精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案：第一章 2 第一課時 排列與排列數(shù)公式 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 第一課時　排列與排列數(shù)公式 排列的概念 [例1]　下列哪些問題是排列問題： (1)從10名學(xué)生中選2名學(xué)生開會共有多少種不同的選法？ (2)從2,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相乘共能得幾個不同的乘積？ (3)以圓上的10個點(diǎn)為端點(diǎn)作弦可作多少條不同的弦？ (4)10個車站，站與站間的車票種數(shù)有多少？ [思路點(diǎn)撥]　判斷是否為排列問題的關(guān)鍵是選出的元素在被安排時，是否與順序有關(guān)． [精解詳析]　(1)選2名同學(xué)開會沒有順序，不是排列問題． (2)兩個數(shù)相乘，與這兩個數(shù)的順序無關(guān)，不是排列問題． (3)弦的端點(diǎn)沒有先后順序，不是

2、排列問題． (4)車票使用時，有起點(diǎn)和終點(diǎn)之分，故車票的使用是有順序的，是排列問題． [一點(diǎn)通]　判定是不是排列問題，要抓住排列的本質(zhì)特征，第一取出的元素?zé)o重復(fù)性，第二選出的元素必須與順序有關(guān)才是排列問題．元素相同且排列順序相同才是相同的排列．元素有序還是無序是判定是否為排列問題的關(guān)鍵． 1．下列命題， ①abc和bac是兩個不同的排列；②從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排，所有的站法有6種；③過不共線的三點(diǎn)中的任兩點(diǎn)所作直線的條數(shù)為6. 其中為真命題的是(　　) A．①②　　　　　　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ 答案：A 2．判斷下列問題是不是排列，若是，寫出所

3、有排列． (1)從張紅、李明、趙華三人中選出兩人去參加數(shù)學(xué)競賽有幾種不同選法？ (2)從(1)中的三人中選出兩人分別去參加物理競賽和數(shù)學(xué)競賽有幾種不同選法？ (3)從a，b，c，d，e中取出兩個字母有幾種取法？ 解：(1)不是排列問題，因?yàn)檫x出兩人參加數(shù)學(xué)競賽與順序無關(guān)． (2)是排列問題，因?yàn)檫x出甲、乙兩人參加競賽，甲參加物理，乙參加數(shù)學(xué)，與甲參加數(shù)學(xué)，乙參加物理是不同的結(jié)果，即與順序有關(guān)． 不同排列為張紅　李明；李明　張紅；張紅　趙華；趙華　張紅；李明　趙華；趙華　李明． (3)不是排列問題，因?yàn)槿〕龅膬蓚€字母與順序無關(guān)． 列舉法解決排列問題 [例2]　從1,2,

4、3,4這4個數(shù)字中，每次取出3個不同數(shù)字排成一個三位數(shù)，寫出所得到的所有三位數(shù)． [思路點(diǎn)撥]　可按順序分步解決，然后利用樹形圖列出所有的排列． [精解詳析]　畫出下列樹形圖，如下圖． 由上面的樹形圖知，所有的三位數(shù)為： 123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.共24個三位數(shù)． [一點(diǎn)通]　在“樹形圖”操作中，先將元素按一定順序排出，然后以安排哪個元素在首位為分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類，在每類中再按余下元素在前面元素不變的情況下定第二位并

5、按順序分類，依次一直進(jìn)行到完成一個排列，這樣就能不重不漏地依照“樹形圖”寫出所有排列． 3．由1,2,3三個數(shù)字可組成________個不同數(shù)字的三位數(shù)． 解析：三位數(shù)有123,132,213,231,312,321共6個． 答案：6 4．A，B，C，D四名同學(xué)排成一行照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，試寫出所有排列方法． 解：因?yàn)锳不排第一，排第一位的情況有3類(可以B，C，D中任選一人排)，而此時兼顧分析B的排法，列樹形圖如圖． 所以符合題意的所有排列是： BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，D

6、ABC，DBAC，DBCA，DCBA. 排列數(shù)的計算 [例3]　(12分)計算下列各題： (1)A；(2)；(3). [思路點(diǎn)撥]　對(1)(2)，直接用排列數(shù)的連乘形式公式計算；對(3)，可利用排列數(shù)階乘形式的公式證明． [精解詳析]　(1)A＝10×9×8＝720.(4分) (2)＝ ＝＝＝.(8分) (3)＝·(n－m)！·＝1.(12分) [一點(diǎn)通]　(1)排列數(shù)的第一個公式A＝n(n－1)…(n－m＋1)適用于具體計算以及解當(dāng)m較小時的含有排列數(shù)的方程和不等式．在運(yùn)用該公式時要注意它的特點(diǎn)：從n起連續(xù)寫出m個數(shù)的乘積即可． (2)排列數(shù)的第二個公式A

7、＝適用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式等． 5．已知A＝7A，則n的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．2 解析：由排列數(shù)公式，得n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，n∈N＋. ∴3n2－31n＋70＝0，解得n＝7或n＝(舍)． 答案：B 6．若A＝10×9×…×5，則m＝________. 解析：由排列數(shù)公式，得m＝6. 答案：6 7．計算：＝________. 解析：法一： 原式＝ ＝＝＝1. 法二：原式＝＝＝＝1. 答案：1 8．(1)解方程A＝140A； (2)解不等式：A<6A. 解：(1)∵∴x≥3，x∈N＋， 由A

8、＝140A得 (2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)， 化簡得，4x2－35x＋69＝0， 解得，x1＝3或x2＝(舍)，∴方程的解為x＝3. (2)由得3≤x≤6，且x∈N＋. 又A<6A ?<6· ?(8－x)(7－x)<6 ?x2－15x＋50<0 ?(x－10)(x－5)<0 ?5

9、　　　　　　 B．323 C．320 D．348 解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. 答案：D 2.等于(　　) A. B. C. D. 解析：＝＝. 答案：C 3．設(shè)a∈N＋，且a<27，則(27－a)(28－a)·…·(34－a)等于(　　) A．A B．A C．A D．A 解析：8個括號里面是連續(xù)的自然數(shù)，依據(jù)排列數(shù)的概念，選D. 答案：D 4．若從4名志愿者中選出2人分別從事翻譯、導(dǎo)游兩項(xiàng)不同工作，則選派方案共有(　　) A．16種 B．6種 C．15種 D．12種 解析：4名志愿者分別記作甲、乙、丙、丁，則選派

10、方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A＝12種方案． 答案：D 5．已知9?。?62 880，那么A＝________. 解析：A＝＝＝181 440. 答案：181 440 6．給出下列問題： ①從1,3,5,7這四個數(shù)字中任取兩數(shù)相乘，可得多少個不同的積？ ②從2,4,6,7這四個數(shù)字中任取兩數(shù)相除，可得多少個不同的商？ ③有三種不同的蔬菜品種，分別種植在三塊不同的試驗(yàn)田里，有多少種不同的種植方法？ ④有個頭均不相同的五位同學(xué)，從中任選三位同學(xué)按左高右低的順序并排站在一排照相，有多少種不同的站法？ 上述問題中，是排列問題

11、的是________．(填序號) 解析：對于①，任取兩數(shù)相乘，無順序之分，不是排列問題；對于②，取出的兩數(shù)，哪一個作除數(shù)，哪一個作被除數(shù)，其結(jié)果不同，與順序有關(guān)，是排列問題；對于③，三種不同的蔬菜品種任一種種植在不同的試驗(yàn)田里，結(jié)果不同，是排列問題；對于④，選出的三位同學(xué)所站的位置已經(jīng)確定，不是排列問題． 答案：②③ 7．(1)計算； (2)解方程3A＝4A. 解：(1)原式＝＝＝＝. (2)由3A＝4A，得＝，化簡， 得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 又∵x≤8，且x－1≤9，∴原方程的解是x＝6. 8．從語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4本書中任意取出3本分給甲

12、、乙、丙三人，每人一本，試將所有不同的分法列舉出來． 解：從語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4本書中任意取出3本，分給甲、乙、丙三人，每人一本，相當(dāng)于從4個不同的元素中任意取出3個元素，按“甲、乙、丙”的順序進(jìn)行排列，每一個排列就對應(yīng)著一種分法，所以共有A＝4×3×2＝24種不同的分法． 不妨給“語文、數(shù)學(xué)、英語、物理”編號，依次為1,2,3,4號，畫出下列樹形圖： 由樹形圖可知，按甲乙丙的順序分的分法為： 語數(shù)英　語數(shù)物　語英數(shù)　語英物　語物數(shù)　語物英 數(shù)語英　數(shù)語物　數(shù)英語　數(shù)英物　數(shù)物語　數(shù)物英 英語數(shù)　英語物　英數(shù)語　英數(shù)物　英物語　英物數(shù) 物語數(shù)　物語英　物數(shù)語　物數(shù)英　物英語　物英數(shù)