專題17 空間向量及應(yīng)用（教師版） 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題,高中數(shù)學(xué)課件,數(shù)學(xué)課件,數(shù)學(xué),課件

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1、專題17 空間向量及應(yīng)用高考在考什么【考題回放】1在正方體A1B1C1D1-ABCD中，M、N分別是棱A1A和B1B的中點(diǎn)，若為直線CM與D1N所成的角，則sin等于 （ ）A B C D2直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=900,AC=AA1=a，則點(diǎn)A到平面A1BC的距SACBD離是（ C ）A a Ba C Da3如圖，正四面體S-ABC中，D為SC的中點(diǎn)，則BD與SA所成角的余弦值是（ C ）A B C D4在正三棱錐P-ABC中，M、N分別是側(cè)棱PB、PC的中點(diǎn)，若截面AMN側(cè)面PBC，則此三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值是（ C ）A B C D 5在直三棱柱ABC-A1B1

2、C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直線B1C與平面ABC成300角，則二面角B-B1C-A的正弦值。6在三棱錐SABC中，ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)。（1）證明：ACSB； （2）求二面角NCMB的大小； （3）求點(diǎn)B到平面CMN的距離【專家解答】（1）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OS、OB SA=SC，AB=BC，ACSO且ACBO平面SAC平面ABC， SO面ABC， SOBO如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz則A（2，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），M(1，0)，N(0，) =（4，0，0），=

3、（0，2，2），=（4，0，0）（0，2，2）=0， ACSB（2）由（1）得=（3，0），=（1，0，）設(shè)n=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量， n=(，1)，又=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量， cos(n，)=二面角NCMB的大小為arccos（3）由(1)(2)得=(1,0)，n=(,1)為平面CMN的一個法向量 點(diǎn)B到平面CMN的距離d=高考要考什么【考點(diǎn)透視】用空間向量可以解決的立體幾何問題有：1利用兩個向量共線和共面定理,可證明有關(guān)線線平行,線面平行,面面平行問題2利用兩個向量垂直的充要條件可以證明有關(guān)線線,線面,面面垂直問題3利用兩個向量的夾角公式可以求解有關(guān)角的

4、問題4利用向量的模及向量在單位向量上的射影可以求解有關(guān)的距離問題【熱點(diǎn)透析】空間向量解立體幾何問題的基本步驟是：1建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； 2確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)； 3求平面的法向量； 4利用公式求答案。突破重難點(diǎn)【范例1】如圖, 在直三棱柱中，,點(diǎn)為的中點(diǎn)()求證;() 求證：平面;()求異面直線與所成角的余弦值解： 直三棱錐底面三邊長 ，兩兩垂直如圖建立坐標(biāo)系，則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0) (),()設(shè)與的交點(diǎn)為E，則E(0,2,2)， () 異面直線與所成角的余弦值為【點(diǎn)晴】在具有三維直角的立體幾何題中常使用空間向量

5、方法，證明線面垂直即證明直線的方向向量與平面的法向量平行，另外注意異面直線所成角為銳角?！疚摹咳鐖D，在三棱錐PABC中，ABBC，ABBCPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP底面ABC () 求證平面 () 求直線與平面PBC所成角的大??； 解析 （1） ?！军c(diǎn)晴】注意空間坐標(biāo)系的選取，證明線面平行即證明直線的方向向量與平面的法向量垂直，另外注意線面所成的角與直線方向向量和法向量所成角的關(guān)系。【范例2】如圖，以正四棱錐VABCD底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中Ox/BC，Oy/ABE為VC中點(diǎn)，正正四棱錐底面邊長為2a，高為h（）求（）記面BCV為，面DCV為，若BE

6、D是二面角VC的平面角，求BED解：（I）由題意知B(a，a，0)，C(a，a，0)，D(a，a，0)，E 由此得 （II）若BED是二面角VC的平面角，則，即有=0 又由C（a，a，0），V（0，0，h），有且 即這時(shí)有 【點(diǎn)晴】本小題主要考查應(yīng)用向量知識解決立體幾何的能力，注意面面所成角與兩法向量所成角的關(guān)系?！疚摹咳鐖D，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=1，CB=，側(cè)棱AA1=1,側(cè)面AA1B1B的兩條對角線交點(diǎn)為D，B1C1的中點(diǎn)為M。求證：(1)CD平面BDM；(2) 求面B1BD與面CBD所成二面角的大小。解：以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。(1),則，A1B、DM為平面BD

7、M內(nèi)兩條相交直線，CD平面BDM。(2) 設(shè)BD的中點(diǎn)為G,連結(jié)B1G, 則，的夾角等于所求二面角的平面角. 所以所求的二面角等于【點(diǎn)晴】本小題坐標(biāo)系的建立容易想到，用直線與平面內(nèi)兩不共線向量垂直來證明線面垂直是根據(jù)立體幾何的判定定理，另注意面面所成角與兩法向量所成角間的轉(zhuǎn)換?！痉独?】如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為1，M是底面BC邊上的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)，且CN2C1N（）求二面角B1AMN的平面角的余弦值；（）求點(diǎn)B1到平面AMN的距離。解（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則(0,0,1)，M（0，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A (

8、)，所以,因?yàn)樗?同法可得。故為二面角AMN的平面角故二面角AMN的平面角的余弦值為。（）設(shè)n=(x, y, z)為平面AMN的一個法向量，則由得, 故可取設(shè)與n的夾角為a，則。所以到平面AMN的距離為。QBCPAD【點(diǎn)晴】本小題坐標(biāo)系的建立有點(diǎn)特殊，同學(xué)們可試在另外坐標(biāo)系下的方法。注意如何使用向量形式下求各種立體幾何中距離的問題，考查應(yīng)用向量解決數(shù)學(xué)問題的能力.【文】如圖，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高都是2，AB=4 ()證明PQ平面ABCD； ()求異面直線AQ與PB所成的角； ()求點(diǎn)P到平面QAD的距離解：（）連結(jié)AC、BD，設(shè)由PABCD與QABCD都是正四棱錐，

9、所以PO平面ABCD，QO平面ABCD從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上，所以PQ平面ABCD（）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以ACBD 由（），QO平面ABCD 故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），QBCPADzyxO由題條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，2），B（0，0）所以故直線AQ與PB所成的角是()由（），點(diǎn)D（0，0），設(shè)是平面QAD的一個法向量，由得取x=1，得所以點(diǎn)P到平面QAD的距離【點(diǎn)晴】本小題坐標(biāo)系的建立還可以與ABCD的邊平行，同學(xué)們不妨一試。注意如何使用向量形式下求各種距離的問題，其中求法向量

10、向量解決幾何問題的關(guān)鍵?！痉独?】如圖，在棱長為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，。（）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；（）、在線段上是否存在一個定點(diǎn)，使得對任意的，在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論。解：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,),C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1),D1(0,0,1)所以又由的一個法向量設(shè)與所成的角為，則依題意有：，解得故當(dāng)時(shí)，直線。（）若在上存在這樣的點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則。依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等價(jià)于即為的中點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)的要求【點(diǎn)晴】空間

11、向量解決立體幾何的開放性或探索性問題的關(guān)鍵是對未知點(diǎn)坐標(biāo)的設(shè)法，從而建立方程得以解決，注意總結(jié)各種常見類型的坐標(biāo)系以及坐標(biāo)系各種點(diǎn)坐標(biāo)的尋求。【文】如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)（）求證AM平面BDE；（）求二面角ADFB的大??；（）試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與BC所成的角是60。解：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，連接NE，則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別是（、（0,0,1）, NE=(,又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是（）、（ =（NE=AM且NE與AM不共線， NEAM又平面BDE， 平面BDE，AM平面BDF（）AFAB，ABAD，

12、AFAB平面ADF為平面DAF的法向量NEDB=（=0，NENF=（=0得NEDB，NENF，NE為平面BDF的法向量cos=，AB與NE的夾角是60即所求二面角ADFB的大小是60（）設(shè)P(t,t,0)(0t)得CD=（，0，0）又PF和CD所成的角是60解得或（舍去），即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn) 【點(diǎn)晴】本題前兩個小題較簡單，（）用到了立體幾何的判定定理；（）注意法向量的求法；（）用未知數(shù)設(shè)不定點(diǎn)是空間向量解決立體幾何問題的難點(diǎn)，注意總結(jié)各種常見類型的坐標(biāo)系以及坐標(biāo)系各種點(diǎn)坐標(biāo)的尋求。自我提升1如果向量a=(1,0,1),b=(0,1,1)分別平行于平面,且都與此兩平面的交線l垂直,則二面角-l-

13、的大小是 ( D )A 90 B 30 C45 D60A1CBAB1C1D1DO2已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的 中點(diǎn)，則直線AD 與平面B1DC所成角的正弦值為（ D ）A B C D3如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1中心，則O到平面ABC1D1的距離為（ B ）A B C D4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值為（ B ） A1 B C D25正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，那么（1） 直線BA1與CC1所成角的大小為 45 。（2） 直線B

14、A1與B1C所成角的大小為 60 。（3） 異面直線BC與AA1的距離為 a 。（4） 異面直線BA1與CC1的距離為 a 。6已知直四棱柱中，底面是直角梯形,則異面直線與所成的角為 arccos 。7如圖，在長方體中，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，（）求證：面；（）求二面角的大??；（）求三棱錐的體積。方法一解：（）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)分別為的中點(diǎn)面，面面面 面（）設(shè)為的中點(diǎn) 為的中點(diǎn) 面作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得，從而為二面角的平面角。在中，從而在中，故二面角的大小為（）作，交于，由面得面在中，方法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，則分別是的中點(diǎn)（）, 取，顯然面， 又面 面（）過作，交于，取的中點(diǎn)，則設(shè)，則又由，及在直線上，可得，解得 , 即與所夾的角等于二面角的大小故二面角的大小為（）設(shè)為平面的法向量，則 又 即 可取 點(diǎn)到平面的距離為 ， 8在直三棱柱中，底面是以為直角的等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，（1）求直線與所成的角; （2）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出；若不存在，說明理由。解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系(1) , , 故直線與所成的角為（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使平面，只要且 不妨設(shè)則， ， 恒成立或故或時(shí)，平面專題17 空間向量及應(yīng)用第12頁（共12頁）