段變形( (剛化剛化AB, ,可視可視BC為懸臂梁為懸臂梁) )僅考慮僅考慮AB段變形段變形( (剛化剛化BC) )總撓度和轉(zhuǎn)角總撓度和轉(zhuǎn)角312(34 )( )24CCCqawwwalEI 212()( )6CCCqaalEI 第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page30lAaqBClAaqBClAaBCqaqa2/2AlaqBCqa2/2laBCqa2/2A三、兩類疊加法比較三、兩類疊加法比較1、靜定條件下，等價、靜定條件下，等價第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page312. 逐段變形效應疊加法與載荷疊加法適用范圍不同逐段變形效應疊加法與載荷疊加法適用范圍不同1F2F1F2FFFF右圖的疊

21、加法為什么不成立？右圖的疊加法為什么不成立？第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page32 兩類疊加法適用范圍比較兩類疊加法適用范圍比較線彈性、非線彈性與非彈線彈性、非線彈性與非彈性性線彈性線彈性小變形小變形小變形小變形靜定桿系與剛架靜定桿系與剛架靜定與靜不定結(jié)構(gòu)，包括桿、靜定與靜不定結(jié)構(gòu)，包括桿、板、殼及一般三維體板、殼及一般三維體逐段變形效應疊加法逐段變形效應疊加法載荷疊加法載荷疊加法第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page33例：例：EI EI = =常數(shù)，求常數(shù)，求AwlaABCFABC1wABCBC剛化剛化FBCABFFaABAB剛化剛化 加加 a.BCa.BC彎曲剛度剛化彎曲剛度剛化b.

22、BCb.BC扭轉(zhuǎn)剛度剛化扭轉(zhuǎn)剛度剛化w3( ( ) ) ppBAGIlFaaGIFalaw22 2. BC扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)(AB(AB剛化，剛化，BCBC彎曲彎曲 剛度剛化剛度剛化) )3. BC彎曲彎曲(AB(AB剛化，剛化，BCBC扭轉(zhuǎn)剛度剛化扭轉(zhuǎn)剛度剛化) )( ( ) ) EIFlwwBA33312323333AAAApwwwwFa lFlFaGIEIEI)(331 EIFawA1. AB彎曲彎曲(BC(BC剛化）剛化）第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page34例：例：E 常數(shù)常數(shù),求求212II Cw，C2I1IFABC剛化剛化ABAB段：段：1.1.BC段變形效應段變形效應（剛化（剛化AB

23、AB段）段）2.2.AB段變形效應段變形效應（剛化（剛化BCBC段）段）2,33332211373246CB FB MBwwwaFaFaFaFaEIEIEIEI 2,222113224CBB FB MFaFa aFaEIEIEI B剛化剛化BCBC段：段：FaM FABCABCF3113CFawEI 2112CFaEI 第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page35,求求例：例：E E 常數(shù)常數(shù), ,212II Cw，B 2I1IFABC1IEFABCEFABCEFBwF/22I1ICFB2I1IABC1IEFF/2F/2逐段變形效應疊加法逐段變形效應疊加法CBww第七章第七章 彎曲變形彎曲變形P

24、age36思考思考：圖示各階梯剛架幾何尺寸，材料與外載均相同，加：圖示各階梯剛架幾何尺寸，材料與外載均相同，加陰影線段表示陰影線段表示.該段已剛化，設(shè)圖示該段已剛化，設(shè)圖示(a)、(b)、(c)、(d)各剛各剛架自由端架自由端(即即A端端)的垂直位移分別為的垂直位移分別為Wa，Wb，Wc，Wd,，則則WaWbWcWd,。該結(jié)論對嗎？。該結(jié)論對嗎？AAAA(a)(b)(c)(d)FFFF第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page37AaCBaqBAaCaq/2AaCaq/2反對稱：反對稱：中點撓度為中點撓度為0 0，彎矩，彎矩0 0鉸支鉸支對稱：對稱：4115 (2 )0,768CCqawEI 思路

25、：思路：載荷分解載荷分解aCq/2例：例：利用對稱性求利用對稱性求 ,CCw 2320224CCwqaEI ( ( ) )( ( ) )31248CCCqaEI ( )( ( ) )( ( ) )412548CCCqlwwwEI ()第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page38C 左左/ /右右AqlCBl316q lE I AB12C2Cwl 梁撓曲軸如圖梁撓曲軸如圖CBCB保持直線保持直線48CqlwEI 312724CqlE I 左左 / / 右右ACAC懸臂梁懸臂梁第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page39212CBww 問題分析：采用逐段變形效應疊加法問題分析：采用逐段變形效應疊加法例

26、：例：組合梁組合梁/剛架各處剛架各處EI, EA, B處梁間活動鉸，求處梁間活動鉸，求 CwABCF1Cw剛化剛架剛化剛架BDH, AB為簡支梁，為簡支梁，剛化梁剛化梁AB，12CCCwww 3148CFawEI 下面求剛架的位移下面求剛架的位移Bw2CwBw2aaaABHD2aCF第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page40解：解： 1. 1. 求求BwaaBHDF/22w1w3w（1 1）剛化）剛化DH的拉壓與彎曲剛度，的拉壓與彎曲剛度， BD相當于懸臂梁相當于懸臂梁（2 2）剛化）剛化BD和和DH的拉壓剛度的拉壓剛度（3 3）剛化）剛化BD和和DH的彎曲剛度的彎曲剛度331236BFaFa

27、wEIEI 23222BDFaFawaaEIEI ABCF1Cw 2. 2. 求求1Cw3148CFawEI 32BDHFawlEI 2EA3123232BBBBFaFawwwwEIEI 2EA第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page413. 3. 求求Cw3148CFawEI 設(shè)設(shè)b bh h矩形截面矩形截面321234CBFaFawwEIEA 31217484CCCFaFawwwEIEA 4. 4. 比較彎曲與拉壓位移比較彎曲與拉壓位移323,121717484Abh IbhaFaFaEIEAh 結(jié)論結(jié)論: : ( (如果題意沒有要求如果題意沒有要求) )，拉壓與彎曲共同，拉壓與彎曲共同 作

28、用時，拉壓引起的位移可以忽略。作用時，拉壓引起的位移可以忽略。2CwBw1Cw2aaABHDCF2aa第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page42例：細長梁置于水平剛性例：細長梁置于水平剛性平臺上。設(shè)單位長度重量平臺上。設(shè)單位長度重量為為q，彎曲剛度，彎曲剛度EI，求，求wc解：設(shè)拱起長度為解：設(shè)拱起長度為aDA 段包括段包括A點截面上的彎點截面上的彎距距MA為零，為零，B點同理點同理A,B兩點處的轉(zhuǎn)角為零兩點處的轉(zhuǎn)角為零AB段的簡化模型由疊加法確定由疊加法確定A A處的轉(zhuǎn)角：處的轉(zhuǎn)角：qFaEIqaEIFaqAFAA230241632,再由疊加法確定再由疊加法確定C C處的撓度：處的撓度：EI

29、qFEIqaEIFawwwqCFCA3443,20489384548第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page43圖示直梁和剛性園拄面，求梁圖示直梁和剛性園拄面，求梁在集中力在集中力F作用下的端點撓度作用下的端點撓度lRFABC梁、拄面接觸的條件梁、拄面接觸的條件000 ; ,11FFRlEIFEIlFEIMR設(shè)設(shè)FFo，AC段與拄面接觸，段與拄面接觸，AC段長度為段長度為xFREIlxEIxlFR ,)(11RFREIlRxxRRw2)(21)(22221)()(22FREIlFREIxlwc322333)(3)(RFEIEIxlFw32223216)(2RFEIRlwwwwB第七章第七章 彎曲

30、變形彎曲變形Page44作業(yè)作業(yè)7-9b,d7-117-127-14a第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page45 靜不定度與靜不定度與多余約束多余約束 多于維持平衡所必須的約束多于維持平衡所必須的約束 與多余約束相應的支反力或支反力偶矩與多余約束相應的支反力或支反力偶矩 支反力（力偶）數(shù)有效平衡方程數(shù)支反力（力偶）數(shù)有效平衡方程數(shù)靜不定度多余約束數(shù)靜不定度多余約束數(shù)5-3=2 5-3=2 度靜不定度靜不定6-36-3 = = 3 3 度靜不定度靜不定( )q xM( )q xF第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page46AB靜定基靜定基:一個靜不定系統(tǒng)解除多余一個靜不定系統(tǒng)解除多余約束后所得的靜

31、定系統(tǒng)約束后所得的靜定系統(tǒng)(左下左下)相當系統(tǒng)：相當系統(tǒng)：作用有原靜不定梁載荷作用有原靜不定梁載荷與多余約束反力的基本系統(tǒng)與多余約束反力的基本系統(tǒng)(右下右下) AB靜定基與相當系統(tǒng)靜定基與相當系統(tǒng)qABABRBqABq靜定基與靜定基與相當系統(tǒng)的選擇不是唯一的相當系統(tǒng)的選擇不是唯一的第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page47小結(jié)：分析方法與分析步驟小結(jié)：分析方法與分析步驟 步驟步驟： 1 1、 判斷靜不定度（確定多余約束數(shù)）；判斷靜不定度（確定多余約束數(shù)）； 2 2 、選取與解除多余約束，建立相當系統(tǒng)；、選取與解除多余約束，建立相當系統(tǒng)； 3 3 、列出多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件；、列出多余約束處

32、的變形協(xié)調(diào)條件； 4 4、 結(jié)合平衡方程，求多余支反力。結(jié)合平衡方程，求多余支反力。方法：方法：選取并解除梁多余約束，代之以支反力選取并解除梁多余約束，代之以支反力, ,構(gòu)造相當系統(tǒng)，構(gòu)造相當系統(tǒng)，使多余約束點處的變形滿足位移邊界或連續(xù)條件使多余約束點處的變形滿足位移邊界或連續(xù)條件相當系統(tǒng)選取不唯一，一般選擇求解最簡單的一種相當系統(tǒng)選取不唯一，一般選擇求解最簡單的一種第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page48例：例：求支反力求支反力1.1. 靜不定度：靜不定度：6-3=32. 2. 選取相當系統(tǒng)：右中、選取相當系統(tǒng)：右中、下圖都合適。選右中圖。下圖都合適。選右中圖。小變形，軸向變形可忽略小變形

33、，軸向變形可忽略 HA= HB=0。兩多余未知力兩多余未知力qABHAHBRBRAMBMAABMAMBqABRBMB3. 3. 建立變形協(xié)調(diào)條件建立變形協(xié)調(diào)條件00BBw 第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page494. 4. 聯(lián)立求解聯(lián)立求解0,0BBw 3240(1)328RMqBBBBBBR lM lqlwwwwEIEIEI 230(2)26RMqBBBBBBR lM lqlEIEIEI qABRBMB2224BBqlRqlM 對稱性的應用對稱性的應用利用對稱性直接求出利用對稱性直接求出RA= RB= ql/2，它它可取代方程（可取代方程（1）、（）、（2）之一。）之一。第七章第七章 彎曲

34、變形彎曲變形Page50三人扛木問題三人扛木問題等截面原木長等截面原木長 l=5m, , 直徑直徑d=30cm, , 密度密度= =0.7g/cm3, , 彈性彈性模量模量E=4GPa. .三個等身高工人的著力點分別為原木的兩端三個等身高工人的著力點分別為原木的兩端及中點及中點. . 試求每人分擔的原木重量試求每人分擔的原木重量. . 解解: : 首先將問題抽象成材料力學模型首先將問題抽象成材料力學模型, , 然后依據(jù)相關(guān)理然后依據(jù)相關(guān)理論求解論求解. .第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page51ABCll/2三支座梁，三支座梁，q = = A495g/cm=484 N/m 問題轉(zhuǎn)化為求解上述

35、靜不定梁三個支座的支反力問題轉(zhuǎn)化為求解上述靜不定梁三個支座的支反力! !移去支座移去支座B, 代之以支反力代之以支反力FB , 解靜定梁解靜定梁, ,求支反力求支反力FB , 變變形協(xié)調(diào)條件形協(xié)調(diào)條件 B=0qABCll/2FB第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page52ABC查附錄查附錄E E8 8：均布力：均布力q q 引起的引起的B B點撓度：點撓度：)(96. 4)(00496. 03 . 014. 31023846454845384549441mmmEIqlABCl/2FB查附錄查附錄E E6 6：集中力：集中力F FB B引起的引起的B B點撓度：點撓度：EIlFB4832令 021

36、BNGFB1512625. 0NFGFFBBA4542由平衡方程：第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page53例例: : 直徑為直徑為d 的圓截面梁的圓截面梁, ,支座支座 B 下沉下沉 ， max=?解解：,B0 EIlFEIlMByBB2-2 236 12lEIM,lEIFBBy - BwIdlEI/262max 23ldE EIlFEIlMwByBB3-232 0 ABABBFBMMx26EIl 26EIl 存在裝配誤差的靜不定問題分析存在裝配誤差的靜不定問題分析第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page54例：例：求求A A點的垂直方向的位移，點的垂直方向的位移，A處梁間活動鉸。處梁間活動鉸

37、。aADRAAwAAww ( () )33033AAAMR a aR aR aaEIEIEI 組合梁組合梁/ /剛架靜不定問題的分析剛架靜不定問題的分析aaaABCDM0方法：將鉸鏈拆開，建立鉸方法：將鉸鏈拆開，建立鉸 鏈處的變形協(xié)調(diào)條件鏈處的變形協(xié)調(diào)條件aBCAwM0aRA第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page55例：例：求支反力求支反力 BDwwl 變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：RRB B點位移按右圖計算點位移按右圖計算 ABRqaqa2/2ABqCDlaaECABqRDRE第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page56一、梁的剛度條件一、梁的剛度條件 maxmaxw 許用撓度許用撓度， 許用轉(zhuǎn)

38、角許用轉(zhuǎn)角一般用途軸：一般用途軸： = (5/100003/10000)l重要軸：重要軸： = (2/100001/10000)l起重機大梁：起重機大梁： = (1/7001/1000)l土建工程中的梁：土建工程中的梁： = (2/100001/10000)l安裝齒輪或滑動軸承處：安裝齒輪或滑動軸承處： =0.001rad第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page57二、梁的合理剛度設(shè)計二、梁的合理剛度設(shè)計1. 1. 與梁的合理強度設(shè)計相似點與梁的合理強度設(shè)計相似點讓材料遠離截面中性軸，例如例如工字形與盒形薄壁截面讓材料遠離截面中性軸，例如例如工字形與盒形薄壁截面合理安排約束與加載方式（分散載荷等

39、）合理安排約束與加載方式（分散載荷等）依據(jù)依據(jù) 對比強度問題對比強度問題 或或( )M xwdxEI M yI MW 都與梁的截面尺寸有關(guān)都與梁的截面尺寸有關(guān)同樣依賴于同樣依賴于M第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page58合理安排約束與合理安排約束與加載方式加載方式% 758max1max2., max1, max2, max1, % 521max1max2., 增加約束，制作成靜不定梁增加約束，制作成靜不定梁lq2lq4l4lmax2, 2lF2llqF l 第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page59（1 1）強度是局部量，剛度是整體量（積分）強度是局部量，剛度是整體量（積分）2. 2. 與

40、梁的合理強度設(shè)計的不同點與梁的合理強度設(shè)計的不同點輔梁、等強度梁是合理強度設(shè)輔梁、等強度梁是合理強度設(shè)計的有效手段，而對梁剛度的計的有效手段，而對梁剛度的加強沒有明顯效果加強沒有明顯效果F小孔顯著影響強度，但對剛小孔顯著影響強度，但對剛度影響甚微度影響甚微F()MxwdxEI M yI MW 第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page60(2)(2)強度與材料強度與材料 和和 相關(guān)相關(guān), ,剛度與剛度與E 相關(guān)相關(guān)sb maxmax33maxmax1 ,4,48MFlMlFlWWlEI FC/ 2l/ 2l2maxmax34maxmax1,85,384MFlMlFlWWlEI ql高強度鋼一般不提高高強度鋼一般不提高E鋼與合金鋼鋼與合金鋼: :E = =200 220GPa鋁合金鋁合金: :E = =70 72GPa(3)(3)剛度對梁的跨度更敏感剛度對梁的跨度更敏感 跨度微小改變，將導致?lián)隙蕊@著改變跨度微小改變，將導致?lián)隙蕊@著改變第七章第七章 彎曲變形彎曲變形Page61作業(yè)作業(yè)7-177-19b7-317-33