（全國通用）2018年高考數(shù)學 考點一遍過 專題16 正、余弦定理及解三角形（含解析）文

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1、 考點16正、余弦定理及解三角形 1．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題. 2．應用 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題. 一、正弦定理 1．正弦定理 在中，若角A，B，C對應的三邊分別是a，b，c，則各邊和它所對角的正弦的比相等，即.正弦定理對任意三角形都成立． 2．常見變形 （1） （2） （3） （4）正弦定理的推廣：，其中為的外接圓的半徑. 3．解決的問題 （1）已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角； （2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角． 4．在中，已

2、知，和時，三角形解的情況 二、余弦定理 1．余弦定理 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即 2．余弦定理的推論 從余弦定理，可以得到它的推論： . 3．解決的問題 （1）已知三邊，求三個角； （2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角． 4．利用余弦定理解三角形的步驟 三、解三角形的實際應用 1．三角形的面積公式 設的三邊為a，b，c，對應的三個角分別為A，B，C，其面積為S. （1）(h為BC邊上的高)； （2）； （3）(為三角形的內(nèi)切圓半徑)． 2．三角形的高的公式 hA=bsinC=csi

3、nB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA． 3．測量中的術(shù)語 （1）仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)． （2）方位角 從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)． （3）方向角 相對于某一正方向的水平角. ①北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向(如圖③)； ②北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向； ③南偏西等其他方向角類似． （4）坡角與坡度 ①坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)； ②坡度：坡面的鉛直高

4、度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比． 4．解三角形實際應用題的步驟 考向一 利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理求邊和角的方法： （1）根據(jù)題目給出的條件(即邊和角)作出相應的圖形，并在圖形中標出相關(guān)的位置． （2）選擇正弦定理或余弦定理或二者結(jié)合求出待解問題．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到. （3）在運算求解過程中注意三角恒等變換與三角形內(nèi)角和定理的應用． 常見結(jié)論： （1）三角形的內(nèi)角和定理：在中，，其

5、變式有：，等． （2）三角形中的三角函數(shù)關(guān)系： ；； ；. 典例1的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A=，cos C=，，則b=. 【答案】 典例2 在中，已知， （1）求BC的長； （2）求的值. 【解析】（1）由余弦定理知，， 所以. （2）由正弦定理，知所以 因為，所以C為銳角，則 因此 1．已知A、B、C為的內(nèi)角，tanA、tanB是關(guān)于的方程的兩個實根. （1）求C的大小； （2）若，，求p的值. 考向二 三角形形狀的判斷 利用正、余弦定理判定三角形形狀的兩種思路： （1）“角化邊”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為

6、只含邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關(guān)系，從而判斷三角形的形狀. （2）“邊化角”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角恒等變換，得出內(nèi)角間的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用這個結(jié)論． 提醒：在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取公因式，以免造成漏解. 典例3在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. （1）求角A的大??； （2）若sin B＋sin C＝1，試判斷的形狀． （2）由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B

7、sin C. 又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝. 因為，0°

8、之，結(jié)合圖形恰當選擇面積公式是解題的關(guān)鍵． （2）三角形中，已知面積求邊、角的方法 三角形面積公式中含有兩邊及其夾角，故根據(jù)題目的特點，若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解；若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解． 典例4的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，a=2,b=2. （1）求c； （2）設D為BC邊上一點，且ADAC,求△ABD的面積. 【解析】（1）由已知可得，所以. 在中，由余弦定理得，即. 解得 (舍去)，. （2）由題設可得，所以. 故面積與面積的比值為. 又的面積為，所以的面積為. 【名師點

9、睛】在解決三角形問題中，面積公式最常用，因為公式中既有邊又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來.正、余弦定理在應用時，應注意靈活性，已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷. 典例5已知a，b，c分別是的三個內(nèi)角A，B，C的三條對邊，且c2=a2+b2﹣ab. （1）求角C的大??； （2）求cosA+cosB的最大值. （2）∵A+B+C=π，C=,∴B=，且A∈(0，). 則， ∵A∈(0，)，∴， 故當時，cosA+cosB取得最大值，為1. 3．在中，內(nèi)角，，所

10、對邊的邊長分別是，，，已知，． （1）若的面積等于，求，； （2）若，求的面積． 考向四三角形中的幾何計算 幾何中的長度、角度的計算通常轉(zhuǎn)化為三角形中邊長和角的計算，這樣就可以利用正、余弦定理解決問題.解決此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，把已知和所求的量盡量放在同一個三角形中. 典例6中，D是BC上的點,AD平分BAC,BD=2DC. （1）求； （2）若,求. 4．如圖，在中，角，，的對邊分別為，，，. （1）求角的大?。? （2）若，為外一點，，，求四邊形面積的最大值. 考向五 解三角形的實際應用 解三角形應用題的兩種情形：（1）實際問題經(jīng)抽象概括后，已知

11、量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解． 研究測量距離問題是高考中的常考內(nèi)容，既有選擇題、填空題，也有解答題，難度一般適中，屬中檔題.解題時要選取合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解. 典例7宇宙飛船返回艙順利到達地球后，為了及時將航天員救出，地面指揮中心在返回艙預計到達的區(qū)域安排了同一條直線上的三個

12、救援中心（記為）．當返回艙距地面1萬米的點時（假定以后垂直下落，并在點著陸），救援中心測得返回艙位于其南偏東60°方向，仰角為60°，救援中心測得返回艙位于其南偏西30°方向，仰角為30°，救援中心測得著陸點位于其正東方向． （1）求兩救援中心間的距離； （2）求救援中心與著陸點間的距離． （2）因為所以， 又，所以. 在中，由正弦定理，得，則． 故救援中心與著陸點間的距離為萬米. 5．如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN＝60°，C點的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點測得.已知山高BC＝100 m，

13、則山高MN＝__________ m. 考向六 三角形中的綜合問題 1．解三角形的應用中要注意與基本不等式的結(jié)合，以此考查三角形中有關(guān)邊、角的范圍問題.利用正弦定理、余弦定理與三角形的面積公式，建立如“”之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，通過基本不等式考查相關(guān)范圍問題. 2．注意與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合考查，將兩者結(jié)合起來，既考查解三角形問題，也注重對三角函數(shù)的化簡、計算及考查相關(guān)性質(zhì)等. 3．正、余弦定理也可能結(jié)合平面向量及不等式考查面積的最值或求面積，此時注意應用平面向量的數(shù)量積或基本不等式進行求解. 典例8在中，已知，向量，，且. （1）求A的值； （2）若點D在邊BC

14、上，且，，求的面積． 【解析】（1）由題意知，又，，所以，即，即. 又，所以，所以，即. （2）設，由，得，由（1）知，所以,. 在中，由余弦定理，得，解得，所以， 所以. 典例9的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. （1）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； （2）若a，b，c成等比數(shù)列，求cos B的最小值． （2）因為a，b，c成等比數(shù)列，所以b2＝ac. 由余弦定理得cos B＝＝≥＝， 當且僅當a＝c時等號成立． 所以cos B的最小值為. 6．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、.已知的面積為，，. （1

15、）求a和sinC的值； （2）求的值. 1．若的內(nèi)角所對的邊分別為，已知，且，則等于 A． B． C． D． 2．在中，若tanA·tanB＜1，則該三角形一定是 A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 3．中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c.已知,則A= A． B． C． D． 4．中，，，，則邊上的高等于 A． B． C． D．3 5．在中，D為BC邊上一點，若是等邊三角形，且，則的面積的最大值為. 6．在平面四邊形中，則的取值范圍是． 7．如圖，一輛汽車在一條

16、水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度___________m. 8．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面積為，求的值． 9．在中，角所對的邊分別為，且． （1）求角； （2）若的面積為為的中點，求． 10．如圖所示，在中, 點為邊上一點，且,為的中 點,. （1）求的長； （2）求的面積. 11．在中，的對邊分別為，且成等差數(shù)列．

17、 （1）求的值； （2）求的范圍． 12．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運行的速度為130 m/min，山路AC長為1260 m，經(jīng)測量，. （1）求索道AB的長； （2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短? （3）為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙

18、步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)？ 1．（2017新課標全國Ⅰ文科）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，a=2，c=，則C= A． B． C． D． 2．（2017新課標全國Ⅲ文科）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，則A=_________. 3．（2016上海文科）已知的三邊長分別為3,5,7，則該三角形的外接圓半徑等于_________. 4．（2016新課標全國Ⅱ文科）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，a=1，則b=____________. 5．（

19、2017浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．?點D為AB延長線上一點，BD=2，連結(jié)CD，則△BDC的面積是______，cos∠BDC=_______． 6．（2017山東文科）在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=3,,,求A和a. 7．（2017天津文科）在中，內(nèi)角所對的邊分別為．已知，． （1）求的值； （2）求的值． 變式拓展 1．【解析】（1）由已知，方程的判別式為， 所以或. 由根與系數(shù)的關(guān)系，有，， 于是， 從而， 所以，所以. 則， 所以

20、. 2．【答案】C 3．【解析】（1）因為，，所以由余弦定理，得， 又的面積等于，，所以，整理得， 由解得． （2）利用正弦定理，把化為， 由解得，， 又，則的面積． 4．【解析】（1）在中，由，得，即，，又，∴，即，∵，∴. （2）在中，，， . 又，∴為等腰直角三角形， 則， 又，， 故當時，四邊形的面積有最大值，最大值為. 5．【答案】150 在中，∠MAN＝60°，于是MN＝MA·sin∠MAN＝， 即山高MN＝150 m. 【名師點睛】本題考查了正弦定理的實際運用，考查分析能力，轉(zhuǎn)化能力，空間想象能力，屬于中等題. 注意本題所給圖形是空間圖形.

21、 6．【解析】（1）在中，由，得， 由得，又， 所以，. 由余弦定理得，可得， 由正弦定理得， 所以. （2） . 考點沖關(guān) 1．【答案】C 【解析】由題意知，結(jié)合正弦定理得，即，又，結(jié)合余弦定理，得.選C. 2．【答案】B 【解析】由已知條件，得 說明cosA，cosB，cosC中有且只有一個為負．因此一定是鈍角三角形． 3．【答案】C 【名師點睛】本題主要考查余弦定理的應用、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，是高考?？贾R內(nèi)容.本題難度較小，解答此類問題，注重邊角的相互轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵，本題能較好地考查考生分析問題、解決問題的能力及基本計算能力等. 4．【答案】A

22、 【解析】設角，，所對的邊分別為，，，邊上的高為， 因為，，所以，化簡得，解得. 又，所以由，得.故選A. 5．【答案】 【解析】如圖. 在中，， 整理得， ∴，當且僅當AD=DC時取等號， ∴的面積， ∴的面積的最大值為． 6．【答案】 又，所以． 由則， 所以． 7．【答案】 【解析】依題意，，，在中，由， 得，因為，所以由正弦定理可得，即m. 在中，因為，，所以， 所以m. （2）由三角形的面積公式，得，解得， 由余弦定理，得， 故． 9．【解析】（1）由，得， 由正弦定理可得， 因為，所以，因為，所以． （2）因為，所以

23、為等腰三角形，且頂角， 故，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 在中，由正弦定理可得，即，所以． 10．【解析】（1）在中，, , 由正弦定理,得. （2）由（1）知，依題意得.在中，由余弦定理得 ,即,即,解得（負值舍去）. 故, 從而. （2）因為，所以. . 因為，， 所以， 所以的范圍是． 所以索道AB的長為1040 m. （2）假設乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客的距離為d，此時，甲行走了(100+50t)m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得， 因為，即，所以當時，甲、乙兩游客距離最短. 即乙出發(fā)分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最

24、短. （3）由正弦定理，得． 乙從B出發(fā)時，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，還需走710 m才能到達C. 設乙步行的速度為v m/min，由題意得，解得， 所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在(單位：m/min)范圍內(nèi)． 直通高考 1．【答案】B 【解析】由題意得 ， 即，所以． 由正弦定理得，即， 因為c

25、；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到． 2．【答案】75° 【解析】由正弦定理，得，結(jié)合可得，則. 【名師點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理，結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的.其基本步驟是： 第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向. 第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化. 第三步：求結(jié)果. 3．【答案】 【解析】由已知可設，∴， ∴，∴. 【名師點睛】此類題目是解三角形問

26、題中的典型題目.解答本題，往往要利用三角公式化簡三角恒等式，利用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，達到解題目的；三角形中的求角問題，往往要利用余弦定理用邊表示角的函數(shù).本題較易，主要考查考生的基本運算求解能力等. 4．【答案】 【解析】因為，且為三角形的內(nèi)角，所以，， 又因為，所以. 5．【答案】 ∵，∴， 解得或（舍去）． 綜上可得，△BCD的面積為，． 6．【解析】因為，所以， 又，所以， 因此，又， 所以， 又，所以. 由余弦定理， 得， 所以. 【名師點睛】正、余弦定理是應用極為廣泛的兩個定理,它將三角形的邊和角有機地聯(lián)系起來,從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系,為求與三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和面積等)提供了理論依據(jù),也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)．其主要方法有：化角法,化邊法,面積法,運用初等幾何法．注意體會其中蘊涵的函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想． 【名師點睛】（1）利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”可尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”可尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系可求角，利用兩角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函數(shù)值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高頻考點，常與三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式等相結(jié)合，利用正、余弦定理進行解題． - 29 -