第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 問(wèn)題與習(xí)題解答

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1、10級(jí)應(yīng)用數(shù)學(xué)本1、2班《普通物理（含實(shí)驗(yàn)）B》 第五版 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 問(wèn)題與習(xí)題解答 問(wèn)題：4-2、4-5、4-9 4-2 如果一個(gè)剛體所受合外力為零，其合力矩是否也一定為零？如果剛體所受合外力矩為零，其合外力是否也一定為零？ 答： 一個(gè)剛體所受合外力為零，其合力矩不一定為零，如圖a所示。剛體所受合外力矩為零，其合外力不一定為零，例如圖b所示情形。 4-5 為什么質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的改變不僅與外力有關(guān)，而且也與內(nèi)力有關(guān)，而剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的改變只與外力矩有關(guān)，

2、而與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)？ 答： 因?yàn)楹贤饬?duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功，等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量；而質(zhì)點(diǎn)系中內(nèi)力一般也做功，故內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能的增量有貢獻(xiàn)。而在剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，任何一對(duì)內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩皆為一對(duì)大小相等、方向相反的力矩，且因定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體轉(zhuǎn)過(guò)的角度都一樣，故其一對(duì)內(nèi)力矩所作的功，其內(nèi)力功總和也為零，因而根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理可知：內(nèi)力矩對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量無(wú)貢獻(xiàn)。 4-9 一人坐在角速度為的轉(zhuǎn)臺(tái)上，手持一個(gè)旋轉(zhuǎn)的飛輪，其轉(zhuǎn)軸垂直地面，角速度為。如果突然使飛輪的轉(zhuǎn)軸倒轉(zhuǎn)，將會(huì)發(fā)生什么情況？設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)和人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。 答： （假設(shè)人坐在轉(zhuǎn)臺(tái)中央，且飛輪的轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)軸重合

3、）視轉(zhuǎn)臺(tái)、人和飛輪為同一系統(tǒng)。 （1）如開(kāi)始時(shí)飛輪的轉(zhuǎn)向與轉(zhuǎn)臺(tái)相同，則系統(tǒng)相對(duì)于中心軸的角動(dòng)量為： 飛輪轉(zhuǎn)軸快速倒轉(zhuǎn)后，飛輪的角速度大小還是，但方向與原來(lái)相反；如設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)此時(shí)的角速度為，則系統(tǒng)的角動(dòng)量為： 在以上過(guò)程中，外力矩為零，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，所以有： 即 ，轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速變大了。 （2）如開(kāi)始時(shí)飛輪的轉(zhuǎn)向與轉(zhuǎn)臺(tái)相反，則系統(tǒng)相對(duì)于中心軸的角動(dòng)量為： 飛輪轉(zhuǎn)軸快速倒轉(zhuǎn)后，飛輪的角速度大小還是，但方向與原來(lái)相反；如設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)此時(shí)的角速度為，則系統(tǒng)的角動(dòng)量為： 在以上過(guò)程中，外力矩為零，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，所以有： 即 ，轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速變慢了。

4、 習(xí)題：4-1、4-2、4-3、4-4、4-5、（選擇題） 4-11、4-14、4-15、4-17、4-27、4-30、4-34 4-1 有兩個(gè)力作用在一個(gè)有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上： （1）這兩個(gè)力都平行于軸作用時(shí)，它們對(duì)軸的合力矩一定是零； （2）這兩個(gè)力都垂直于軸作用時(shí)，它們對(duì)軸的合力矩可能是零； （3）當(dāng)這兩個(gè)力的合力為零時(shí)，它們對(duì)軸的合力矩也一定是零； （4）當(dāng)這兩個(gè)力對(duì)軸的合力矩為零時(shí)，它們的合力也一定是零。 對(duì)上述說(shuō)法，下述判斷正確的是（ B ） （A）只有（1）是正確的 （B）（1）、（2）正確，（3）、（4）錯(cuò)誤

5、（C）（1）、（2）、（3）都正確，（4）錯(cuò)誤 （D）（1）、（2）、（3）、（4）都正確 4-2 關(guān)于力矩有以下幾種說(shuō)法： （1）對(duì)某個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體而言，內(nèi)力矩不會(huì)改變剛體的角加速度； （2）一對(duì)作用力和反作用力對(duì)同一軸的力矩之和必為零； （3）質(zhì)量相等、形狀和大小不同的兩個(gè)剛體，在相同力矩的作用下，它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一定相同。 對(duì)上述說(shuō)法，下述判斷正確的是（ B ） （A）只有（2）是正確的 （B）（1）、（2）是正確的 （C）（2）、（3）是正確的 （D）（1）、（2）、（3）都是正確的

6、 4-3 均勻細(xì)棒OA可繞通過(guò)其一端O而與棒垂直的水平固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。今使棒從水平位置由靜止開(kāi)始自由下落，在棒擺到豎直位置的過(guò)程中，下述說(shuō)法正確的是（ C ） （A）角速度從小到大，角加速度不變 （B）角速度從小到大，角加速度從小到大 （C）角速度從小到大，角加速度從大到小 （D）角速度不變，角加速度為零 4-4 一圓盤(pán)繞通過(guò)盤(pán)心且垂直于盤(pán)面的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸間摩擦不計(jì)。如圖射來(lái)兩個(gè)質(zhì)量相同、速度大小相同、方向相反并在一條直線上的子彈，它們同時(shí)射入圓盤(pán)并且留在盤(pán)內(nèi)，在子彈射入后的瞬間，對(duì)于圓盤(pán)和子彈系統(tǒng)的角動(dòng)量L以及圓盤(pán)的角速度則有（ C

7、 ） 4-3圖 4-4圖 （A）L不變，增大 （B）兩者均不變 （C）L不變，減小 （D）兩者均不確定 4-5 假設(shè)衛(wèi)星環(huán)繞地球中心作橢圓運(yùn)動(dòng)，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，衛(wèi)星對(duì)地球中心的（ B ） （A）角動(dòng)量守恒，動(dòng)能守恒 （B）角動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒 （C）角動(dòng)量不守恒，機(jī)械能守恒 （D）角動(dòng)量不守恒，動(dòng)量也不守恒 （E）角動(dòng)量守恒，動(dòng)量也守恒

8、 4-11 用落體觀測(cè)法測(cè)定飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是將半徑為的飛輪支承在點(diǎn)上，然后在繞過(guò)飛輪的繩子的一端掛一質(zhì)量為的重物，令重物以初速度為零下落，帶動(dòng)飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)（如圖）。記下重物下落的距離和時(shí)間，就可算出飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。試寫(xiě)出它的計(jì)算式。（假設(shè)軸承間無(wú)摩擦） 解： （方法一）如圖，設(shè)繩子張力為,則根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有： 而對(duì)m來(lái)說(shuō)，根據(jù)牛頓定律，有： 另有： 由上三式解出： ， m作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，故下落的時(shí)間t和距離h的關(guān)系為： ， 即： 所以，飛輪的

9、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： （方法二）根據(jù)能量守恒定律，將地球、飛輪和m視為同一系統(tǒng)，且設(shè)m開(kāi)始下落的位置為重力勢(shì)能的零勢(shì)能點(diǎn)， 則有： 另有： ，，， 故解出： 4-14 質(zhì)量為和的兩物體A、B分別懸掛在如圖所示的組合輪兩端。設(shè)兩輪的半徑分別為和，兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為和，輪與軸承間、繩索與輪間的摩擦力均略去不計(jì)，繩的質(zhì)量也略去不計(jì)。試求兩物體的加速度和繩的張力。 解： A、B及組合輪的受力情況

10、如右圖所示，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律及剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得： 又因?yàn)椋? 聯(lián)立求解，得： ， ， 4-15 如圖所示裝置，定滑輪的半徑為，繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，滑輪兩邊分別懸掛質(zhì)量為和的物體A、B。A置于傾角為的斜面上，它和斜面間的摩擦因數(shù)為，若B向下作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，求：（1）其下落的加速度大??；（2）滑輪兩邊繩子的張力。（設(shè)繩的質(zhì)量及伸長(zhǎng)均不計(jì)，繩與滑輪間無(wú)滑動(dòng)，滑輪軸光滑） 解： 用隔離法分析A、B和定滑輪的受力，如圖（b）所示。 由牛頓定律和剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得： ， ， , 而由于繩子不可伸長(zhǎng)，故有： ， 聯(lián)立上幾式，可得：

11、 ， 4-17 一半徑為、質(zhì)量為的勻質(zhì)圓盤(pán)，以角速度繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)將它平放在一水平板上，盤(pán)與板表面的摩擦因數(shù)為。（1）求圓盤(pán)所受的摩擦力矩；（2）問(wèn)經(jīng)多少時(shí)間后，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)才停止？ 解： （1）取面元dS為細(xì)圓環(huán)，， 所受摩擦力矩的大小為 ， 所以， （2）由角動(dòng)量定理，得： ， 而 ，所以，有： 4-27 一質(zhì)量為1.12kg，長(zhǎng)為1.0m的均勻細(xì)棒，支點(diǎn)在棒的上端點(diǎn)，開(kāi)始時(shí)棒自由懸掛。當(dāng)以100N的力打擊它的下端點(diǎn)，打擊時(shí)間為0.02s時(shí)，（1）若打擊前棒是靜止的，求打擊時(shí)其角動(dòng)量的變化；（2）求棒的最大偏轉(zhuǎn)角。 解： （

12、1）設(shè)打擊后細(xì)棒獲得的初角速度為，由角動(dòng)量定理，得： ， 求得 所以， ； （2）細(xì)棒的上擺過(guò)程，機(jī)械能守恒： ， 解得： 4-30 如圖所示，一質(zhì)量為的小球由一繩索系著，以角速度在無(wú)摩擦的水平面上，繞以半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。如果在繩的另一端作用一豎直向下的拉力，小球則以半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。試求：（1）小球新的角速度；（2）拉力所作的功。 解： （1）因?yàn)橹赶蜣D(zhuǎn)軸O點(diǎn)，故其力不產(chǎn)生力矩，則根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，有： , 即 ， 解得： ； （2）由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理，得其拉力所作的功為： 4-34 如圖所示，有一空心圓環(huán)可繞豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，環(huán)的半徑為，初始的角速度為，今有一質(zhì)量為的小球靜止在環(huán)內(nèi)A點(diǎn)，由于微小擾動(dòng)使小球向下滑動(dòng)。問(wèn)小球到達(dá)B、C點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度與小球相對(duì)于環(huán)的速度各為多少？（假設(shè)環(huán)內(nèi)壁光滑。） 解： 取環(huán)、小球?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)，重力與轉(zhuǎn)軸平行，合外力矩為零，故根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，有： ， 取環(huán)、小球和地球?yàn)橥幌到y(tǒng)， 根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律，得： （或： ， 為m在B點(diǎn)的速率。） 解出此時(shí)環(huán)的角速度為： 小球相對(duì)于環(huán)的線速度為： 同理，小球在C點(diǎn)時(shí)，有： ， 解出： ， 7