25、 由題意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N，故S2 012＝503×2＝1 006.
二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)
7．根據(jù)下圖5個圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個數(shù)的變化規(guī)律，猜測第n個圖中有________個點(diǎn)．
解析：觀察圖中5個圖形點(diǎn)的個數(shù)分別為1,1×2＋1,2×3＋1，3×4＋1,4×5＋1，故第n個圖中點(diǎn)的個數(shù)為
(n－1)×n＋1＝n2－n＋1.
答案：n2－n＋1
8．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝若a1＝，則a2 013＝________.
解析：因?yàn)閍1＝∈，
所
26、以a2＝2a1－1＝2×－1＝.
因?yàn)閍2＝∈，
所以a3＝2a2－1＝2×－1＝.
因?yàn)閍3＝∈，所以a4＝2a3＝2×＝.
顯然a4＝a1，根據(jù)遞推關(guān)系，逐步代入，得a5＝a2，a6＝a3，…
故該數(shù)列的項(xiàng)呈周期性出現(xiàn)，其周期為3，根據(jù)上述求解結(jié)果，可得a3k＋1＝，a3k＋2＝，a3k＋3＝(k∈N)．
所以a2 013＝a3×671＝a3＝.
答案：
9．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，且an，an＋1是函數(shù)f(x)＝x2－bnx＋2n的兩個零點(diǎn)，則b10＝________.
解析：∵an＋an＋1＝bn，an·an＋1＝2n，
∴an＋1·an＋2＝2n＋
27、1，
∴an＋2＝2an.
又∵a1＝1，a1·a2＝2，∴a2＝2，
∴a2n＝2n，a2n－1＝2n－1(n∈N*)，
∴b10＝a10＋a11＝64.
答案：64
三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)
10．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，對于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3…·an＝n2，求a3＋a5的值．
解：∵a1·a2·a3·…·an＝n2，
∴a1a2＝4，a1a2a3＝9，解得a3＝.
同理a5＝.∴a3＋a5＝.
11．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，分別求它們的通項(xiàng)公式an.
(1)Sn＝2n2＋3n；
(2)Sn＝2n＋1.
28、
解：(1)由題可知，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1.
當(dāng)n＝1時，4×1＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1.
(2)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2＋1＝3，
當(dāng)n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－1.
當(dāng)n＝1時，21－1＝1≠a1，
故an＝
12．已知數(shù)列{an}滿足前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，數(shù)列{bn}滿足bn＝，且前n項(xiàng)和為Tn，設(shè)cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)判斷數(shù)列{cn}的增減性．
29、
解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，
故bn＝
(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1
＝＋＋…＋，
∴cn＋1－cn＝＋－
＝<0.
∴{cn}是遞減數(shù)列．
1．根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：
(1)－1,7，－13,19，…；
(1)0.8,0.88,0.888，…；
(3)，1，，，…；
(4)0,1,0,1，….
解：(1)符號問題可通過(－1)n或(－1)n＋1表示，其各項(xiàng)的絕對值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對值總比前面數(shù)的絕對值大6，故通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5)．
(2)將數(shù)列變形為(1
30、－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…
故an＝.
(3)將數(shù)列統(tǒng)一為，，，，…，對于分子3,5,7，9，…，是序號的2倍加1，可得分子的通項(xiàng)公式為bn＝2n＋1，對于分母2,5,10,17，…，聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16，…，即數(shù)列{n2}，可得分母的通項(xiàng)公式為cn＝n2＋1，
故可得它的一個通項(xiàng)公式為an＝.
(4)an＝或
an＝或an＝.
2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝(n＋1)n(n∈N*)，試問數(shù)列{an}有沒有最大項(xiàng)？若有，求最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒有，說明理由．
解：∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n·，
當(dāng)n<9時，an
31、＋1－an>0，即an＋1>an；
當(dāng)n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
當(dāng)n>9時，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…
∴數(shù)列中有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第9、10項(xiàng)，
即a9＝a10＝.
3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝3x－2的圖象上．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn<對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.
解：(1)依題意得，＝3n－2，即Sn＝3n2－2n.
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－
32、[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5.
所以an＝6n－5(n∈N*)．
(2)由(1)得bn＝
＝＝，
故Tn＝i
＝
＝.
因此，使得<(n∈N*)成立的m必須且僅需滿足≤，即m≥10，故滿足要求的最小正整數(shù)m為10.
4．(2012·浙江高考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足an＝4log2bn＋3，n∈N*.
(1)求an，bn；
(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)由Sn＝2n2＋n，得當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3；
當(dāng)n≥2時，
33、an＝Sn－Sn－1＝4n－1，易知當(dāng)n＝1時也滿足通式an＝4n－1，
所以an＝4n－1，n∈N*.
由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知an·bn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，
所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，
2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，
2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.
故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.
[備考方向要明了]
考 什 么
怎
34、么 考
1.理解等差數(shù)列的概念；
2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；
3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；
4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
1.以選擇題的形式考查等差數(shù)列的基本量及等差數(shù)列性質(zhì)的簡單應(yīng)用，如2012年遼寧T6，北京T10，江西T12等．
2.以解答題的形式考查等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的判定、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)等，如2012年陜西T17等.
[歸納·知識整合]
1．等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這
35、個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達(dá)式為an－an－1＝d(常數(shù))(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)．
2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.亦可以用數(shù)列中的第m項(xiàng)am與公差d表示為an＝am＋(n－m)d.
[探究] 1.已知等差數(shù)列{an}的第m項(xiàng)為am，公差為d，則其第n項(xiàng)an能否用am與d表示？
提示：能，an＝am＋(n－m)d.
3．等差中項(xiàng)
若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有A＝.
4．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
Sn＝na1＋d＝.
36、
[探究] 2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)運(yùn)用了什么方法？
提示：倒序相加法．
3．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式能否看作關(guān)于n的函數(shù)，該函數(shù)是否有最值？
提示：當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的且常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)，則(n，Sn)是二次函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)，由此可得：當(dāng)d>0時，Sn有最小值；當(dāng)d<0時，Sn有最大值．
5．等差數(shù)列的性質(zhì)
已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．
(1)若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，
特別：若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.
(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差數(shù)列，公差為kd.
(3)數(shù)列Sm，S2m－S
37、m，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．
[自測·牛刀小試]
1．(2012·重慶高考)在等差數(shù)列{an}中，a2＝1，a4＝5，則{an}的前5項(xiàng)和S5＝( )
A．7 B．15
C．20 D．25
解析：選B 數(shù)列{an}的公差d＝＝2，則a1＝－1，a5＝7，可得S5＝15.
2．(2012·遼寧高考)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11＝( )
A．58 B．88
C．143 D．176
解析：選B 因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a4＋a8＝2a6＝16?a6＝8，則該數(shù)列的前11項(xiàng)和為S11＝＝11a6＝8
38、8.
3．(教材習(xí)題改編)在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a5＝15，a7＝15，則a2的值為( )
A．－3 B．0
C．1 D．2
解析：選B 由題意知，a2＋a7＝a4＋a5，所以a2＝a4＋a5－a7＝0.
4．(教材習(xí)題改編)已知兩個數(shù)列x，a1，a2，a3，y與x，b1，b2，y都是等差數(shù)列，且x≠y，則的值為________．
解析：∵a2－a1＝(y－x)，b2－b1＝(y－x)，
∴＝.
答案：
5．(教材習(xí)題改編)有兩個等差數(shù)列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，由這兩個等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)
39、列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
解析：兩個等差數(shù)列的公共項(xiàng)為2,14,26，…即新數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為12.
故an＝2＋(n－1)×12＝12n－10.
答案：12n－10
等差數(shù)列的判定與證明
[例1] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝，an＝－2SnSn－1(n≥2)．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求Sn和an.
[自主解答] (1)證明： ∵當(dāng)n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，①
∴Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1.
由上式，若Sn－1≠0，則Sn≠0.
∵S1＝a1≠0，
由遞推關(guān)系知S
40、n≠0(n∈N*)，
由①式得－＝2(n≥2)．
∴是等差數(shù)列，其中首項(xiàng)為＝＝2，公差為2.
(2)∵＝＋2(n－1)＝＋2(n－1)，
∴Sn＝.
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－，
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝不適合上式，
∴an＝
若將條件改為“a1＝2，Sn＝(n≥2)”，如何求解．
解：(1)證明：∵Sn＝，
∴＝＝＋2.
∴－＝2.
∴是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×2＝2n－，
即Sn＝.
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－
＝；
當(dāng)n＝1時，a1＝2不適合an，
故an＝
——————
41、—————————————
等差數(shù)列的判定方法
(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù)；
(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立；
(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an＝pn＋q；
(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn.
注意：在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項(xiàng)法，而通項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷．
1．已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并
42、說明理由．
解：(1)證明：∵an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝，
∴bn＋1－bn＝－＝－
＝－＝1.
又b1＝＝－，
∴數(shù)列{bn}是以－為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)知bn＝n－，則an＝1＋＝1＋，
設(shè)f(x)＝1＋，則f(x)在區(qū)間和上為減函數(shù)．
故當(dāng)n＝3時，an取得最小值－1，當(dāng)n＝4時，an取得最大值3.
等差數(shù)列基本量的計(jì)算
[例2] (1)已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20等于( )
A．－1 B．1
C．3 D．7
(2)(2012·廣東高考)已知
43、遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3＝a－4，則an＝________.
(3)(2012·北京高考)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a1＝，S2＝a3，則a2＝________；Sn＝________.
[自主解答] (1)兩式相減，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋(－34)＝1.
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由已知得即
解得
由于等差數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，因此
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
(3)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則2a1＋d＝a1＋2d，把a(bǔ)1＝代入得d＝，所
44、以a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋d＝n(n＋1)．
[答案] (1)B (2)2n－1 (3)1
———————————————————
等差數(shù)列運(yùn)算問題的通法
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個量，知三可求二，如果已知兩個條件，就可以列出方程組求解，體現(xiàn)了用方程思想解決問題的方法．如果利用等差數(shù)列的性質(zhì)、幾何意義去考慮也可以．
2．已知等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值．
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d(n≥1，n∈N*
45、)．
由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，
解得d＝－2.
從而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)知an＝3－2n，
所以Sn＝＝2n－n2.
進(jìn)而由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，
即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N*，故k＝7為所求結(jié)果.
等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
[例3] 已知在等差數(shù)列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n項(xiàng)和，S10＝S22，
(1)求Sn；
(2)這個數(shù)列的前多少項(xiàng)和最大，并求出這個最大值．
[自主解答] (1)∵S10＝a1＋a2＋…＋a10，
S22＝a1＋a2＋
46、…＋a22，
又S10＝S22，∴a11＋a12＋…＋a22＝0，
即＝0，即a11＋a22＝2a1＋31d＝0.
又a1＝31，∴d＝－2.
∴Sn＝na1＋d＝31n－n(n－1)＝32n－n2.
(2)法一：由(1)知，Sn＝32n－n2＝－(n－16)2＋256，
∴當(dāng)n＝16時，Sn有最大值256.
法二：由(1)知，
(n∈N*)，
解得≤n≤，
∵n∈N*，∴n＝16時，Sn有最大值256.
若將“a1＝31，S10＝S22”改為“a1＝20，S10＝S15”，則n為何值時，Sn取得最大值？
解：法一：∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋d
47、＝15×20＋d，
解得d＝－.
∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋.
∴a13＝0，即當(dāng)n≤12時，an>0，n≥14時，an<0.
∴當(dāng)n＝12或13時，Sn取得最大值，且最大值為
S12＝S13＝12×20＋×＝130.
法二：同法一求得d＝－.
∴Sn＝20n＋·＝－n2＋n
＝－2＋.
∵n∈N*，
∴當(dāng)n＝12或13時，Sn有最大值，
且最大值為S12＝S13＝130.
法三：同法一得d＝－.
又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.
∴5a13＝0，即a13＝0.
∴當(dāng)n＝12或13時，Sn有最大值，
且最大值為S12＝S
48、13＝130.
———————————————————
求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的方法
(1)運(yùn)用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合的思想，從而使問題得解；
(2)通項(xiàng)公式法：求使an≥0(an≤0)成立時最大的n值即可．一般地，等差數(shù)列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，則
①若p＋q為偶數(shù)，則當(dāng)n＝時，Sn最大；
②若p＋q為奇數(shù)，則當(dāng)n＝或n＝時，Sn最大．
3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范圍；
(2)指出S1，S2，…，S12中，哪一個最大，并
49、說明理由．
解：(1)設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為a1，公差為d，由題意可得，
將a1＝a3－2d＝12－2d代入，得
即－0，
∴a7<0，a6>0.∴前6項(xiàng)和S6最大．
等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
[例4] (1)(2013·江門模擬)等差數(shù)列{an
50、}前17項(xiàng)和S17＝51，則a5－a7＋a9－a11＋a13等于( )
A．3 B．6
C．17 D．51
(2)等差數(shù)列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，則前9項(xiàng)的和S9等于( )
A．66 B．99
C．144 D．297
[自主解答] (1)由于S17＝×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)a5＋a13＝a7＋a11，
所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.
(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)及a1＋a4＋a7＝39，可得3a4＝39，所以a4＝13.同理，由a3＋a6＋a9＝27，可得a6＝
51、9.
所以S9＝＝＝99.
[答案] (1)A (2)B
———————————————————
在等差數(shù)列有關(guān)計(jì)算問題中，結(jié)合整體思想，靈活應(yīng)用性質(zhì)，可以減少運(yùn)算量，達(dá)到事半功倍的效果.
4．(1)(2013·山西四校聯(lián)考)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，則此數(shù)列前20項(xiàng)的和等于( )
A．290 B．300
C．580 D．600
(2)(2012·江西高考)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝________.
解析：(1)選B 依題意得3(a1＋a20)＝9
52、0，即a1＋a20＝30，數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的和等于＝300.
(2)法一：設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，因?yàn)閍3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7.所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
法二：∵2a3＝a1＋a5,2b3＝b1＋b5，
∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1)
＝2×21－7＝35.
答案：35
1個技巧——利用等差數(shù)列的性質(zhì)妙設(shè)項(xiàng)
若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)中間三項(xiàng)為a－d，a，a＋d；
若偶數(shù)個數(shù)成等
53、差數(shù)列，可設(shè)中間兩項(xiàng)為a－d，a＋d，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對稱設(shè)元．
2種選擇——等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的選擇
等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩個，如果已知項(xiàng)數(shù)n、首項(xiàng)a1和第n項(xiàng)an，則利用Sn＝，該公式經(jīng)常和等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合應(yīng)用．如果已知項(xiàng)數(shù)n、首項(xiàng)a1和公差d，則利用Sn＝na1＋，在求解等差數(shù)列的基本運(yùn)算問題時，有時會和通項(xiàng)公式結(jié)合使用．
3個結(jié)論——等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的幾個結(jié)論
(1)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n，則①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd，
＝.
(2)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n＋1，則①S2n＋
54、1＝(2n＋1)an＋1；②＝.
(3)在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，則滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值Sm.
4種方法——等差數(shù)列的判斷方法
①定義法；②等差中項(xiàng)法；③通項(xiàng)公式法；④前n項(xiàng)和公式法.
數(shù)學(xué)思想——整體思想在數(shù)列中的應(yīng)用
利用整體思想解數(shù)學(xué)問題，就是從全局著眼，由整體入手，把一些彼此獨(dú)立但實(shí)際上緊密聯(lián)系的量作為一個整體考慮的方法．有不少數(shù)列題，其首項(xiàng)、公差無法確定或計(jì)算繁瑣，對這類問題，若從整體考慮，往往可尋得簡捷的解題途徑．
[典例] (2013·鹽城模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的
55、前n項(xiàng)和Sn＝m，前m項(xiàng)和Sm＝n(m≠n)則它的前m＋n項(xiàng)的和Sm＋n＝________.
[解析] 法一：設(shè){an}的公差為d，
則由Sn＝m，Sm＝n，
得
②－①得(m－n)a1＋·d＝n－m，
∵m≠n，∴a1＋d＝－1.
∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋d
＝(m＋n)＝－(m＋n)．
法二：設(shè)Sn＝An2＋Bn(n∈N*)，
則
③－④得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m.
∵m≠n，∴A(m＋n)＋B＝－1.
∴A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)，
即Sm＋n＝－(m＋n)．
[答案] －(m＋n)
1．本題的兩種解法都突出了整體思想，
56、其中法一把a(bǔ)1＋d看成了一個整體，法二把A(m＋n)＋B看成了一個整體，解起來都很方便．
2．整體思想是一種重要的解題方法和技巧，這就要求學(xué)生要掌握公式，理解其結(jié)構(gòu)特征．
3．本題的易錯點(diǎn)是，不能正確運(yùn)用整體思想的運(yùn)算方法，不能建立數(shù)量間的關(guān)系，導(dǎo)致錯誤．
1．等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若＝，則＝( )
A. B.
C. D.
解析：選B?。剑剑剑剑?
2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知其前6項(xiàng)和為36，Sn＝324，最后6項(xiàng)的和為180(n>6)，求該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n及a9＋a10.
解：由題意知a1＋a2＋a
57、3＋a4＋a5＋a6＝36，
an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＋an－5＝180，
∴6(a1＋an)＝36＋180＝216.
∴a1＋an＝36.
又Sn＝324，∴＝324，
即n＝＝18.
∴a9＋a10＝a1＋a18＝36.
一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
1．已知{an}是等差數(shù)列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，則該數(shù)列的公差是( )
A．4 B．14
C．－4 D．－14
解析：選A 因?yàn)閍3＋a9＝4a5，所以根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a6＝2a5.所以a1＋5d＝2a1＋8d，即a1＋3d
58、＝0.又a2＝－8，即a1＋d＝－8，所以公差d＝4.
2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S17＝a，則a2＋a9＋a16等于( )
A. B.
C. D．－
解析：選C ∵S17＝＝a，
∴17a9＝a，a9＝.∴a2＋a9＋a16＝3a9＝.
3．(2013·秦皇島模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝( )
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：選D 依題意得Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2a1＋(2k＋1)d＝2(2k＋1)＋2＝24，解得k＝5.
4．已知{an}為等差數(shù)列
59、，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是( )
A．21 B．20
C．19 D．18
解析：選B ∵a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，
∴3a3＝105,3a4＝99，即a3＝35，a4＝33.
∴a1＝39，d＝－2，得an＝41－2n.
令an>0且an＋1<0，n∈N*，則有n＝20.
5．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S1＝1，＝4，則的值為( )
A. B.
C. D．4
解析：選A 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S2，S4－S2，S6－S4成等差數(shù)列，由＝4
60、得＝3，則S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝.
6．(2013·玉溪模擬)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，則a8＝( )
A．0 B．3
C．8 D．11
解析：選B 因?yàn)閧bn}是等差數(shù)列，且b3＝－2，b10＝12，
故公差d＝＝2.于是b1＝－6，
且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8.
所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.
二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)
61、
7．等差數(shù)列{an}中a1＝1，前n項(xiàng)和Sn滿足＝4，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________.
解析：設(shè)公差為d，則由＝4得＝4.
又∵a1＝1，∴d＝2.
∴Sn＝na1＋＝n＋n(n－1)＝n2.
答案：n2
8．已知等差數(shù)列{an}中，an≠0，若n>1且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，則n等于________．
解析：∵2an＝an－1＋an＋1，
又an－1＋an＋1－a＝0，
∴2an－a＝0，即an(2－an)＝0.
∵an≠0，∴an＝2.
∴S2n－1＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.
答案：10
9．(2013·南京模擬
62、)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若(a2－1)3＋2 012(a2－1)＝1，(a2 011－1)3＋2 012·(a2 011－1)＝－1，則下列四個命題中真命題的序號為________．
①S2 011＝2 011；②S2 012＝2 012；③a2 0110，f(1)＝2 013>1知f(1)>f(a2－1)，故a2－1<1即a2<2又f(a2－1)＝－f(a2 011－1)＝1，故a2 011
63、12＝×2 012＝2 012，S2 011＝S2 012－a2 012＝2 012－(2－a2＋d)＝2 010＋a1>a1＋a2＝S2，又假設(shè)S2 011＝2 011，則a1＝1，a2 011＝1矛盾．
綜上，正確的為②③.
答案：②③
三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)
10．設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6＋15＝0.
(1)若S5＝5，求S6及a1；
(2)求d的取值范圍．
解：(1)由題意知S6＝－＝－3，a6＝S6－S5＝－8，
所以解得a1＝7.
所以S6＝－3，a1＝7.
(2)因?yàn)镾
64、5S6＋15＝0，
所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.
故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.
故d的取值范圍為d≤－2或d≥2.
11．已知等差數(shù)列{an}中，公差d>0，前n項(xiàng)和為Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)令bn＝(n∈N*)，是否存在一個非零常數(shù)c，使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請說明理由．
解：(1)由題設(shè)，知{an}是等差數(shù)列，且公差d>0，則由得解得
故an＝4n－3(n∈N*)．
(2)由bn＝＝＝.
∵c≠0
65、，∴可令c＝－，得到bn＝2n.
∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，
∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列．
即存在一個非零常數(shù)c＝－，使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列．
12．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn滿足關(guān)系式2Sn＝Sn－1－n－1＋2(n≥2，n為正整數(shù))，a1＝.
(1)令bn＝2nan，求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)在(1)的條件下，求Sn的取值范圍．
解：(1)由2Sn＝Sn－1－n－1＋2，得2Sn＋1＝Sn－n＋2，兩式相減得2an＋1＝an＋n，
上式兩邊同乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即
66、bn＋1＝bn＋1，所以bn＋1－bn＝1，故數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，
且公差為1.又因?yàn)閎1＝2a1＝1，所以bn＝1＋(n－1)×1＝n.因此2nan＝n，從而an＝n·n.
(2)由于2Sn＝Sn－1－n－1＋2，所以2Sn－Sn－1＝2－n－1，即Sn＋an＝2－n－1.
Sn＝2－n－1－an，而an＝n·n，所以Sn＝2－n－1－n·n＝2－(n＋2)·n.
所以Sn＋1＝2－(n＋3)·n＋1，且Sn＋1－Sn＝＞0.所以Sn≥S1＝，又因?yàn)樵赟n＝2－(n＋2)·n中，(n＋2)·n＞0，故Sn＜2，
即Sn的取值范圍是.
1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q為常數(shù))．
(1)當(dāng)p和q滿足什么條件時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列？
(2)求證：對任意實(shí)數(shù)p和q，數(shù)列{an＋1－an}是等差數(shù)列．
解：(1)an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，要使{an}是等差數(shù)列，則2pn＋p＋q應(yīng)是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以2p＝0，即p＝0.
故當(dāng)p＝0時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2014高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列的概念及簡單的表示方法訓(xùn)練 理 新人教A版
